《固体物理学答案》第一章晶体的结构

1、固体物理学答案第一章晶体 的结构第一章、晶体的结构1.以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密 度分别为：(1)间乂方,、3体心立万，至(3)面心立方，工2 ；6(4)六角密积，看;(5)金刚石结构，；16解答设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子 球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致 密度，设n为一个晶胞中的刚性原子球数,r表示 刚性原子球半径，V表示晶胞体积，则致密度43n- r_ 3(1)V对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原1, 2,因为子以刚性球堆积，如图1.2所示，中心在3 , 4处的原子球将依次相切，,3a 4r,V a3,面1.2简立方晶胞晶胞内包含1个

2、原子，所以.6)3 =3a(2)对体心立方晶体，任一个原子有最近邻，若原子刚性球堆积，如图1.3所示，体 心位置O的原子8个角顶位置的原子球相切，3a)3因为晶胞空间对角线的长度为.3a 4r,V a a, 晶胞内包含2个原子，所以2Y （3a图1.3体心立方晶胞(3)对面心立方晶体，任一个原子有 12 个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.4所示， 中心位于角顶的原子与相邻的 3个面心原子球 相切，因为72a 4r,V a3, 1个晶胞内包含4 个原子，所以4*9 （年）3图1.4面心立方晶胞(4)对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图 1。5所 示，中心在1的原

3、子与中心在2, 3, 4的原子相 切，中心在5的原子与中心在6, 7, 8的原子相 切，图 1.5六角晶胞图1.6正四面体晶胞内的原子。与中心在1, 3, 4, 5, 7, 8处的原子相切，即。点与中心在5, 7, 8处的 原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的 高h=Vla 2后 r | cJ3 c晶胞体积 V= ca sin 60ca ,2一个晶胞内包含两个原子，所以2*1照)3 、巧P= 3 2 -T .ca 6(5)对金刚石结构，任一个原子有 4个最 近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.7所示，中 心在空间对角线四分之一处的 O原子与中心在 1, 2, 3, 4处的原子相切，因为0a

4、 8r,晶胞体积Va3,图1.7金刚石结构一个晶胞内包含8个原子，所以2 .在立方晶胞中，画出（102）, （021）（122）,和（210）晶面。解答图1.8中虚线标出的面即是所求的晶面。3 .如图1.9所小，在六角晶系中，晶面指 数常用（hkml ）表示，它们代表一个晶面在基矢的截距分别为 电,a2,巴,在C轴上的截距为h k mcl证 明： h k m 求 出O,AA3,A1A3B3B1,A2B2B5A5 和 A1 A3 A 四个面的面指数。图1.9六角晶胞对称画法解答设d是晶面族（hkml）的面间距，n是晶 面族的单位法矢量，晶面族（hklm）中最靠近原点的晶面在aa2a3，c轴上的截

5、距分别为a1 / h,a2/k,a3/m, c/l 所以有a1 ?n = hd ,a2 ?n = kd ,a3 ?n = md .因为a3(a2 a3),所以a3?n(a2 a3)?n。由上式得到md = (hd kd).即m (h k),由图可得到：O'AA3晶面的面指数为(112 1)AA3B3B1面的面指数为(112 0)A2B2B5A5 晶面的面指数为（11 00）Ai A 3 A 5晶面的面指数为（0001）4.设某一晶面族的面间距为 d ,三个基矢ai,a2,a3的末 端分别落在离原点的距离为h1d ,h2d, h3d的晶面 上，试用反证法证明：hi,h2,h3是互质的。解

6、答设该晶面族的单位法量为 a1,a2,a3由已知条件可得ai ? n hid, a? ? n h?d,a3n h3d,假定hi,h2,h3不是互质数，且公约数p 1即hi pkihpkzh pk3ki,k2,k3是互质的整数,则有ai ?n pkid, a2?n pk2d,a3?n pk3d 今取离原点最近的晶面上的一个格点，该格点的位置矢量 为r liai 12a213a3,由于心定是整数，而且r ?n d liai ?n 12a2 ?n 13a3?n于是得到pkili pk212 pk313 i由上式可得 iki1i 卜212 卜313 一P上式左端是整数，右端是分数，显然是不成 立的。矛

7、盾的产生是 P为不等于i的整数的假 定。也就是说，P只能等于i ,即由2由3 一定 是互质数。5.证明在立方晶体中，晶列 hk1与晶面(hkl)正交，并求晶面(hkli)与晶面(h2k2I2)的夹角。解答设d是为晶面族(hkl)的面间距，n为 法向单位矢量，根据晶面族的定义，品面族(hkl)将a,b, c分别截为h,k,l等份，即a?n=acos(a,n)=hd, b?n=bcos(b,n)=kd, c?n=ccos(c,n)=ld 于是有.d . . d dn= h i+ k j+1 - ka a ad= d(hi+kj+lk) a其中,i ,j,k分别为平行于a,b,c三个坐标轴的单位矢量

8、，而晶列hkl的方向矢量为R=hai +kaj + lak=a(hi+kj+lk)由(1), (2)两式得d .n= R a即n与R平行,因此晶列hkl 与晶面(hkl) 正交。对于立方晶系，晶面(h1k1l1)与晶面(h2k2l2)的夹角，就是晶列R 1 = h1 a+ k1b+l1c与晶列R2 = h2a+ k2 b+ 12c的夹角，设晶面(儿左。)与晶面(h2k2。)的夹角为 由R1笊2=R1IR2 coshh12 k12 l2：h； k； 12 a2 cos,12,2, ,2=%h2ak1k2a1112ah1h2k1k2l1l21 rcos 222/(% k11i )(h2. 22k2

9、l2126.如图1.10所示，B,C两点是面心立方晶(1)胞上的两面心。求ABC面的密勒指数；求AC晶列的指数，并求相应原胞坐标系中的图1.10面心立方晶胞(1)矢量BA与矢量BC的叉乘即是 ABC面的法矢BA = OA OB (aBC OC OB c1b) 2(b12(a b)、1,、c) 2 (2a b c),112(b c) 2(a c),11aBA BC -(2a b c) - (a c) a (a 3b c).因为对立方品系，晶列hkl与晶面族（hkl )正交，所以ABC面的密勒指数为(131).2八“八1AC OC OA c -(a b)(ab)3ab 2c).可见AC与晶列（a+

10、b-2c）平行，因此AC晶列的晶列指数为112.固体物理教程（1?3）式可得面心立言结构晶胞基矢 与原胞基矢的关系a a2a3,aa2a3,c a1 a2a3晶列(a+b-2c)可化为 (a+b-2c)=-2( & a? 2a3)由上式可知，AC晶列在原胞坐标系中的指数为1127.试证面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。解答设与晶轴a,b,c平行的单位矢量分别为i,j,k面心立方正格子的原胞基矢可取为ai - (j k),a21(k j),2a a3 二(i j).2由倒格矢公式2 a2 a32 a3 ai2 ai a2bi, b2, b3,可得其倒格矢为bi 2-

11、( i j k), a2 b2 (ij k),ab3- (ij k).a设与晶轴a,b,c平行的单位矢量分别为i,j,k，体心立方正 格子的原胞基矢可取为ai -( i j k),2a a2 二(i j k),2a a3 -(i j k).2以上三式与面心立方的倒格基矢相比较，两者只相差一常 数公因子，这说明面心立方的倒格子是体心立 方。将体心立方正格子原胞基矢代入倒格矢公式bi2 a2a3 ,也2 a3 ai , ,b32 aia2则得其倒格子基矢为b12r(ik)，b22a(k i)，b3j).可见体心立方的倒格子是面心立方8.六角晶胞的基矢a bCa .ai 2 j，3a .一ai -J

12、, 22ck求其倒格基矢。解答晶胞体积为a b c/ 3 a3 t a(一ai J) (一ai J)2 2223 2a c.(ck)其倒格矢为2 b c3 .ai25)(ck)2,3a2c2 (j).2 c a3 a 2(ck) (Tai 2j)，3a2c、3 ”.a b2 吟 ai 2 j)(以c9.证明以下结构晶面族的面间距:(1) 立方晶系：dhkl ah2(2) 正交晶系：dhki(-)2a3_.a、2Tai2j).3a2ck2l2(32(：)22(3)(4).2. 2.六角品系：卜卜1 -(2)(一)23 a2c简单单余：dhki221 h2 l22h1 cos. 2- (二 二si

13、n a c ac解答(1)设沿立方晶系轴a,b,c的单位矢量分别为i,j,k,则正格 子基矢为a ai,b bj ,c ak,图1.11立方晶胞倒格子晶矢为2 .K2 .a i,bj ,ca a与晶面族(hkl)正交的倒格为Khkl ha kb ic .由晶面间距dhki与倒格矢Khki的关系式dhkl行，dhkl2Khkl |a工厂k2l2(2)对于正交晶系，晶胞基矢a,b,c相互垂直，但品格常数a b c.设沿晶轴a,b,c的单位矢量分别为i,j,k则正格子基矢为a ai,b bj ,c ck,图1.12正交晶胞倒倒格子基矢为2 . ,2 .a i,b j,ca b与晶面族(hkl)正交的

14、倒格为Khkl ha kb ic .由晶面间距dhkl与倒格矢Khkl的关系式d hklK hkld hkl(h)2a2 l 2 12(-)2 2c对于六角晶系，a b90 ,120 ,晶面族（hkl）的面间距图1.13六角晶胞d hkl2_Khkl也即1dhklhakblcy hk kb lc2 2h ak2bl2c22hk(a b ) 2kl(b c2hl(a c ).由图1.13可得六角晶胞的体积2.c a(a b) a csin2a csin 120. 3 2-a c.2倒格基矢的模2 acsin3 2a2c_2.a sin倒格基矢的点积3 2a2cc a b c 2一 cos cos

15、cos得其倒格子基矢长度a a2 bc 2abcsin a sin其中利用了矢量混合的循环关系ABC BCA CAB及关系式A B C B A C CAB.因为a b矢量平行于c所以ac2-bcab0,bc44caab0.将以上诸式代入（1）式得d hkl2222 4(h k hk) l 222，3ac即,2,2,dhki=4(-ki-k) (bl123 a a bc c(4)单斜晶系晶胞基矢长度及晶胞基矢间的夹角分别满足a b c 和90 ,90晶胞体积b (c a) abcsin2 b c a ,2 c ab 2acsin倒格基矢间的点积4 22"22_ 4 ab c(cos c

16、os cos )abcsin2因为（c a）矢量平行于b所以4 22"将以上诸式代入Ldhklh2ak2b12c2hk a a b2kl b c2hl a得到1d hklh222 a sink2b7l2_2.2c sin2hl cos acsin2即 dhkl1 sin2h22 a2hlac1. 2 sinh22 a2hl cosac21 2k2b210.求品格常数为的面心立方和体立方晶体晶面族hhhh的面间距解答面心立方正格子的原胞基矢为aa1 - j ka2 a k i2bi一 a .a3 2 i j2 a2 a3 2 a3 a12 a1 a2, b2, b3可得其倒格基矢为h

17、2.一bii j k，ab2b32 .i j k , a2 .i j k , a倒格矢Khh1blh2b2h3 b3.根据固体物理教程（1。16）式d hih2h3得面心立方晶体面族h1 h2h3的面间距dhih2h32Kh_a=222 1 2hih2h3hih2h3hihhh3体心立方正格子原胞基矢可取为aia2a3a . i2a . i2a . i2其倒格子基矢为bib2b32.j k a2 . k ia2 .一 i j a则晶面族h1 h2 h3的面间距为dh1h2h32Kh-a222 1 2h2h3 2h3h1 2h1h2 211 .试找出体心立方和面心立方结构中，格点最密的面和 最密

18、的线。解答 由上题可知，体心立方品系原胞坐标系中的晶面族%卜2卜3 的面间距dadh1h2h3:222:h2h3h3h1h1h2可以看出，面间距最大的晶面族就是 001 ,将该晶面指数代入固体物理教程（1.32）式，得到该晶面族对应的密勒指数为110面间距最大的晶面上的格点最密，所以密勒指数110晶面族是格点最密的面，格点最密的线一定分布在格点最 密的面上，由图1.14虚线标出的（110）晶面容易 算出，最密的线上格点的周期为图1.14体心立方晶胞由上题还知，面心立方品系原胞坐标系中的晶面族八岫3d h1h2h3的面间距,2,2,2h1h2h3 h1h2h3 h1h2h3可以看出，面间距最大的

19、晶面族是111。由本章第15题可知，对于面心立方晶体，晶面指数hh2h3与晶面指数（hkl）的转换关系为hkl 一 h1 h2 h3 h1 h2 h3 h1 h2 h3 , P将晶面指数111代入上式，得到该晶面族对应的密勒指数也为111 .面间距最大晶面上的格点最密，所以密勒指数111晶面族是格点最密的面，格点最密的线一定分布在格点最密的面上，由图1.15虚 线标出的（111）晶面上的格点容易算出，最密的 线上格点的周期为缶2图1.15面心立方晶 胞、一 -I I一 一 一一 '一 '一'一"Ir _. ._>I12 .证明晶面h油2卜3 ,%卜2卜3

20、及几卜2卜3属于同一晶带的条件h1 h2 h3.'.'.' 一% h2 h30."."."h h2 h3解答设原胞坐标系中的倒格子基矢为匕加2加3，则晶面%卜2卜3 ,卜油2卜3及 卜2卜3的倒格矢分别为Khhibhh2b2h3b3,.Kh'hibih2 b2h3 b3,""".Kh.h1blh2 b2h3b3.当三个晶面共晶带时，它们的交线相互平行，这些交线都垂直于倒格矢Kh Kh' Kh"即Kh Kh' Kh”位于同一平面上，于是有KhKhKh-0利用正倒格子的关系2 bi

21、 b2 -2 b3 bi _2 bi b2a', b2, b3Kh' Kh-hih2h2 hi bi七 un23a几M2a1.-.".b2hhhhhah2b2bshshi?a2,%，工式中为倒格原胞体积，于是得到1一 Kh Kh' Kh-h3hih2h3'''hih2h3 .-hih2h3代入(i)式，得hi h2 h3hi h2 h30."."."hi h2 h3i3昂面 hih2h3 , hih2h3的父线与晶列Riliai 12a2 13a3,平行，证明hih2h3.'. hih2h3.&qu

22、ot;."."hih2h3hihih2h2hih2h2h3h3h2h3h3hi hi解答与晶面八油2卜3，%卜2卜3垂直的倒格矢分别为Khhibih2b22,'''.Kh'hibih2 b2h3b3,晶面的交线应同时与Kh和Kh垂直，即与Kh Kh平行，而Kh Kh'hih2h2h3'b1b2,b2b3%h22h2h32hih2h2, a3, 2hih2h2h31h3aih31h3hihia2h31h3hib3 bin 3 i式中bi b2 b3为倒格原胞体积，ai,a2,a?为正格原胞基矢已知晶面卜2卜3 , hhh3的父线

23、与晶列Ri1冏12a2 13a3平行，即Ri和KhKh”平行因此li,l2,l3可取为lin2n2几，几3,几，几32,3 I 314.今有正格矢u 1al ma2 na3,.'''v l ai m a2 n a3, ， ， ， w l ai m a2 n a3.其中l,m,n; l,m,n及l,m,n均为整数，试证u, v, w n选作基矢的充分条件是'Hlll'"mmm1.'"nnn解答解法一：固体物理原胞的选取方法有无数种，但它们有一个无同的 特点,即它们的体积都相等，是晶体的最小重复单元。因此u,v,w 可选作基矢的充

24、分条件是，由基矢u,v,w构成的原胞体积一定等于由基矢a1，a2,a3构成的原胞体积，即u v wa1a2 a3将u lai ma2 na3,.v l a1 m a2 n a3, ."""w l a1 m a2 n a3代入u v w得a2a3u v w ""'""u l m ml a a?m n nm a2 a3n l l n" " ,n l m m l l m n n m m n l l nlll'"mmm ."nnn将上式代入（1）得 ' ， lll

25、9;",mmm1.'"nnn解法二：设a1 xu yv zw,当u,v,w为基矢时，x, y, z应取整数值,将u 1al ma2 na3,J''v l ai m a2 n a3, ."""w 1al m a2 n a3.代入a1 xu yv zw 得xm ym zm a2 xn ynzn a3."a1 xu yv zw xl yl zl a1xl yl zl 1由此得方程组 xm ym' zm' 0 '"xn yn zn 0解方程得 ' ， 1 l l 1'&

26、quot;x0mm,'"0nnl1l1 y m0m," n 0 nl l 11' cz m m 0, ' n n 0 l l l '"m m m . "n n n由于x, y,z的表示式中的三分子的行列式的值均为整数，x, y,z为整数，因此u,v, w可选作基矢的充分条 件是lll'"mmm1'"nnn15 .对于面心立方晶体，已知晶面族的密勒指数为hkl ,求对应的原胞坐标中的面指数h1h2h3若已知hh2h3求对应的密勒指数hkl o解答由而体物理教程（1。3）式和（1。4）两式得

27、面心立方晶体原胞坐标系中的倒格基矢b1,b2,b3与晶胞坐标系中的倒格基矢a ,b ,c的关系为bib2b3也即2i a2 .一 j aab3 ,与晶面族K hkl hai2i2b3bihklkbbi ,b2 .垂直的倒格矢i lc k2l bil h b2h k b3i /i2PKh1h2h32 Phibih2b2Khhs与晶面族hih2h3正交，因此，若已知晶面族的密勒指数(hkl)则原胞坐标系中的面指数hih2h3(k l)其中p是(kl), lk的公约数同样K h2h3'.P Khklhibih3b3hih2h3 ahih2h3 bh3 chakb lcKhkl与晶面族(hkl

28、)正交,因此，若已知晶面族的面指数i (hkl)- Phih2h3则晶胞坐标系中的面指数hih2h3hih2h3hih2h3,其中 P 是hih2h3 , hih2h3 , hi h2 h3 的公约数16 .证明不存在5度旋转对称轴。解答如下面所示，A,B是同一晶列上 O格点的两个最近邻格点，如果绕通过O点并垂直于纸面的转轴顺时针旋转角，则A格点*到A'点，若此时品格自身重合，点处原来必定有一格点，如果再绕通过。点的 转轴逆时针旋转角，则品格又恢复到未转动时的状态，但逆时针旋转角，B格点转到B'处，说明B'处原来必定有一格点，可以把格点看成分布在一族相互平行的晶列上，由

29、图1 . 1 6可知， A'B'晶列与 AB 晶列平行.平行的晶列具有相同的周期，若设该周期为 a 则有图1.16晶格的旋转对称性A'B' 2a cosma,其中m为整数，由余弦的取值范围可得m dcos 1.2于是可得3 .2，2 ;_ 2 二 53， 3 ， 3 ， 3 ;,2 .因为逆时针旋转 , 上,5-分别等于顺时针旋转一,23 32U -,3 '3所以晶格对称转动所允许的独立转角为2 , ,1 ,732 3上面的转角可统一写成,n 123,4,6 n称n为转轴的度数，由此可知，品格的周期性不允许有5 度旋转对称轴.17 .利用转动对称操作，证

30、明六角晶系介电常数矩阵为112203300解答由固体物理教程（1。21）式可知，若A是一旋转对称操作，则晶体的介电常数 满足A A.对六角晶系，绕x （即a）轴旋180和绕z （即c）轴120都是对称操作,坐标变换矩阵分别为1Ax0012.3Az一212 0假设六角品系的介电常数为111213212231313233则由Ax.111213111213212231212231313233313233可见12Q 130,310.110002231O03233将上式代入 Ax Ax.得1100022310323311: 22411322323311443111224412 3232 232 2333

31、由上式可得230, 320, 1122 .0033于是得到六角品系的介电常数1100110018 .试证三角品系的倒格子也属三角晶系，解答对于三角品系，具三个基矢量的大小相等。且它们相互问 的夹角也相等。即a31ba2c a3 a,利用正倒格子的关系，得b1b22 a2 a32 33 a12 .2 a sinc 2.2 a sinb,b,2b.2 a a22 a sinb3设b1与b2的交角为12, b2与b3的交角为23,b3与b1的交角为 31则有2b1b2 b cos4 22- a2 a312a3 a1a3 a34 2a1 a3 a2 a3ai2a2 a由（1）cos 12由b22 co

32、scos和（2）2 cossin式得cos2b3 和 b3b,可得cos23cos31cos1 cos cos1 cos可见倒格基矢bicos 1 cos cos1 cos21 cos与b2的交角，b2与b3的交角，b3与H的交角都相等，这表明三个倒格基矢的长度不仅相 等，且它们之间的夹角也相等，所以三角晶系的 倒格子也属于三角品系.19 .讨论六角密积结构，X光衍射消光的条件.解答ri图1.17示出了六角密积结构的一个晶胞，一个晶胞包含两 个原子，它们的位置矢量分别是0,2 a3图1.17六角密积晶胞因为是密积结构，所以原子散射因子f1 f2 f .将上述结果代入几何因子F hklfjei

33、2n huj kvj lwj得 Fhkl fi2nfe(hkl)晶面族引起的衍射光的总强度i2nI Fhkl Fhkl f fe211_h _k -l2i2n _hfe 3i i _k _l 32222f f 2f cos n2k 33k 242 f 1 cos n h3由上式知，只有当奇数,时, (a)才出现衍射消光.现将h,k,l的取值范围讨论如下：当n为奇数时，若l为偶数，则nl也为偶数,为保证二奇数,成立,须有4h 2k奇数,由此知2n2h k 3奇数奇数.但由于h,k为整数，上式左端是偶数，右端是奇数，显然是不成立的，矛盾的产生是l为偶数的条件导致 的，所以l不能为偶数，而只能为奇数

34、，因而42n - h k 偶数33一3 即 2h k 3整数整 n(b)当n为偶数时，由42，n h - k l 奇数33得 n 4h 2k 3l 3奇数奇数上式左端是偶数，右端是奇数，显然也不成 立，矛盾的产生是n为偶数的条件导致的，所 以n不能为偶数，由上述讨论可知，衍射消光条件为n奇数 l奇数 32h k 3整数(二整数)n20.用波长为1.5405 的X光对包金属粉末作衍射分析，测得布拉格角大小为序的五条衍 射线，见表1-1厅P1234519.61128.13635.15641.15647.769已知包金属为体心结构，求(1) 衍射晶面族的晶面指数；(2) 品格常数a解答(1) 对于立

35、方晶体，晶面族 (hkl)的面间距ah2 k2 l2 ,布拉格反射公式2dhkl sin n相应化为,2.2. 2sin nh nk nl .2a可见sin与衍射面指数的平方和的开根成正比，由已知条件可知sin19.611 : sin 28.136 : sin35.156 :sin41.156 : sin 47.7691:1.405:1.7156 : 1.9608 : 2.2061.对于体心立方晶系，衍射面指数的和n (h+k+l)为偶数出现衍射极大，因此，对应衍射角由小到大排列的衍射晶面族是(110), (200), (121), (220), (310),而,12 12 0: 22 0 0

36、:.122可见 sin 与 n nh nk nl 成正比对于体心立方元素晶体，衍射面指数和n (h+k+l)为奇数时，衍射消光；衍射面指数和n (h+k+l)为 偶数时，衍射极大，因此，对应最小的三个衍射 面指数依次为(110), (200), (211).这三个衍 射角的衍射面指数平方和的平方根之比为 22 12 : .22 22 0 : , 32 12 01:4.414:1.732:2.00:2.236.从各衍射角的正弦之比与衍射面指数的平方和的开根之比可以看出，二者比值是十分 接近的，存在的小小偏差，可能是测量误差所致，因此，对应布拉格角大 小为序的五条衍射线的衍射晶面族是 (110),

37、 (200), (121), (220), (310) c(2)将 1.5405,19.611 , nh nk nl 110代入sin22a nh22nk nl得到包金属的品格常数a 3.246当在21.铁在20 C 时，得到最小三个衍射角分别为8 12',11 38',14 18;1000 C时，最小三个衍射角分别变成 7 55',9 9',12 59.已知在上述温(D度范围，铁金属为立方结构。试分析在20 C和1000 c下，铁各属于何种立方结构?(2) 在20 C下，铁的密度为7860kg/m3求其品格 常数。解答(1)对于立方晶体，晶面族(hkl)的面间

38、距为l2“ad hkl-22h k布拉格反射公式2d hkl sin2a相应化为nhsin222nk nl.2 .2- 22 .2 .2,110: 20 0:2111:4.414:1.73205铁在20 C时，最小的三个衍射角的正弦值之比sin 8 12': sin 11 38':sin14 18'= 0.142628:0.201519:0.246999 1:1.41421:1.731777可见，铁在20 C 时最小的三个衍射角的正弦值之比,体心立方元素晶体最小的三个衍射面指数的衍射面指数平方和的平方根之比极其接近(存在偏般是实验误差所致)。由此可以推断，铁在20 C时

39、为体心立方结构。对于面心立方元素晶体，衍射面指数nh,nk,nl全为奇数或 全为偶数时，衍射极大，对应闻小三个衍射角的 衍射面指数依次为(111),(200),(220) 这三个衍射角的衍射面指数平方和的平方根之比为3299.12 12 12 : .22 02 02 : . 22 22 02 1:1.15470:1.6铁在1000 C时最小的三个衍射角的正弦值之比sin7 55': sin 9 9':sin12 59'=0.137733:0.159020:.224668=1:1.15455:1.63118可见，铁在1000 C 时最小的三个衍射角的正弦值之比，与面心立方

40、元素晶体最小的三个衍射角的衍射 面指数平方和的平方根之比极其接近，由此可以 推断，铁在时为面立方结构(2)铁在时为体立心结构，一个晶胞内有两个原子，设 原子的质量为m,晶格常数为a,则质密度2m-3" a晶格常数则为2ma 33一个铁原子的质量 m -.23- kg,6.022 1023最后得铁在20 C时的品格常数a 2.85522.对面心立方晶体，密勒指数为121的晶面族是否出现一级衍射斑点，从光的干射说明之。解答八岫3由本章第10题可知，对于面心立方晶体，晶面族d Ih2h3的面间距, I ,2,2,2h1h2h3h1h2h3 hh?hh由本章第15题可知，对于面心立方晶体，晶

41、面指数h1h2h3图1.18 121面的一与晶面指数（hkl ）的转换关系为dh1h2hP a2一h* 2 k2 k2因为立方晶系密勒指数晶面族的面间距ahkl .h将上式代入前式得 k2 k2所以对于立方晶系，两套晶面指数对应的晶面族的面间距的关系为 dh1h2h3 dhki.12 32将上式代入两套坐标中的布拉格反射公式2dhm2h3 sin2dhki sin得到)2n将密勒指数121代入（1）式，得h1h2h3301 .由上式可知，p 1,n 2n这说明，对于密勒指数 121的晶面族，衍射极大的最小级数是 2,或者说，对于密勒指数121的晶面族，它的一级衍射是消光的，对于密勒指数121的

42、晶面族，它一级衍射产生的原因可从光的干涉来解释。图 1.18示出了 121晶面族的1级衍射情况，1与3晶面的面间距为dhki对于该晶面族的1级衍射，有2dhki sin对照衍射示意图1。18上式恰好是1与3晶面产生的光程 差，也就是说1与3晶面产生的光程差为1个波 长，由此推论，1与3晶面的反射光的相位差为 2 ,它们的确是相互加强的，但实际（对于非 复式格子）的面间距为dhkldh1h2h32即1与3晶面中间实际还有1个原子层，在这种情况下， 相邻原子层的反射光的相位差为衍射光是相互抵消的，这就是密勒指级衍射数121的晶面族一级衍射产生消光的原因23.设有一面心立方结构的晶体，晶格常数为 a

43、.在转动单 晶衍射中，已知与转轴垂直的晶面的密勒指数为hkl 求证sina,h2 k2 l2mp其中p是一整数，m是第m个衍射圆锥母线与hkl晶面 的夹角。参见图1.19所示反射球，图1.19反射球解答转动单晶衍射法，晶体正格子转动，倒格子也转动，倒格 点可以看成分布在与转轴垂直的，等间距的一个 个倒格晶面上，由于倒格晶面旋转，落在反射面 球面上的倒格点的迹线形成一个个圆，反射球心 到迹线上任一点的边线即是 衍射极大的方向反 射球心到任一迹线连线构成一个个圆锥面。设本题晶体一与转轴垂直的倒格面面指数为（l1l2l 3）则倒格面的面间距H 22d .R1l2l311a 12a 13a其中正格矢

44、与倒格面 垂直，即与转轴平行，由图1。19 得sinmd2其中是的光的波矢,即反射球的半径，现在已知与转轴垂直的晶面的密勒指数为（hkl）由题5可知,晶列R hkl ha kb 1c与转轴平行，利用面心立方结构晶胞基矢与原胞基矢的关 系ba1a?a3c a1 a2 a3可得Rhk1ha kb 1ch k 1 a1 h k 132h k 1 a3=PR 111213其中p是 h k 1 , h k 1 , h k 1公约数，由立方晶体的Rhk1ha kb 1c a Jhk22可得sinmp222a、，hk 124.在20 C时铜粉末样品的一级衍射角是47.751000 c时 是46.60 ,求铜的线胀系解答设铜的衍射面指数为（hk1）在 20 C时的面间距为dhk1,在 1000 c时的面向距为dhk1则由布拉格反射公式得2dhk1 sin 47.752dhk1 sin 46.60由以上两式得dhklsin47.751 0191 .0 19.dhkl sin46.60铜的线膨胀系数d hkl d hkldhkl