刚体的角动量守恒定律

1、 53 刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律一、刚体定轴转动的角动量一、刚体定轴转动的角动量刚体上的一个质元刚体上的一个质元, ,绕固定轴做圆周运动角动量为绕固定轴做圆周运动角动量为：2iiirmL 所以刚体绕此轴的角动量为：所以刚体绕此轴的角动量为：)(2iiiiirmLL刚体对固定转动轴的角动量刚体对固定转动轴的角动量L,等于它对该轴的转动惯等于它对该轴的转动惯量量J 和角速度和角速度 的乘积。的乘积。 JL miooLrivi二、转动定律二、转动定律1、一个质点的情况、一个质点的情况法向力法向力 Fn=man，通过转轴，力矩为零，通过转轴，力矩为零切向力切向力 Ft=mat=mr对转

2、轴的力矩为对转轴的力矩为 M= Ft r= mr2质点的角加速度与质点所受的力矩成正比质点的角加速度与质点所受的力矩成正比2、内力矩、内力矩dff 刚体内任意两点之间的相互作用力，大刚体内任意两点之间的相互作用力，大小相等，方向相反，在同一条直线上。小相等，方向相反，在同一条直线上。两力的力臂相等，因而两力的力矩相等，两力的力臂相等，因而两力的力矩相等，方向相反。方向相反。故两个内力的合力矩为故两个内力的合力矩为零。零。推广：推广：刚体的内力力矩之和为零。刚体的内力力矩之和为零。FnFt3、刚体的情况、刚体的情况把刚体看成是由许多质点所组把刚体看成是由许多质点所组成的，对于质点成的，对于质点i

3、，假设它的质，假设它的质量为量为mi，所受的外力为，所受的外力为Fi，内力为内力为f i，则，则 2iiirmM 其中其中Mi为外力矩和内力矩之和。为外力矩和内力矩之和。 2iiirmM 合力矩外力矩之和内力矩之和合力矩外力矩之和内力矩之和=外力矩之和外力矩之和=M 22iiiirmrm 2iirmJ定义转动惯量定义转动惯量 JM 转动定律：转动定律：刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。说明：说明：1)合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴而言的；合外力矩和转动惯量都是

4、相对于同一转轴而言的；2)转动定律的地位与质点动力学中牛顿第二定律相当，是转动定律的地位与质点动力学中牛顿第二定律相当，是解决刚体定轴转动问题的基本方程。解决刚体定轴转动问题的基本方程。三、转动惯量三、转动惯量1、定义、定义 刚体的转动惯量等于刚体上刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量与各质点到转各质点的质量与各质点到转轴距离平方的乘积之和。轴距离平方的乘积之和。2、说明、说明 转动惯量是标量；转动惯量是标量； 转动惯量有可加性；转动惯量有可加性； 单位：单位：kgm2 3、转动惯量的计算、转动惯量的计算若质量连续分布若质量连续分布dmrJ2 iiirmJ2若质量离散分布若质量离散分布 y r

5、ix z yi xi mi 例例1 1、求长为、求长为L、质量为、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。的转动惯量。ABLXABL/2L/2CX解：取如图坐标，解：取如图坐标，d dm= = d dx222LLCdxxJLAdxxJ023/2mL12/2mL例例2 2、求质量为、求质量为m、半径为、半径为R的均匀圆环的转动惯量。的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。轴与圆环平面垂直并通过圆心。RO解：解：222mRdmRdmRJdmROdm例例2 2、求质量为、求质量为m、半径为、半径为R、厚为、厚为l 的均匀圆盘的转动惯量。的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平

6、面垂直并通过盘心。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为解：取半径为r宽为宽为d dr的薄圆环的薄圆环, ,lrdrdm 2drlrdmrdJ322 lRdrlrdJJR403212 可见，转动惯量与可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是也是mR2/2。2221mRJlRm Rrdr4、影响刚体转动惯量的因素、影响刚体转动惯量的因素刚体的总质量：刚体的总质量：形状、大小和转轴都相同的匀质刚体，形状、大小和转轴都相同的匀质刚体，总质量越大，则转动惯量越大；总质量越大，则转动惯量越大；刚体的质量分布：刚体的质量分布：形状、大小和转轴都相同的刚

7、体，形状、大小和转轴都相同的刚体，质量分布离轴越远，转动惯量越大；质量分布离轴越远，转动惯量越大；转轴位置：转轴位置：同一刚体，对不同位置的转轴，其转动惯同一刚体，对不同位置的转轴，其转动惯量是不同的。量是不同的。四、平行轴定理四、平行轴定理两轴平行，相距两轴平行，相距L/2。可见：。可见：22 LmJJCAABLXABL/2L/2CX231mLJA例例1中，中，通过棒端通过棒端A的轴的转的轴的转动惯量动惯量2241121mLmL 若有任一轴与过质心的轴平行，若有任一轴与过质心的轴平行，相距为相距为d，刚体对其转动惯量为，刚体对其转动惯量为J，则有则有平行轴定理平行轴定理 JJCm d 2。说

8、明：说明：1)通过质心的轴线的转动惯量最小；通过质心的轴线的转动惯量最小；2)平行轴定理可以用来计算刚体的转平行轴定理可以用来计算刚体的转动惯量。动惯量。ccodJJco推广上述结论推广上述结论*垂直轴定理垂直轴定理 对于薄板刚体，若建立坐标对于薄板刚体，若建立坐标系系Oxyz，其中，其中z轴与薄板垂直，轴与薄板垂直，Oxy平面在薄板内，则薄板刚平面在薄板内，则薄板刚体对体对z 轴的转动惯量等于对轴的转动惯量等于对x 轴的转动惯量和对轴的转动惯量和对y 轴的转动轴的转动惯量之和惯量之和 yxzJJJ yx z 圆盘圆盘 R C m几种均匀刚体的转动惯量几种均匀刚体的转动惯量2121mlJ ml

9、细直杆细直杆 ml细直杆细直杆 231mlJ mR薄圆环薄圆环或薄圆筒或薄圆筒 2mRJ mR圆盘圆盘或圆柱体或圆柱体 221mRJ 三、刚体定轴转动的角动量定理和三、刚体定轴转动的角动量定理和转动定理转动定理由转动定律由转动定律 dtLdM 得得LddtM 积分得积分得000LLLddtMLLtt 当转动惯量一定时当转动惯量一定时0 0 JJdtMtt 当转动惯量变化时当转动惯量变化时00 0 JJdtMtt 刚体的角动量定理：刚体的角动量定理：当转轴给定时，作用在刚体当转轴给定时，作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量。上的冲量矩等于刚体角动量的增量。五、刚体定轴转动的转动定律的应用五、

10、刚体定轴转动的转动定律的应用题目类型题目类型1.已知转动惯量和力矩，求角加速度；已知转动惯量和力矩，求角加速度；2.已知转动惯量和角加速度，求力矩；已知转动惯量和角加速度，求力矩；3.已知力矩和角加速度，求转动惯量。已知力矩和角加速度，求转动惯量。解题步骤解题步骤1.确定研究对象；确定研究对象；2.受力分析；受力分析；3.选择参考系与坐标系；选择参考系与坐标系；4.列运动方程；列运动方程；5.解方程；解方程；6.必要时进行讨论。必要时进行讨论。注意注意以下几点：以下几点：1.力矩与转动惯量必须对力矩与转动惯量必须对同一转轴同一转轴而言的；而言的；2.要选定转轴的正方向，以便确定已知力矩或角加要

11、选定转轴的正方向，以便确定已知力矩或角加速度、角速度的正负；速度、角速度的正负；3.当系统中既有转动物体又有平动物体时，则对转当系统中既有转动物体又有平动物体时，则对转动物体按转动定律建立方程，对于平动物体按牛顿动物体按转动定律建立方程，对于平动物体按牛顿定律建立方程。定律建立方程。例、例、一个质量为一个质量为M、半径为、半径为R的定滑轮的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m由静由静止下落高度止下落高度h时的速度和

12、此时滑轮的角速度。时的速度和此时滑轮的角速度。解：解： RamaTmgm :1对对2121 MRJJRTMM：对对 MmmghRRv 241 242Mmmghahv gMmma2 解解方方程程得得：定轴定轴ORthmv0=0绳绳例例2、一根长为一根长为l、质量为、质量为m 的均匀细直棒，其一端有一固定的的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆位置，求它由此下摆 角时的角加速度和角速度。角时的角加速度和角速度。解：棒下摆为加速过程，外解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对力矩为重力对

13、O O 的力矩。的力矩。 棒棒上取质元上取质元dm,当棒处在下摆当棒处在下摆 角时角时，重力矩为：重力矩为： xdmggxdmM XOdmgdmxCmgxM 据质心定义据质心定义cmxxdm cos21lxc cos21mglM lgmlmglJM2cos331cos212 dddtddddtd ddlg cos23 00cos23ddlg221sin23 lglg sin3 dd 再求角速度再求角速度例例3匀质圆盘的质量为匀质圆盘的质量为m，半径为，半径为R，在水平，在水平桌面上绕其中心旋转，如图所示。设圆盘与桌桌面上绕其中心旋转，如图所示。设圆盘与桌面之间的摩擦系数为面之间的摩擦系数为，求

14、圆盘从以角速度，求圆盘从以角速度0旋转到静止需要多少时间？旋转到静止需要多少时间？ 解：以圆盘为研究对象，它受重力、桌面的支解：以圆盘为研究对象，它受重力、桌面的支持力和摩擦力，前两个力对中心轴的力矩为零。持力和摩擦力，前两个力对中心轴的力矩为零。 在圆盘上任取一个细圆环，半径为在圆盘上任取一个细圆环，半径为r，宽度为，宽度为dr，整个圆环所受摩，整个圆环所受摩擦力矩等于圆环上各质点所受摩擦力矩之和。由于圆环上各个质点擦力矩等于圆环上各质点所受摩擦力矩之和。由于圆环上各个质点所受摩擦力矩的力臂都相等，力矩的方向都相同，若取所受摩擦力矩的力臂都相等，力矩的方向都相同，若取0的方向为的方向为正方向

15、，则整个圆环所受的力矩为正方向，则整个圆环所受的力矩为 grdmdM 2222RmrdrrdrRmdSdm drRrmgdM222 整个圆盘所受的力矩为整个圆盘所受的力矩为 mgRdrRrmgMR 322022 根据转动定律，得根据转动定律，得 RgmRmgRJM3421322 角加速度为常量，且与角加速度为常量，且与0的方向相反，表明圆盘作匀减速转动的方向相反，表明圆盘作匀减速转动t 0当圆盘停止转动时，当圆盘停止转动时，=0，则得，则得 gRt 4300 四、刚体定轴转动的角动量守恒定律四、刚体定轴转动的角动量守恒定律若刚体所受的合外力矩为零，即若刚体所受的合外力矩为零，即M=0恒恒矢矢量

16、量 J角动量守恒定律：角动量守恒定律：当刚体所受的的合外力矩为零，或当刚体所受的的合外力矩为零，或者不受合外力的作用，则刚体的角动量保持不变。者不受合外力的作用，则刚体的角动量保持不变。讨论：讨论：分两种情况：分两种情况：1) 如果转动惯量不变，刚体作匀速转动；如果转动惯量不变，刚体作匀速转动；2) 如果转动惯量发生改变，则刚体的角速度随转动惯如果转动惯量发生改变，则刚体的角速度随转动惯量也发生变化，但二者的乘积不变。当转动惯量变大量也发生变化，但二者的乘积不变。当转动惯量变大时，角速度变小；当转动惯量变小时，角速度变大。时，角速度变小；当转动惯量变小时，角速度变大。跳水运动员跳水运动员茹可夫

17、斯基凳茹可夫斯基凳花样滑冰运动员的旋转表演花样滑冰运动员的旋转表演惯性导航仪（陀螺）惯性导航仪（陀螺） 角动量守恒定律在技术中的应用角动量守恒定律在技术中的应用 直升飞机的螺旋桨直升飞机的螺旋桨自然界中存在多种守恒定律自然界中存在多种守恒定律2 动量守恒定律动量守恒定律2能量守恒定律能量守恒定律2角动量守恒定律角动量守恒定律2电荷守恒定律电荷守恒定律2质量守恒定律质量守恒定律2宇称守恒定律等宇称守恒定律等例例1 1、如图所示如图所示, ,一质量为一质量为m的子弹以水平速度射入一静止悬于的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端顶端长棒的下端, ,穿出后速度损失穿出后速度损失3/4,3/4,求

18、子弹穿出后棒的角速求子弹穿出后棒的角速度度 。已知棒长为。已知棒长为l, ,质量为质量为M 。v0vmM解解: :以以f 代表棒对子弹的阻力代表棒对子弹的阻力, ,对子弹有对子弹有: :0043)(mvvvmfdt 子弹对棒的反作用力对棒的冲量子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩为：矩为： Jdtflldtf因因 f = - f由两式得由两式得200314943MlJMlmvJlmv 这这里里 例例2 2、如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量杆的质量m与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度的摆锤拉到高度h0 0，令它自静止状态下垂，令它自静止状态下垂, ,于铅垂位置和直杆于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的高度作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的高度h。chchh=3h0/2