计算动力学第四章

1、运载工程与力学学部第四章第四章 运动稳定性运动稳定性非线性动力系统的稳定性以及系统动力学与非线性动力系统的稳定性以及系统动力学与系统参数之间的关系是人们关心的重要问题。系统参数之间的关系是人们关心的重要问题。如果能够获得非线性动力系统的解，即使是如果能够获得非线性动力系统的解，即使是近似解，也可对这些问题进行直接讨论。因近似解，也可对这些问题进行直接讨论。因此，此，19世纪中叶之前，人们一直致力于求取世纪中叶之前，人们一直致力于求取常微分方程的解。常微分方程的解。 1919世纪世纪30-4030-40的年代，有两件大事改变了人们的年代，有两件大事改变了人们长期试图寻找微分方程通解的研究思路。一

2、是长期试图寻找微分方程通解的研究思路。一是法国数学家法国数学家CauchyCauchy在在18351835年证明，常微分方程年证明，常微分方程初值问题在相当宽的条件下存在唯一解。二是初值问题在相当宽的条件下存在唯一解。二是法国数学家法国数学家LiouvilleLiouville于于18411841年证明，即使非年证明，即使非常简单的常简单的RiccatiRiccati方程方程 其解也无法用初等函数或其积分表示。其解也无法用初等函数或其积分表示。)()()()()()(2trtutqtutptu 这促使人们开始从微分方程的向量场结构来这促使人们开始从微分方程的向量场结构来研究解的特性。研究解的特

3、性。1881-1886年，法国学者年，法国学者Poincar在研究天体力学问题中开创了对微在研究天体力学问题中开创了对微分方程所确定的积分曲线特性的研究。分方程所确定的积分曲线特性的研究。18821892年，俄国学者年，俄国学者Lyapunov在其博士在其博士论文中开创了对运动稳定性的系统研究。进入论文中开创了对运动稳定性的系统研究。进入20世纪后，基于几何的定性研究取得了一系列世纪后，基于几何的定性研究取得了一系列重要进展。例如，俄国学者重要进展。例如，俄国学者Andronov等对二等对二维系统维系统局部及全局特性的深入研究，美国学者局部及全局特性的深入研究，美国学者BirkhoffBirk

4、hoff对向量场规范型的研究，美国学者对向量场规范型的研究，美国学者SmaleSmale用符号用符号动力学方法对解的拓扑结构的研究等。在计算技动力学方法对解的拓扑结构的研究等。在计算技术获得高度发展后，定性研究的结论则成为指导术获得高度发展后，定性研究的结论则成为指导数值计算的工具。数值计算的工具。自治系统平衡点的稳定性自治系统平衡点的稳定性 考察考察n n维非线性自治系统维非线性自治系统 nnnRRufRUuufu:, )(记记u us s U U是该系统的一个孤立平衡点，满足是该系统的一个孤立平衡点，满足0)(suf本节研究系统平衡点本节研究系统平衡点u us s的稳定性。由的稳定性。由于

5、对自治系统平衡点的稳定性、不稳于对自治系统平衡点的稳定性、不稳定性及渐近稳定性定义采用了矩阵描定性及渐近稳定性定义采用了矩阵描述，所以完全适用于高维自治系统。述，所以完全适用于高维自治系统。这样的稳定性概念出自这样的稳定性概念出自LyapunovLyapunov的研的研究，因此常称作究，因此常称作LyapunovLyapunov意义下的稳意义下的稳定性。定性。 不失一般性，今后设不失一般性，今后设u us s=0=0。否则可通过坐标。否则可通过坐标平移将平衡点移到新坐标系下系统的原点平移将平衡点移到新坐标系下系统的原点. .Lyapunov直接方法直接方法Lyapunov从系统总能量随时间从系

6、统总能量随时间的变化率考察了系统运动的演变的变化率考察了系统运动的演变趋势这一思路出发，研究了如何趋势这一思路出发，研究了如何根据微分方程来构造类似于能量根据微分方程来构造类似于能量的某种函数，通过计算该函数随的某种函数，通过计算该函数随时间的变化率来确定系统的稳定时间的变化率来确定系统的稳定性。由于这种方法可免去求解微性。由于这种方法可免去求解微分方程的难题，从而被称为研究分方程的难题，从而被称为研究运动稳定性的运动稳定性的Lyapunov直接方直接方法，应用该方法时所需构造的函法，应用该方法时所需构造的函数被称为数被称为Lyapunov函数。函数。 (1) (1) LyapunovLyap

7、unov函数函数 考察单值可微函数考察单值可微函数 其定义域为其定义域为 定义定义1 1 如果在如果在U U内恒有内恒有V(u)0V(u)0或或V(V(u)0)0， 则称则称V(V(u) )为正常号函数或负常号函数，统称为为正常号函数或负常号函数，统称为 常号函数。否则称为变号函数。常号函数。否则称为变号函数。 0)0(),()(21VuuuVuVn0.,constHHuuU定义定义2 对于常号函数对于常号函数V(u) ,如果当且仅当如果当且仅当u=0时时V=0，则称正常号函数，则称正常号函数V(u)为正定函数，负为正定函数，负常号函数常号函数V(u)为负定函数，通称为定号函数。为负定函数，通

8、称为定号函数。如果如果V=0不等价于不等价于u=0，则称正常号函数，则称正常号函数u=V(u)为半正定函数，负常号函数为半正定函数，负常号函数V(u)为半为半负定函数，统称为半定号函数。负定函数，统称为半定号函数。 二次型是最常用的常号函数，线性代数理二次型是最常用的常号函数，线性代数理论已给出了二次型正定、半正定等判据。以论已给出了二次型正定、半正定等判据。以n=3为例：为例：232221321),(uuuuuuV是正定函数；是正定函数； 2221321),(uuuuuV是正常号函数，但因对于是正常号函数，但因对于u30有有V (0,0,u3) =0，从而非正定；，从而非正定； 232221

9、321),(uuuuuuV是变号函数，因为是变号函数，因为. 1) 1 , 0 , 0(, 1)0 , 0 , 1 (VV(2) (2) LyapunovLyapunov定理定理 定理定理1 (1 (稳定性定理稳定性定理) ) 如果存在定号函数如果存在定号函数V(uV(u) )，其沿系统其沿系统确定的相轨线上的全导数确定的相轨线上的全导数 )()()()(ufuVuuVtuV是与是与V(uV(u) )异号的常号函数或恒为零，则该系异号的常号函数或恒为零，则该系统的原点是稳定的。统的原点是稳定的。 nnnRRufRUuufu:, )( 证明：不妨设证明：不妨设V(uV(u) )是是U U内的正定

10、函数，内的正定函数，是负号函数或恒为零。以下先导出一个不等式，是负号函数或恒为零。以下先导出一个不等式，然后用反证法完成证明。然后用反证法完成证明。 0)(tuV 任给任给0，记，记 为连续函数为连续函数V(uV(u) )在超球面在超球面 上上的下确界。因的下确界。因V(uV(u) )正定，必有正定，必有 。根据。根据V(uV(u) )在在u=0u=0处的连续性，对于上述处的连续性，对于上述 ，存在，存在 ，只要只要 则有则有 注意到注意到 ，沿着自，沿着自u u(t(t0 0)=)=u u0 0出发的相轨线必有出发的相轨线必有 u00)(0,0u.)(0uV0)(tuV(1) )()(0uV

11、tuV 如果系统的原点不稳定，则存在某一时如果系统的原点不稳定，则存在某一时刻刻t*t0使得使得u(u(t*) = 。注意到。注意到 是是V(uV(u) )在在u=上的下确界，连同不等式上的下确界，连同不等式(1)(1)得到矛盾结果得到矛盾结果 )()(0*uVtuV因此，系统的原点是稳定的。证毕。因此，系统的原点是稳定的。证毕。 定理定理2 (2 (渐近稳定性定理渐近稳定性定理) ) 如果存在定号如果存在定号函数函数V(uV(u) )，其沿系统，其沿系统确定的相轨线上的全导数是与确定的相轨线上的全导数是与V(uV(u) )异号的定号异号的定号函数，则该系统的原点是渐近稳定的。函数，则该系统的

12、原点是渐近稳定的。 nnnRRufRUuufu:, )(证明：不妨设证明：不妨设V(uV(u) )是是U U内的正定函数，内的正定函数，是负定函数。根据定理是负定函数。根据定理1 1，系统的原点是稳定，系统的原点是稳定的。现考察的。现考察u u(t(t) )的渐近性质。由于的渐近性质。由于 负定，不等式负定，不等式(1)(1)可推广为可推广为 0)(tuV0)(tuV(2) )()()()(0012uVuVuVuvr其中其中 (3) ,2, 1 ,0, )(1rtttuurrrr不等式不等式(2)(2)说明，序列说明，序列(3)(3)使使 根据函数根据函数V(uV(u) )的连续性，可得到的连

13、续性，可得到 。再。再根据函数根据函数V(uV(u) )的连续性及正定条件，必有的连续性及正定条件，必有 。证毕。证毕。 . 0)(limrrtuV0)(limtuVr0)(limturLyapunovLyapunov及其后继学者曾对系统的不稳定性及其后继学者曾对系统的不稳定性进行过深入研究，提出了多种充分性判据，进行过深入研究，提出了多种充分性判据，此处仅给出最常用的一种。此处仅给出最常用的一种。 定理定理3 (不稳定性定理不稳定性定理) 若存在连续可微函数若存在连续可微函数V(u)，它在原点的任意邻域内总能取到正值，它在原点的任意邻域内总能取到正值（或负值），而其沿系统（或负值），而其沿系

14、统确定的相轨线上的全导数正定（或负定），确定的相轨线上的全导数正定（或负定），则该系统的原点不稳定。则该系统的原点不稳定。 nnnRRufRUuufu:, )( 证明：任给证明：任给00，取原点的邻域，取原点的邻域 并约定在除去原点的该邻域内并约定在除去原点的该邻域内 。根据定根据定理的前提，对于理的前提，对于0 0ttt0 0恒有恒有u u(t)(t)，这意味着这意味着V(V(u u( (t t)有界。而由有界。而由 知，知，0V(u0)V(u(t)且单调递增。根据且单调递增。根据V(uV(u) )的连续的连续性及性及V(0)=0V(0)=0，存在，存在00 ttt0 0恒恒有有u(tu(t

15、)。对于环域对于环域U U U U及其闭包，记及其闭包，记连续正定函数连续正定函数 在其上的最小值为在其上的最小值为m0m0。对。对 积分得积分得V(uV(u0 0)+m(t-t)+m(t-t0 0)V(u(t)V(u(t)。这与这与V(u(tV(u(t)有界相矛盾。证毕。有界相矛盾。证毕。0)(tuV)(uVmtuV)(例例1 1 考察刚度软化的考察刚度软化的DuffingDuffing系统系统 式中参数均为正，研究其平衡点的稳定性。式中参数均为正，研究其平衡点的稳定性。 解：将方程解：将方程(a)(a)改写为改写为 该系统具有三个平衡点及该系统具有三个平衡点及(0,0),(0,0),及及

16、以下分别讨论它们的稳定性。以下分别讨论它们的稳定性。 a.a.对于平衡点（对于平衡点（0,0)0,0)，取系统总能量为，取系统总能量为LyapunovLyapunov函数函数)(02320200auuuu )()(2)(2031120221bufuuuuuuu)0 ,/1()(02)()()()(220223112022131120duuuuuuuuuuufuVV)(21421),(224120212021cuuuuuV显然，在除去显然，在除去(0,0)(0,0)的邻域中的邻域中V(uV(u1 1,u,u2 2)0)0，而根据方程而根据方程(b) (b) 根据定理根据定理2 2，该系统的平衡点

17、渐近稳定。，该系统的平衡点渐近稳定。 b. b. 平衡点平衡点 是对称的，故只需研究是对称的，故只需研究 。通过坐标平移。通过坐标平移)0 ,/1()0 ,/1 ()(/111euv 可将方程可将方程(b)转化为转化为 )()(2)32(203121120221ivgvvvvvvvv仍以系统总能量构成仍以系统总能量构成LyapunovLyapunov函数函数 显然，若显然，若v v1 100，则，则V(V(v v1,1,0)00)0,r=1,2,3是转动惯量是转动惯量, ,k kr r0,r=1,2,30,r=1,2,3是线是线性控制力矩的反馈增益。现研究飞行器在指定姿性控制力矩的反馈增益。现研究飞行器在指定姿态态r r=0,r=1,2,3=0,r=1,2,3处的稳定性。处的稳定性。解：取解：取LyapunovLyapunov函数为正定二次型函数为正定二次型 )(),(231222213211bJJJV其沿方程其沿方程(a)相轨线的全导数是负定函数相轨线的全导数是负定函数 )()(2)(22332222