第三章 过程的数学描述

1、第第3章过程的数学描述章过程的数学描述3.1输入输出模型输入输出模型1、连续型输入输出模型、连续型输入输出模型2、离散型输入输出模型、离散型输入输出模型3.2状态空间模型状态空间模型1、连续型状态空间模型、连续型状态空间模型2、离散型状态空间模型、离散型状态空间模型3.3随机模型随机模型1、一般概念、一般概念2、噪声模型及其分类、噪声模型及其分类3.1.1连续型输入输出模型连续型输入输出模型 连续过程输入输出模型的基本形式是连续过程输入输出模型的基本形式是常微分方程常微分方程)()()()()()()(11111111tubdttdubdttudbtyadttdyadttydadttydnnn

2、nnnnnnn 其中，其中，u(t)和和y(t)分别为过程的输入输出变量。对线性时不变过程分别为过程的输入输出变量。对线性时不变过程来说，系数来说，系数a1,an,b1,bn都是常数。对应的传递函数为都是常数。对应的传递函数为nnnnnnnasasasbsbsbsUsYsG111111)()()( 式中，式中，s为运算子，为运算子，Y(s)、U(s)分别为分别为y(t)、u(t)的的Laplace变换。变换。3.1输入输出模型输入输出模型3.1.2离散型输入输出模型离散型输入输出模型离散过程是连续中以离散化的结果。离散过程的输入输出量只在采离散过程是连续中以离散化的结果。离散过程的输入输出量只

3、在采样时刻取值，分别记为样时刻取值，分别记为y(kT0)和和u(kT0)，其中，其中T0为采样周期。为书为采样周期。为书写简便，写简便，kt0时常简写为时常简写为k。离散型输入输出模型的基本表达形式是离散型输入输出模型的基本表达形式是差分方程差分方程)() 1()() 1()(11nkubkubnkyakyakynn 在零起始条件下，对上式进行在零起始条件下，对上式进行z变换，得到过程的脉冲传递函数变换，得到过程的脉冲传递函数nnnnzazazbzbzbzG11221111)( 其中其中z为运算子，它与运算子为运算子，它与运算子s的关系如下。的关系如下。z-1通常称为迟延算子通常称为迟延算子（

4、时间平移因子），（时间平移因子），z-i代表把信号推迟代表把信号推迟iT0时间（或称推迟时间（或称推迟i拍）拍）sTez0 3.1.3对象（过程）的数学描述对象（过程）的数学描述设对象为离散时间单输入输出线性系统，用下列差分方程描述设对象为离散时间单输入输出线性系统，用下列差分方程描述)() 1()()() 1()(1011ndkubdkubdkubnkyakyakynn (3.1.1)其中，其中，y(k)、u(k)为对象的输出输入，为对象的输出输入，k为采样时间为采样时间d：对象的延迟时间：对象的延迟时间d=L+1 L为对象的纯延迟时间为对象的纯延迟时间nnbbaa, , , , ,01 为

5、对象的参数，是未知的或时变的，表示对象为对象的参数，是未知的或时变的，表示对象的不确定。的不确定。n为对象的阶次。为对象的阶次。nnnndnndnnzbzbbzBzazazAkuzBzkyzAkuzbzbbzkyzaza11011111111111110111)(1)()()()()()()()()1 ( 有有其中其中（3.1.2）（首（首1多项式）多项式）引入时间平移因子引入时间平移因子z-1 y(k-1)=z-1y(k） 这样这样(3.1.1)式可改写成式可改写成)()()()()()(110111kuzzbkuzzbkuzbkyzakyzakyndnddnn 3.2状态空间模型状态空间模

6、型3.2.1连续型状态空间模型连续型状态空间模型线性时不变连续型状态空间描述是线性时不变连续型状态空间描述是)()()()()(tcxtytbutAxtx 这里，这里，x(t)是过程的状态变量；是过程的状态变量；y(t)、u(t)分别为输入输出量，对于分别为输入输出量，对于SISO系统，它们都是标量；系统，它们都是标量；A、b和和c分别为系统矩阵、输入矩阵和分别为系统矩阵、输入矩阵和输出矩阵。其对应的传递函数为输出矩阵。其对应的传递函数为bAsIcsG1)()( 式中式中I为单位阵。上式表明，过程的输入输出模型可以由状态空间为单位阵。上式表明，过程的输入输出模型可以由状态空间模型唯一地确定，但

7、反过来则不然，状态空间模型表达式并非唯一，模型唯一地确定，但反过来则不然，状态空间模型表达式并非唯一，它取决于状态变量它取决于状态变量x的选择。的选择。3.2.2离散型状态空间模型离散型状态空间模型离散型状态空间模型为离散型状态空间模型为)()()()() 1(kcxkykbukAxkx bAzIczG11)()( 其对应的传递函数是其对应的传递函数是连续型状态空间模型和离散型状态空间模型都可以变换成连续型状态空间模型和离散型状态空间模型都可以变换成可控规范型或可观规范型可控规范型或可观规范型3.3随机模型随机模型3.3.1一般概念一般概念以上讨论的数学模型，所有的输入输出量以及状态变量都当作

8、确定以上讨论的数学模型，所有的输入输出量以及状态变量都当作确定量来处理，叫作量来处理，叫作确定性模型确定性模型（没有考虑到干扰的作用）。把影响系（没有考虑到干扰的作用）。把影响系统的各种干扰，给数学模型描述带来误差的随机量，称为数学模型统的各种干扰，给数学模型描述带来误差的随机量，称为数学模型中的中的“噪声噪声”。如果在数学模型中考虑这些随机因素的影响，就得。如果在数学模型中考虑这些随机因素的影响，就得到了随机模型。到了随机模型。所谓所谓随机模型随机模型就是在确定性模型的基础上以叠加的方式考就是在确定性模型的基础上以叠加的方式考虑噪声的影响虑噪声的影响。噪声的来源可能很多，对于线性系统，要以将

9、作用在其各部分的噪噪声的来源可能很多，对于线性系统，要以将作用在其各部分的噪声等效为一个作用在其输入端的噪声声等效为一个作用在其输入端的噪声v(k)-随机序列随机序列。3.3.2噪声模型及其分类噪声模型及其分类 下图为对象及其运行环境下图为对象及其运行环境B2(z-1)A2(z-1) Z-d B1(z-1) A1(z-1)u(k)(k)(k)y(k)写成数学模型为写成数学模型为cccbbbaaanciinnniiinnniiinndddzczczczBzAzCzbzbzbbzBzAzBzazazazAzAzAkzAzCkuzAzBzkzAzBkuzAzBzkvkuzAzBzky11112111

10、01101112111112111111112121111111111)()()()()()(11)()()() 1 . 3 . 3()()()()()()()()()()()()()()()()()(式中其中，其中，d是对象的延迟时间；是对象的延迟时间；y(k)、u(k)是对象的输入输出是对象的输入输出量；量；(k)为白噪声。为白噪声。式式(3.3.1)称为称为CARMA模型模型，受控自回归滑动平均模型受控自回归滑动平均模型(Controlled Auto-Regressive Moving Average)噪声模型分类：噪声模型分类： 若若C(z-1)1，称受控自回归模型（，称受控自回归模

11、型（CAR） 若若u(k)0，称自回归平均滑动模型（，称自回归平均滑动模型（ARMA） 若若C(z-1)1， u(k)0称自回归模型（称自回归模型（AR）若若A (z-1)1， u(k)0称滑动平均模型（称滑动平均模型（MA）式式(3.3.1)还可以写成还可以写成)()()()()()()()()()()()(111111kzCdkuzBkyzAkzCkuzBzkyzAd或说明说明： CARMA模型可以描述大多数线性系统的工业过程，其模型可以描述大多数线性系统的工业过程，其中中na、nb、nc阶次以及阶次以及ai、bi、ci系数可能是未知的或时变系数可能是未知的或时变的，表示不确定性。的，表示

12、不确定性。d由具体过程决定。由具体过程决定。 多项式多项式A(z-1)、B(z-1)、C(z-1)中的中的z-1是时间平移因子是时间平移因子 对于多输入输出对于多输入输出(MIMO)系统的工业过程，其系统的工业过程，其CARMA模型为模型为1111111111101111111)()()()()()()()()()()()(:)()()()()()(rrqqppinninninndkkkkukukUkykykYrpCzczcIzCqpBzBzBBzBppAzAzAIzAkzCkUzBzkYzAccbbaa为矩阵为矩阵为矩阵式中多输入输出多输入输出(MIMO) CARMA模型模型：例题例题设设M

13、IMO系统的系统的2101212drnnnqpcba列写系统的列写系统的CARMA模型模型IzCzBBzBzAzAIzA)()()(1110122111（A为为22B为为21C为为21）则有：则有：)()()()()(21112111102101122122222212122111122121112111kkkuzbbbbzkykyzaaaazaaaaI)()3()2()2()2() 1() 1()()()3()2()2()2() 1() 1()(212102122221221212211212111101122121211211211111kkubkubkyakyakyakyakykkubk

14、ubkyakyakyakyaky随机序列的相关知识随机序列的相关知识1、平稳随机序列、平稳随机序列：具有统计特性时间不变的特点的随机序列。在：具有统计特性时间不变的特点的随机序列。在工程中采用数字特征来描述工程中采用数字特征来描述随机序列随机序列。 数学期望数学期望常数dxkxxfkdxkxxfkxEv),()()()( 概率空间中的总体平均值，代表其取值的平稳性。概率空间中的总体平均值，代表其取值的平稳性。 相关函数相关函数)()(),()()(RRkRkvkvE 代表随机序列中两个变量的相关性。（随机变量在两个时刻同代表随机序列中两个变量的相关性。（随机变量在两个时刻同时出现的概率）。平稳

15、随机序列的相关函数是偶函数。时出现的概率）。平稳随机序列的相关函数是偶函数。如果随机序列如果随机序列v(k)的数学期望为常数（一般为的数学期望为常数（一般为0），相关函数只是），相关函数只是时间间隔的函数，则称时间间隔的函数，则称v(k)为平稳随机序列。为平稳随机序列。2、谱密度、谱密度：平稳随机过程相关函数的富利叶变换，称为谱密度。平稳随机过程相关函数的富利叶变换，称为谱密度。)()(kRekvkjv dekRkjvv)(21)( ()：随机序列的功率频谱（谱密度）：随机序列的功率频谱（谱密度）Rv(k)：噪声（随机序列）的能量是各个频率分量的能量：噪声（随机序列）的能量是各个频率分量的能量（谱密度）的总和。（谱密度）的总和。随机序列的相关知识（随机序列的相关知识（2）3、白噪声、白噪声：数学期望为数学期望为0，相关函数为脉冲函数的随机序列。，相关函数为脉冲函数的随机序列。0)(kwE 000