相似三角形复习——比例式、等积式的几种常见证明方法

1、相似三角形复习相似三角形复习比例式、等积式的常见证明方法比例式、等积式的常见证明方法如图，在如图，在ABCABC中，中，ABABACAC，D D为为ACAC边上异于边上异于A A、C C的一点，过的一点，过D D点作一直线与点作一直线与ABAB相交于点相交于点E E，使所得，使所得到的新三角形与原到的新三角形与原ABCABC相似相似. .问：你能画出符合条件的直线吗？问：你能画出符合条件的直线吗？ D DA AC CB BEE相似三角形的判定方法相似三角形的判定方法1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似的三角形与原三

2、角形相似2、有两角对应相等的两个三角形相似、有两角对应相等的两个三角形相似ABCABCDABC如图，每个小正方形边长均为如图，每个小正方形边长均为1，则下，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图列图中的三角形（阴影部分）与左图中中 相似的是（相似的是（ ）3、两边对应成比例、两边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似且夹角相等的两三角形相似4、三边对应成比例的两三角形相似、三边对应成比例的两三角形相似B相似三角形的判定方法相似三角形的判定方法直角三角形相似的判定直角三角形相似的判定: :BCABCA直角边和斜边的比相等，两直角直角边和斜边的比相等，两直角三角形相似。三角形相似。 ABA BACAC

3、=C=C =90oRtABCRtABC三角形相似的判定还有什三角形相似的判定还有什么方法？么方法？显然还有传递性和定义法。显然还有传递性和定义法。CABD在这在这一一个图形中个图形中, ,有有两两个个垂直垂直, ,有有_对相似对相似, ,有有_对互余的角对互余的角, ,有有_组对应成比例的组对应成比例的六条六条线线段段. . 三三四四五五AC2=ADABBC2=BDABCD2=ADBDAC:AD=BC:CDBC:BD=AC:CDFEDCBA例例.如图：已知如图：已知BAC=90, BD=DC, DEBC 交交AC于于E,交交BA的延长线于的延长线于F. 求证：求证：AD2=DEDF由由AD2=

4、DEDF，得，得故只要证明故只要证明ADE FDA即可即可分析：分析：ADDEADDF=利用相似利用相似三角形的三角形的性质性质FEDCBA例例.如图：已知如图：已知BAC=90, BD=DC, DEBC 交交AC于于E,交交BA的延长线于的延长线于F. 求证：求证：AD2=DEDF证明：证明： F= C =DAC BAC=90, BD=DC DEBC C+ B= 90 ADE= FDA AD=DC,从而从而DAC= C F+ B= 90 ADE FDA AD2=DEDF点评：证明乘积式时，可先点评：证明乘积式时，可先将乘积式改为比例式，然后将乘积式改为比例式，然后找相似三角形（或平行线）找相

5、似三角形（或平行线）ADDEADDF= 例例2. 如图如图,在直角梯形在直角梯形ABCD中中,ABCD, ABBC,对角线对角线ACBD,垂足垂足为为E,AD=BD,过点过点E作作EFAB交交AD于于F, 试说明试说明 : AF2=AEEC利用等线利用等线段代换段代换DCABFE点评：证明乘积式时，如果不点评：证明乘积式时，如果不能找相似三角形（或平行线），能找相似三角形（或平行线），可以进行等线段替换。可以进行等线段替换。 例例 2巩固巩固.已知已知,如图如图,CE是直角是直角ABC的的斜边斜边AB上的高上的高,在在EC的延长线上任取一点的延长线上任取一点P,连接连接AP,作作BGAP,垂足

6、为垂足为G,交交CE于于D, 试说明试说明:CE2=EDEP.利用等积利用等积式代换式代换PGABECD点评：证明乘积式时，如果不点评：证明乘积式时，如果不能进行等线段替换，还可以转能进行等线段替换，还可以转化一个乘积。化一个乘积。例例3.已知已知,如图如图,在在ABC中中, BAC=90, ADBC,垂足为垂足为D,E是是AC的中点的中点,ED的延的延长线交长线交AB的延长线于点的延长线于点F. 试说明试说明:AB：AC=DF：AF利用等比利用等比式代换式代换ACBDFE点评：证明乘积式时，如果不点评：证明乘积式时，如果不能进行等线段替换，也可以转能进行等线段替换，也可以转化一个比。化一个比

7、。例例4 如图：如图： 已知已知ABC 中，中，AD平分平分BAC ， EF是是AD的中垂线，的中垂线，EF 交交BC的延长线于的延长线于F . 求证：求证：FD2=FCFBFEDCBA分析：分析：由由FD2=FCFB，得，得FDFBFDFC=但但FD、FC、FB都在都在同一直线上，无法同一直线上，无法利用相似三角形利用相似三角形.由于由于FD=FA，替，替换后可形成相似三角形换后可形成相似三角形.FDFBFDFC=FAFBFAFC=只要证只要证FABFCA即可即可. 例例4提高提高.如图：如图：D为为ABC的底边的底边BC的延长线上一点，的延长线上一点， 直线直线DF 交交AC于于E,且且F

8、EA=AFE . 求证：求证：BDCE=CDBFFEDCBA由由BDCE=CDBF，得，得分析：分析：但但DBF与与 DCE不相似不相似因此，需作辅助线构造相似三角形因此，需作辅助线构造相似三角形BDBFCECD=例例4提高提高.如图：如图：D为为ABC的底边的底边BC的延长线上一点，的延长线上一点， 直线直线DF 交交AC于于E,且且FEA=AFE . 求证：求证：BDCE=CDBFFEDCBAG方法一：方法一： 过点过点C作作CGAB,交交DF于于G 则则DCG DBF 故故再证再证CG=CE 即可即可CDCGBFBD=FEDCBAG方法二：方法二： 过点过点C作作CGDF,交交AB于于G

9、 故故再证再证FG=CE 即可即可例例4提高提高.如图：如图：D为为ABC的底边的底边BC的延长线上一点，的延长线上一点， 直线直线DF 交交AC于于E,且且FEA=AFE . 求证：求证：BDCE=CDBFBDBFFGCD=FEDCBAG例例4提高提高 如图：如图：D为为ABC的底边的底边BC的延长线上一点，的延长线上一点， 直线直线DF 交交AC于于E,且且FEA=AFE . 求证：求证：BDCE=CDBF方法三：方法三：过点过点B作作BGDF,交交DF的延长线于的延长线于G 故故再证再证BG=BF 即可即可则则DCE DBG DCCEBGDB=由由三角形相似三角形相似证线段成比例的一般步

10、骤：证线段成比例的一般步骤：1、先看这些线段确定哪两个可能相似的三、先看这些线段确定哪两个可能相似的三角形；再找这两个三角形相似所需要的条件；角形；再找这两个三角形相似所需要的条件；2、如这两个三角形不相似，则采用其它办、如这两个三角形不相似，则采用其它办法（如找法（如找中间比中间比代换等）；代换等）；3、当无法用三角形相似来证明线段成比例、当无法用三角形相似来证明线段成比例时，可试着用时，可试着用引平行线引平行线的方法。的方法。ABDEC 如上图如上图, BAC=120, BAC=120, , ADEADE是等边三角形是等边三角形, ,小丽发现图中有些线段是其他两条线段的比例中小丽发现图中有些线段是其他两条线段的比例中项项, ,你知道小丽说的是哪些线段吗你知道小丽说的是哪些线段吗? ? 它们分别是它们分别是哪些线段的比例中项吗哪些线段的比例中项吗? ?如果如果ADEADE是是AD=A