高量6-01 多个角动量耦合

1、2022年4月27日星期三2时48分58秒1年月年月第六章第六章 多个角动量耦合多个角动量耦合2022年4月27日星期三2时48分58秒2引言引言构造原子和原子核等全同多粒子体系的波构造原子和原子核等全同多粒子体系的波函数，要求：函数，要求：、具有一定的、具有一定的交换对称性交换对称性、是、是角动量角动量算符的算符的本征态本征态涉及不同耦合方式之间的关系（如涉及不同耦合方式之间的关系（如 L-S耦耦合、合、j-j耦合），将碰到四个角动量的耦合耦合），将碰到四个角动量的耦合解决此类问题涉及多个角动量的耦合，其解决此类问题涉及多个角动量的耦合，其 基础基础是两个和三个角动量的耦合是两个和三个角动量

2、的耦合定位：应用上十分重要的定位：应用上十分重要的技术性问题技术性问题2022年4月27日星期三2时48分58秒36.1三个角动量耦合三个角动量耦合Racah系数，系数，6-j符号符号Racah Coefficient; 6-j Symbol2022年4月27日星期三2时48分58秒4一、一、Racah系数；与系数；与C-G系数之关系系数之关系三角动量耦合有三角动量耦合有次序次序问题问题，Racah系数由系数由此而来此而来考虑彼此考虑彼此对易对易且且独立独立的三个角动量的三个角动量已知已知3 , 2 , 1)() 1()(22imjjJJimjiiiimjiziiiii三角动量相加三角动量相加

3、321JJJJ有三种方式有三种方式)1 (3121221aJJJJJJ；)1 (2312332bJJJJJJ；)1 (1321331cJJJJJJ；2022年4月27日星期三2时48分59秒5一、一、Racah系数；与系数；与C-G系数之关系系数之关系(1a)对应对应zJJJJJJ2232122221的共同本征函数的共同本征函数)3()12();(33312121233121231221mjmmmjjmmjmjCjmjjjj)2()1 ()12(2231211121222111212mjmmmjmjmjmjmjC(1b)对应对应zJJJJJJ2223232221的共同本征函数的共同本征函数)2

4、3() 1 ();(23233121123231123321mjmmmjjmmjmjCjmjjjj323322232333222323)3()2()23(mmmjmjmjmjmjmjC2022年4月27日星期三2时48分59秒6一、一、Racah系数；与系数；与C-G系数之关系系数之关系两个表象通过一个幺正变换相联系两个表象通过一个幺正变换相联系);();();(2332123123213122123jmjjjjjjjjjjUjmjjjjj 综合以上各式可得综合以上各式可得jmjjjjjmjjjjjjjjjjU;|;);(312212332123123212312321232333222323

5、1133121212122211mmmmmmjmjmjjmmjmjjmmjmjmjmjmjCCCCU为为C-G系数乘积组合而成，因而为系数乘积组合而成，因而为实数实数称称U为为重耦合重耦合(recoupling)系数系数2022年4月27日星期三2时48分59秒7一、一、Racah系数；与系数；与C-G系数之关系系数之关系U与所有磁量子数无关与所有磁量子数无关1、2312321,mmmmm已求和，已求和，U与之无关与之无关2、证明与、证明与m无关。以升降算符作用于变换式无关。以升降算符作用于变换式jmjjjjJjjjjjjUjmjjjjJj;|);(;|23321231232131221231

6、;| );(1;|2332123123213122123jmjjjjjjjjjjUjmjjjjj m 不同对应的变换系数相同不同对应的变换系数相同2022年4月27日星期三2时48分59秒8一、一、Racah系数；与系数；与C-G系数之关系系数之关系变换系数的幺正性变换系数的幺正性由由31221312211212;|;jjjmjjjjjmjjjj23321233212323; |;jjjmjjjjjmjjjj23123212312321121223);();(jjjjjjjjjUjjjjjjU23123212312321232312) ;();(jjjjjjjjjUjjjjjjU逆变换逆变换)

7、;();();(3122123123212332112jmjjjjjjjjjjUjmjjjjj2022年4月27日星期三2时48分59秒9一、一、Racah系数；与系数；与C-G系数之关系系数之关系定义定义Racah系数系数2/1231223123212312321)12)(12/();();(jjjjjjjjUjjjjjjW解析表达式解析表达式2/12312223123132123123323121221233223131212212312321)!()!()!()!()!()!()!( )!1()()()()()();(321jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj

8、jjjjjjjjjjWvjjjj2022年4月27日星期三2时48分59秒10二、二、Racah系数的解析表达式系数的解析表达式三角关系三角关系2/112211122211212211221)!1()!()!()!()(jjjjjjjjjjjjjjjRacah系数包含四个系数包含四个C-G系数系数四个三角关系四个三角关系2022年4月27日星期三2时48分59秒11三、三、Racah系数的对称性系数的对称性由由C-G系数对称性而来系数对称性而来在量子数交换时，必须保持四个三角关系在量子数交换时，必须保持四个三角关系三角关系图形三角关系图形一个图形对应一个一个图形对应一个Racah系数系数规定图

9、中弯形箭头的次序为规定图中弯形箭头的次序为Racah系数中系数中角量子数的排列次序，共角量子数的排列次序，共24个图形个图形2022年4月27日星期三2时48分59秒12三、三、Racah系数的对称性系数的对称性两种交换对称性两种交换对称性分号两边量子数间无交换的分号两边量子数间无交换的W都相等都相等分号两边量子数有交换的分号两边量子数有交换的W相差一相因子相差一相因子);();();();();();(.122312312233212312213231212323123122312321jjjjjjWjjjjjjWjjjjjjWjjjjjjWjjjjjjWjjjjjjWge);()();()

10、();(.23231213123212231232122312312312jjjjjjWjjjjjjWjjjjjjWgejjjjjjjj2022年4月27日星期三2时48分59秒13三、三、Racah系数的对称性系数的对称性完全版完全版2312321jjjjjjabcdef );(),;(),;(),;();(),;(),;();(fedbcaWfebdacWfecadbWfeacbdWefdcbaWefcdabWefbadcWefabcdW);(),;(),;(),;();(),;(),;(),;()()(cbdefaWcbedafWcbfadeWcbafedWbcdfeaWbcfdaeWb

11、ceadfWbcaefdWabcdefWfecb);(),;(),;(),;();(),;(),;(),;()()(dafbceWdabfecWdacefbWdaecbfWadfcbeWadcfebWadbefcWadebcfWabcdefWfeda2022年4月27日星期三2时48分59秒14四、四、6-j 符号符号 Wigner引进引进);()()12)(12();()(23123212/1231223123212331221321321jjjjjjWjjjjjjjjUjjjjjjjjjjjjjj对称性更高，在下列变换下值不变对称性更高，在下列变换下值不变任意两列交换；任意两列上下两行交换

12、任意两列交换；任意两列上下两行交换事实上，事实上，对应对应24 24 个个W的的6-j 符号全相等符号全相等2022年4月27日星期三2时48分59秒15五、五、Racah 系数求和公式系数求和公式 C-G系数与系数与Racah系数间求和公式系数间求和公式) 1 ();(2323112233211221122211223232233222312321jmjjjmjjjjjjjjCjjjjjjUCCCjmjjjjjjjjjjmjjCCjjjjjjUCC2233211221122211122323223322232311);()2(23123212022年4月27日星期三2时48分59秒16五、五

13、、Racah 系数求和公式系数求和公式 证明证明 把展开式代入变换关系把展开式代入变换关系);();();(2332123123213122123jmjjjjjjjjjjUjmjjjjj3322112312321332211|);(|2332123233322232311231232133121212122211mjmjmjCCjjjjjjUmjmjmjCCmmmmmjmjmjjmmjmjjmmmmjmmjmjmjmjmj2022年4月27日星期三2时48分59秒17五、五、Racah 系数求和公式系数求和公式以左矢以左矢|332211jjj作用于两边作用于两边2323323322232311

14、23322333223223112333211221122211);();(23123212312321jjjjmjjjjjjjmjjjjmjjjjjCCjjjjjjUCCjjjjjjUCC以以223233322jjjC作用上式两边得作用上式两边得 (1) ;(122312321jjjjjjjU以以作用得作用得 (2)2022年4月27日星期三2时48分59秒18五、五、Racah 系数求和公式系数求和公式 Racah系数间求和公式系数间求和公式（1 1）);();()();(31231322312321123121323312312321jjjjjjUjjjjjjUjjjjjjUjjjjjj

15、jj 用用Racah系数表示系数表示);();() 12()();(3123132231232123123121323312312321jjjjjjWjjjjjjWjjjjjjjWjjjjjjjj 2022年4月27日星期三2时48分59秒19五、五、Racah 系数求和公式系数求和公式 Racah系数间求和公式系数间求和公式（2 2）);();();();();(124231423141241241212412341232412341232312312321124jjjjjjUjjjjjjUjjjjjjUjjjjjjUjjjjjjUj);();();() 12();();(124231423

16、141241241212412341231242412341232312312321124jjjjjjWjjjjjjWjjjjjjWjjjjjjjWjjjjjjWj用用Racah系数表示系数表示2022年4月27日星期三2时48分59秒20五、五、Racah 系数求和公式系数求和公式证明两个求和公式要用到的关系式证明两个求和公式要用到的关系式jmjjjjjmjjjjjjjjjjU;|;);(31221233212312321jmjjjjjmjjjj;|;2332131221jmjjjjmjmjmjCCmjmjmjCCjmjjjjjjjmmmmjmmjmjmjmjmjjjjmmmmjmmjmjm

17、jmjmj;|)(|)(|;|31212332211332211312211221123213312121212112212211232133121212122211以及以及jmjjjjjmjjjjjjj;|)(;|12213312211232022年4月27日星期三2时48分59秒21五、五、Racah 系数求和公式系数求和公式 （1 1）式的证明）式的证明插入封闭关系jmjjjjjmjjjj;|;3113231221jmjjjjjmjjjjjmjjjjjmjjjjj;|;|;311322332123321312212323;|;);(31132233212312321jjmjjjjjmjj

18、jjjjjjjjUjmjjjjjmjjjj;|;3113231221而jjjjjjjmjjjjjmjjjj231312)(;|;)(2311312213);()(12312132311232jjjjjjUjjjjj2022年4月27日星期三2时48分59秒22五、五、Racah 系数求和公式系数求和公式 （1 1）式的证明（续）式的证明（续）jmjjjjjmjjjj;|;3113223321又jmjjjjjmjjjjjjj;|;)(3113212332231);()(3123132231jjjjjjUjjj将后两式代入第一式，注意到将后两式代入第一式，注意到，即得（，即得（1）SSjjjjjS

19、)()(2311232整数jjjjjjjjjjjjjjjevenjjjjjjjjjjjS312312321312312321312312321231)()()()()(4432022年4月27日星期三2时48分59秒23六、六、Racah 系数基本应用系数基本应用 用于计算不可约张量算符矩阵元用于计算不可约张量算符矩阵元jmjjTTjmjjLL2121| )2() 1 (|2211212211) 12)(12(|)2(| |) 1 (| )(21jjjjLjjjjTjjTjLLjjj2022年4月27日星期三2时48分59秒24六、六、Racah 系数基本应用系数基本应用 用于计算不可约张量算

20、符矩阵元用于计算不可约张量算符矩阵元jmjjTmjjjLM2121| ) 1 (| 211111); () 12)(12(|) 1 (| )(1222mjjmLMLjjLjjjCLjjjjjWjjjTj2022年4月27日星期三2时48分59秒25六、六、Racah 系数基本应用系数基本应用 具体例子具体例子计算电子角动量平均值计算电子角动量平均值jmlLjmljmlLjmlz210212121|jmjmjlClljjWljlLl10211)1 ;() 12)(12()(|21利用利用) 1(|lllLl) 1(/10jjmCjmjm) 12)(1() 12)(1(2) 1() 1()()1:

21、(432121llljjjlljjlljjWlj) 1() 1() 1(2|432121lljjjjmjmlLjmlz2022年4月27日星期三2时48分59秒26六、六、Racah 系数基本应用系数基本应用 计算电子角动量平均值（续）计算电子角动量平均值（续）jmLJjmjjjmJjmjmlLjmlz|) 1(|202121亦可利用一阶张量投影定理计算亦可利用一阶张量投影定理计算2022年4月27日星期三2时48分59秒27六、六、Racah 系数基本应用系数基本应用具体例子具体例子计算氦核电四极矩计算氦核电四极矩设氦核处于态设氦核处于态13P1111|13P电四极算符电四极算符)(2022

22、51620YreQ1111|11111111|1111202251620YreQ11112011212022516)21;1111(33)(1|1CWYre因因451024510102021|1CY10/1111120C6/1)21;1111(W25120reQ2022年4月27日星期三2时48分59秒286.2矢量球函数及梯度公式矢量球函数及梯度公式Vector Spherical Function2022年4月27日星期三2时48分59秒29一、矢量球函数一、矢量球函数 矢量函数描述矢量函数描述 S=1 的粒子的粒子010100000 iSx12122zSS01211i1001001211

23、1i2022年4月27日星期三2时48分59秒30一、矢量球函数一、矢量球函数 总角动量本征函数总角动量本征函数mLMmJMmLMzJMLLLYCsT11, 0, 111)()(称为矢量球函数称为矢量球函数2022年4月27日星期三2时48分59秒31一、矢量球函数一、矢量球函数 梯度公式梯度公式lmllllmllllmTlrrrrTlrrrrYr111211121) 1()()()()()(2022年4月27日星期三2时48分59秒326.3四个角动量耦合四个角动量耦合9-j符号符号9-j Symbol2022年4月27日星期三2时48分59秒33一、考虑四个角动量的耦合一、考虑四个角动量的

24、耦合 考虑两种耦合次序考虑两种耦合次序对应两个表象对应两个表象力学量完全集力学量完全集共同本征函数展开式共同本征函数展开式2022年4月27日星期三2时48分59秒34一、考虑四个角动量的耦合一、考虑四个角动量的耦合 变换系数与变换系数与9-j 符号符号与与C-G系数的关系系数的关系2022年4月27日星期三2时48分59秒35一、考虑四个角动量的耦合一、考虑四个角动量的耦合 9-j 符号与符号与6-j 符号的关系符号的关系1)243434232243344322) 12)(12()(0342432jjjjjjjjjjjjjjjjjjjj2) 31241324234433412212241334431221) 12()(jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj2022年4月27日星期三2时48分59秒36一、一、9-j 符号的对称性符号的对称性 9-j 符号与符号与3-j 符号的关系符号的关系mmmjjjmmmjjjmmmjjjmmmjjjmmmjjjmmmjjjjjjjjjjjjm2412413244224421331133