2010—Chap5 静态场边值问题解法Appt课件

1、Chap. 5 Chap. 5 静态场边值问题的解法静态场边值问题的解法51 静态场问题的分类静态场问题的分类分布型问题分布型问题边值型问题边值型问题l 已知场源分布，求各点场强或位函数已知场源分布，求各点场强或位函数 （正问题）（正问题）l 已知场分布，求场源的分布 （反/逆问题）l 给定空间某一区域内的场源分布，同时给定该区域边界上的给定空间某一区域内的场源分布，同时给定该区域边界上的场强或位函数即边值条件），在这种情况下求解该区域内的场强或位函数即边值条件），在这种情况下求解该区域内的位函数或场分布；位函数或场分布；51 静态场问题的分类静态场问题的分类 边值型问题的分类l 第一类边值问

2、题第一类边值问题 （狄利赫利（狄利赫利Dirichlet问题）问题） SfS1 l 第二类边值问题第二类边值问题 （诺伊曼（诺伊曼Neumann问题）问题） SfnS2 l 第三类边值问题第三类边值问题 l（混合边值问题，罗宾（混合边值问题，罗宾Robbin问题）问题） 241321SfnSfSS 边值型问题的常用方法：边值型问题的常用方法：解析法解析法数值法数值法直接法直接法间接法间接法分离变量法分离变量法镜像法、电轴法；镜像法、电轴法；复变函数法；复变函数法；格林函数法；格林函数法；积分法；微分方程法积分法；微分方程法FDMFDM有限差分法、有限差分法、FDTDFDTD时域有限差分法、时域

3、有限差分法、FEMFEM有限元法、有限元法、MOMMOM矩量法、矩量法、BEMBEM边界元法边界元法本章主要内容：本章主要内容：唯一性定理唯一性定理直接法直接法分离变量法分离变量法间接法间接法镜像法镜像法52 唯一性定理唯一性定理 静电场中，唯一性定理的表述：静电场中，唯一性定理的表述：在场域在场域V内，给定自由电荷分布内，给定自由电荷分布，在场域的边界上给定，在场域的边界上给定电位电位或电位的法向导数或电位的法向导数/n ，则泊松方程或拉普拉，则泊松方程或拉普拉斯方程体积斯方程体积V内的解唯一，即静电场唯一地确定内的解唯一，即静电场唯一地确定定理的意义：定理的意义：1 1、指出了静态场边值问

4、题具有唯一解的充分必要条件、指出了静态场边值问题具有唯一解的充分必要条件2 2、为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，可任意选择一种求解方法，只、为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，可任意选择一种求解方法，只要所得到的结果满足泊松方程或拉普拉斯方程又满足给定的边界条件，是间接法要所得到的结果满足泊松方程或拉普拉斯方程又满足给定的边界条件，是间接法求解泊松方程或拉普拉斯方程的理论依据。求解泊松方程或拉普拉斯方程的理论依据。3 3、阐明：对于分界面上条件，只要电位或电位的法向导数，二者给定其一，则、阐明：对于分界面上条件，只要电位或电位的法向导数，二者给定其一，则闭合面的电位唯一确定。若对同

5、一面积，同时给定表面上的电位和电位法向导数，闭合面的电位唯一确定。若对同一面积，同时给定表面上的电位和电位法向导数，则不存在唯一解。则不存在唯一解。5.3 5.3 分离变量法分离变量法适用范围：适用范围：当场域边界条件与某一正交曲线系的坐标面线相吻合时更好地利用边界当场域边界条件与某一正交曲线系的坐标面线相吻合时更好地利用边界条件），分离变量法是求解拉普拉斯方程的有效方法。条件），分离变量法是求解拉普拉斯方程的有效方法。求解步骤：求解步骤：根据问题中分界面的形状选择合适的坐标系。根据问题中分界面的形状选择合适的坐标系。将待求偏微分方程的解表示为三个函数的乘积，其中每个函数分别仅是一个将待求偏微

6、分方程的解表示为三个函数的乘积，其中每个函数分别仅是一个坐标变量的函数，这样将偏微分方程化为常微分方程的求解。再根据边界条件坐标变量的函数，这样将偏微分方程化为常微分方程的求解。再根据边界条件等确定通解的形式。等确定通解的形式。根据给定的边值和不同媒质分界面上位函数所满足的边界条件确定以上乘积根据给定的边值和不同媒质分界面上位函数所满足的边界条件确定以上乘积解中的积分常数解中的积分常数关键：关键：利用边界条件确定通解的形式及积分常数。利用边界条件确定通解的形式及积分常数。02222222 zyx 一、一、 直角坐标系中拉普拉斯方程的分离变量法直角坐标系中拉普拉斯方程的分离变量法02222222

7、 zyx zZyYxXzyx , 令令0222222 dzZdXYdyYdXZxdXdYZ0111222222 dzZdZdyYdYxdXdX zZyYxX同同除除以以 222222222111zyxkdzZdZkdyYdYkxdXdX0222 zyxkkk53 分离变量法分离变量法3D3D的偏微分方程分离成的偏微分方程分离成3 3个常微分方程个常微分方程称为分离常数称为分离常数zyxkkk,分离常数不能全为实数，也不能全为虚数，但可全为分离常数不能全为实数，也不能全为虚数，但可全为0 0分离常数不同，相应常微分方程及其解的形式也不同分离常数不同，相应常微分方程及其解的形式也不同2221xkx

8、dXdX 53 分离变量法分离变量法 直角坐标系直角坐标系l 若若kx为实数为实数 (kx20) xkBxkAxXxxcossin)(11 xjkxjkxxeDeC11 l 若若kx为虚数为虚数kx20，令，令x2kx2） xBxAxXxx coshsinh)(22 xxxxeDeC22l 若若kx000)(BxAxX Y(y)和和Z(z)的解的形式与的解的形式与X(x)完全相似，必须满足完全相似，必须满足kx2+ky2 + kz2 =0 再由给定的边界条件决定解再由给定的边界条件决定解 的适当形式的适当形式再边界条件决定解中各个待定系数再边界条件决定解中各个待定系数)()()(zZyYxX5

9、3 分离变量法分离变量法 直角坐标系直角坐标系例531 有一横截面为矩形的无限长金属管，其中三面管壁相连且接地，而另一面管壁与其两侧的管壁间有无限小的间隙以保证相互绝缘，此管壁的电位为U。试求金属管内的电位分布P152）022222 yx 4U0 ,300 , 0200 ,100 , 0axbyaxybyaxbyx 解：解： 000)2()1(yYaXyYX和和由由条条件件 000aXX xkBxkAxXxXxxsincos)()(11 只只能能为为三三角角函函数数，即即本征值对应的解的函数形式称为本征值对应的解的函数形式称为本征函数本征函数X(x)。53 分离变量法分离变量法 直角坐标系直角

10、坐标系 1000XA 0sin)(0)(1 akBaXaXx又又 0sin akx ,.2 , 1 nankx ,.,3 , 2 , 1sin)(1nxanBxXn xkBxXxsin)(1 yByAyYyYyy sinhcosh)()(22 只只能能为为双双曲曲或或指指数数函函数数anjkyy 2220yxnkka 0000 , 0)3( Yaxy 由由条条件件 ,.,3 , 2 , 1,sinhsinh)(22nyanByByYnyn yanxanAyxnn sinhsin,1Kx为本征值。它的意义是：为本征值。它的意义是：在上述边界条件下，分离常在上述边界条件下，分离常数数kx只有取这些

11、特定值时，只有取这些特定值时，方程才有非零解。方程才有非零解。待定系数待定系数An53 分离变量法分离变量法 直角坐标系直角坐标系 banxanAUbyxnn sinhsin,1 1sinnnxanC anndxxanUaCbanA0sin2sinh nnU112 abnnUAnn sinh112讨论:函函数数本本征征函函数数为为正正弦弦或或余余弦弦边边界界条条件件时时，若若两两个个边边界界上上均均为为齐齐次次 若给定的边界条件不足以确定本征值及本征函数，则应根若给定的边界条件不足以确定本征值及本征函数，则应根据迭加原理，将待求场分解成几个场的迭加，而每个场的边据迭加原理，将待求场分解成几个场

12、的迭加，而每个场的边界条件的迭加应为原问题的边界条件界条件的迭加应为原问题的边界条件yanxanbannUyxnn sinhsinsinh),(1112),(byax00由于拉普拉斯方程是线性方程，因此方程的特解的线性组合仍然是方程的解。由于拉普拉斯方程是线性方程，因此方程的特解的线性组合仍然是方程的解。将所有的特解线性组合起来，得到电位函数的通解形式。将所有的特解线性组合起来，得到电位函数的通解形式。对于对于2D2D的情况：的情况：)(yDCxBA0000 )(sincos()sincos)(yshKDychKCxKBxKAyKDyKCxshKBxchKAnnnnnnnnnnnnnnnnnn

13、11解中所有未知系数和分离变量解中所有未知系数和分离变量knkn由边界条件确定。由边界条件确定。常微分方程组在分离常数等于常微分方程组在分离常数等于0 0时的通解时的通解X(x)X(x)与与Y(y)Y(y)的乘积，以及分离常数的乘积，以及分离常数不为不为0 0时的通解时的通解X(x)X(x)与与Y(y)Y(y)的乘积都是拉普拉斯方程的特解。的乘积都是拉普拉斯方程的特解。又分离常数不为又分离常数不为0 0时，可以取无穷多个常数，记为时，可以取无穷多个常数，记为knkn，对于每个，对于每个knkn都可确定其都可确定其通解通解X(x)Y(y),X(x)Y(y),这些通解同样也是拉氏方程的特解。因此拉

14、氏方程的特解一般这些通解同样也是拉氏方程的特解。因此拉氏方程的特解一般有无穷多个，而且它们彼此线性无关。有无穷多个，而且它们彼此线性无关。 讨论：若某方向上的两个边界均为齐次边界条件时，本征函数是正弦或讨论：若某方向上的两个边界均为齐次边界条件时，本征函数是正弦或余弦函数，或是线性函数余弦函数，或是线性函数00000)()(aXXaxx且且，即即处处，及及若若 ,),sin(sin()(21nxanxkxXx ）则则00000)()(aXXnaxx且且，即即处处，及及若若 ,),cos(cos()(21nxanxkxXx ）则则000000)()()(aXXnaxx且且，即即处处，且且若若 ,

15、 2 , 1,2) 12(sinsin()(nxanxkxXx）则000000)()()(,aXXaxnx且且，即即且且若若 , 2 , 1,2) 12(coscos()(nxanxkxXx）则DxXCDCxxX)()(0或或若若x x是齐次边界条件时是齐次边界条件时( (这里认为这里认为kxkx的本征函数是正、余弦函数的本征函数是正、余弦函数) )，则，则y=0y=0或或y=by=b处处必有非齐次边界，必有非齐次边界，Y(y)Y(y)的本征函数采用双曲或指数函数形式，否则解为的本征函数采用双曲或指数函数形式，否则解为0 0)sinh()sinh()()()()(yanybybyyay 则则本

16、本征征函函数数为为或或若若0000)cosh()cosh()()()()(yanybybyyby 则则本本征征函函数数为为或或若若0000)(sinh)()()()(byyybycy 则则本本征征函函数数为为或或若若00000)(cosh)()()()(byyybycy 则则本本征征函函数数为为或或若若00000若给定的边界条件不足以确定本征值及本征函数，则应根据叠加原理，将待求若给定的边界条件不足以确定本征值及本征函数，则应根据叠加原理，将待求场分解成几个场的叠加，而每个场的边界条件的叠加应为原问题的边界条件场分解成几个场的叠加，而每个场的边界条件的叠加应为原问题的边界条件cbacbaUcz

17、byaxczUbyaxczbyUaxUczUbyUax)()()()()()()()()()()()(333222111000000 321 53 分离变量法分离变量法 直角坐标系直角坐标系例532 如图所示的2D静态场。y=0处分布有密度为的面电荷。介电常数均为0。已知边界x=0,x=a,y=b及y=-2b处，电位为0。求区域内电位分布(P160)ax sin0 解：如图分成区域I和II，电位分别为1和20, 021 0002000222111axxbyaxxby ，且且 axyyxyyxyxyxy sin,0,0,000122153 分离变量法分离变量法 直角坐标系直角坐标系 000022

18、11 axxaxx 且且 02021byby ，又又 ybaxaByxybaxaAyx2sinhsin,sinhsin,21 ， axyyxyyxyxyxy sin,0,0,0001221 abaAbaBbaBbaA00cosh2cosh2sinhsinh ababaBababaA 3sinhsinh,3sinh2sinh000053 分离变量法分离变量法 直角坐标系直角坐标系例5-3-3 两个接地的半无限大的平行平面电板相距为b，第三个与它们都垂直的电极保持电位为U。求这三个平面电板所包围的区域中0 x,0y）的电位分布。解：02222 yx 0, 001, 0020, 03yxybxxyb

19、U （）（）（） 0 x 自然边界条件为：自然边界条件为： ,.3 , 2 , 1,sin)(2)1(nybnAyYnn ）和和（由由）和和（由由4)3( ,.3 , 2 , 1,)(neBeByXxbnnxnnx 11sinsin,nxbnnnnxbnnybneCybnAeByx 53 分离变量法分离变量法 直角坐标系直角坐标系1sin1nnybnCUdyybnUbCbn 0sin2 为偶数为偶数为奇数为奇数nnnU04 12 mn令令 11212sin124,mxbmybmemUyx 53 分离变量法分离变量法 直角坐标系直角坐标系 解解，则则可可运运用用迭迭加加原原理理分分若若0 Uby byyb