第四章导热的理论基础及计算2.1稳态导热

1、第四章导热的理论基础及计算2、导热问题的计算主要内容n2.1稳态导热n 2.1.1一维的稳态导热n 通过平壁的导热n 通过圆筒壁的导热n 通过球壳的稳态导热n 其他变面积或变热率问题n 通过肋片的稳态导热n 2.1.2稳态导热问题与形状因子2.1稳态导热n稳态导热：适用范围：性质不随方向而改变的各向同性介质的稳态导热。本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源情况，考察平板和本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源情况，考察平板和圆柱内的导热。圆柱内的导热。直角坐标系：直角坐标系：ztzytyxtxtc)()()(通

2、过平壁的导热1) 单层平壁的导热单层平壁的导热ox 0 :t稳态导热a 几何条件：几何条件：单层平板； b 物理条件：物理条件：、c、 为常数并已知；无内热源 c 时间条件：时间条件： d 边界条件：边界条件：第一类2.1.1一维的稳态导热xo t1tt221 , , 0wwttxttx直接积分，得：直接积分，得：211 cxctcdxdt根据上面的条件可得：根据上面的条件可得：第一类边条：第一类边条：0dd22xtxtxtc)(控制控制方程方程边界边界条件条件求解求解方法方法带入边界条件：带入边界条件：12121tcttc通过平壁的导热1) 单层平壁的导热单层平壁的导热2121

3、dd()tttqttttxA 211tttxt带入带入Fourier 定律定律ARr线性分布线性分布 通过平壁的导热 1) 单层平壁的导热单层平壁的导热2) 多层平壁的导热多层平壁的导热t1t2t3t4t1t2t3t4三层平壁的稳态导热三层平壁的稳态导热多层平壁：由几层不同材料组成多层平壁：由几层不同材料组成 v 边界条件：边界条件：1110nniittxttxv 热阻：热阻：nnnrr,111 通过平壁的导热通过平壁的导热由热阻分析法：由热阻分析法：niiinniinttrttq111111问：知道了问：知道了q，如何计算其中第，如何计算其中第 i 层的右侧壁温？

4、层的右侧壁温？第一层：11121121)(qttttq第二层：22232232qttttq第 i 层：iiiiiiiiqttttq111t1t2t3t4t1t2t3t4 通过平壁的导热通过平壁的导热 2) 多层平壁的导热多层平壁的导热2112111hhttqniiiff2mW 单位：单位：t1t2t3t2三层平壁的稳态导热三层平壁的稳态导热tf1t2t3tf2h1h2tf2tf1？多层、第三类边条多层、第三类边条 通过平壁的导热通过平壁的导热 2) 多层平壁的导热多层平壁的导热圆柱坐标系：圆柱坐标系：ztztrrtrrrtc)()(1)(12一维、稳态、无内热源、常

5、物性：一维、稳态、无内热源、常物性：第一类边界条件：第一类边界条件：2211wwttrrttrr时时0)dd(ddrtrr(a)通过圆筒壁的导热 1 ) 单层圆筒壁的导热单层圆筒壁的导热对上述方程对上述方程(a)(a)积分两次积分两次: :211ln crctcdrdtr22122111ln ;lncrctcrctww)ln(ln)( ;)ln(121121212121rrrtttcrrttcwwwww第一次积分第一次积分第二次积分第二次积分应用边界条件应用边界条件获得两个系数获得两个系数)ln()ln( 112121rrrrtttt将系数带入第二次积分结果将系数带入第二次积分结

6、果显然，温度呈对数曲线分布显然，温度呈对数曲线分布2211wwttrrttrr时时通过圆筒壁的导热 1 ) 单层圆筒壁的导热单层圆筒壁的导热下面来看一下圆筒壁内部的热流密度和热流分布情况下面来看一下圆筒壁内部的热流密度和热流分布情况21221mW)ln(ddrrttrrtqwwW 2)ln( 2211221Rttlrrttrlqwwww)ln()ln()(121211rrrrttttwwwrrrttdrdtww1)ln(1221长度为长度为 l l 的圆筒壁的圆筒壁的导热热阻的导热热阻虽然是稳态情况，但虽然是稳态情况，但热流密度热流密度 q q 与半径与半径 r r 成反比！成反

7、比！通过圆筒壁的导热 1 ) 单层圆筒壁的导热单层圆筒壁的导热单层圆筒壁，第三类边条，稳态导热单层圆筒壁，第三类边条，稳态导热 )(2ln21 )(222222122111111fwrlwwlwfrltthrqrrttqtthrqmW 21ln21212122121121lfffflRttrhrrrhttq通过单位长度圆筒壁传热过程的热阻通过单位长度圆筒壁传热过程的热阻 mKmK/W/Wh1h2由不同材料构成的多层圆筒壁，其导热热由不同材料构成的多层圆筒壁，其导热热流量可按总温差和总热阻计算流量可按总温差和总热阻计算mW ln21W ln2111)1(111)1(1niiiinw

8、wlniiiinwwrrttqrrLtt通过单位长度圆筒壁的热流量通过单位长度圆筒壁的热流量通过圆筒壁的导热 1 ) n层圆筒壁的导热层圆筒壁的导热单层圆筒壁，第三类边条，稳态导热单层圆筒壁，第三类边条，稳态导热 )(2ln21 )(222222122111111fwrlwwlwfrltthrqrrttqtthrqmW 21ln21212122121121lfffflRttrhrrrhttq通过单位长度圆筒壁传热过程的热阻通过单位长度圆筒壁传热过程的热阻 mKmK/W/Wh1h2(1) 单层圆筒壁（续）单层圆筒壁（续）h1h2(2) 多层圆筒壁多层圆筒壁121111211ln21

9、1nniiiiffldhdddhttq通过球壳的导热自己看？通过球壳的导热自己看？分离变量后积分，并注意到热流量分离变量后积分，并注意到热流量与与x 无关，得无关，得定义1221)(ttdtttt21)()(21xxxAdxttxtxAtdd)()(22211121212121( )()( )()( )txttxtt dtttdxt dtttA xtttt 当当 随温度呈线性分布时，即随温度呈线性分布时，即 0 0atat，则，则2210tta实际上，不论实际上，不论 如何变化，只要能计算出平均导热系数，就可如何变化，只要能计算出平均导热系数，就可以利用前面讲过的所有定导热系数公式，只是需要将

10、以利用前面讲过的所有定导热系数公式，只是需要将 换成平均换成平均导热系数。导热系数。2-3 通过平壁，圆筒壁和其它变截面物体的导热通过平壁，圆筒壁和其它变截面物体的导热（续（续）5 其它其它变变面积面积或变或变导热导热系数系数问题问题求解导热问题的主要途径分两步：求解导热问题的主要途径分两步：(1)(1) 求解导热微分方程，获得温度场；求解导热微分方程，获得温度场；(2)(2) 根据根据FourierFourier定律和已获得的温度场计算热流量。定律和已获得的温度场计算热流量。 对于稳态、无内热源、第一类边条下的一维导热问题，可以不通对于稳态、无内热源、第一类边条下的一维导热问题，可以不通过温

11、度场而直接获得热流量。此时，一维过温度场而直接获得热流量。此时，一维FourierFourier定律：定律：xtxAtdd)()(当当 (t), A=A(x)时，时，xtAdd分离变量后积分，并注意到热流量分离变量后积分，并注意到热流量与与x 无关，得无关，得定义1221)(ttdtttt21)()(21xxxAdxttxtxAtdd)()(22211121212121( )()( )()( )txttxtt dtttdxt dtttA xtttt 当当 随温度呈线性分布时，即随温度呈线性分布时，即 0 0atat，则，则2210tta实际上，不论实际上，不论 如何变化，只要能计算出平均导热系数，就可如何变化，只要能计算出平均导热系数，就可以利用前面讲过的所有定导热系数公式，只是需要将以利用前面讲过的所有定导热系数公式，只是需要将 换成平均换成平均导热系数。导热系数。肋壁：直肋、环肋；等截面、变截面等肋壁：直肋、环肋；等截面、变截面等. .通过肋片的导热通过肋片的导热 (续续)通过接触面的导热通过接触面的导热当界面上的空隙中充满导热系数远小于固体的气体时，接触热阻的影响更突出接触热阻的产生？接触热阻的产生？当两固体壁具有温差时，接合处的热传递机理为接触点间的固体导热和间隙中的空气导热,对流和辐射的影响一般不大（1）当热流量不变时，接触热阻 rc 较大时，必然 在界面上产生较大温