电工电子技术电路分析第2章电路的暂态分析

1、电路中含有储能元件电路中含有储能元件及电路发生换路。及电路发生换路。SCRt=0 +US +uCiR +USLSt=0 +uL +uRi例：图中例：图中L L、C C均为初始储能，在开关闭合后，均为初始储能，在开关闭合后，i由由0 0逐渐增长到稳态值逐渐增长到稳态值US/RuL由由US逐渐衰减到稳态值逐渐衰减到稳态值0uC由由0 0逐渐增长到稳态值逐渐增长到稳态值US电路中含有储能元件电路中含有储能元件及电路发生换路。及电路发生换路。R1 +USSR2R3R1 +USSR2L +USSR2CR1221CLLiW 221CCCuW uct=0 t=0+iL+ 例例1 已知已知iL(0 )=0，u

2、C(0 )=0。试求。试求S闭合瞬间闭合瞬间电路中各电压、电流的初始值。电路中各电压、电流的初始值。UR1SCR2R1t=0 +ULuC(0+)u2(0+)R2R1iL(0+)uL(0+)iC(0+)u1(0+)i1(0+)+U+ 例例2 下图所示电路中，已知：下图所示电路中，已知：R1=R2=R4=R5=2 ， R3=1 ，IS= 4A， S闭合前电路已处于稳态。若闭合前电路已处于稳态。若t=0时将时将S打开，打开，求电容求电容和电感的电压、电流和电感的电压、电流初始值。初始值。R1ISSR2R5LCR3R4 +uCiLt=0解解 (1)求求uC(0 )和和iL(0 )uC(0 )iL(0

3、)S5455454322SL)()0(RRRRRRRRRRIiV221)0()0(4LC RiuA1222)22221(224 例例2 下图所示电路中，已知：下图所示电路中，已知：R1=R2=R4=R5=2 ， R3=2 ，IS= 4A， S闭合前电路已处于稳态。若闭合前电路已处于稳态。若t=0时将时将S打开，打开，求电容求电容和电感的电压、电流和电感的电压、电流初始值。初始值。解解 求求uC(0 和和iL(0 )A1)0(L iV2)0(C u解得解得 本节讨论在直流电源激励下只含有一个电容元件的一阶本节讨论在直流电源激励下只含有一个电容元件的一阶RC电路的响应。电路的响应。SCRt=0 +

4、USab +uR +uCi0CR uu根据根据KVL即即0C uiRtuCiddC 故有故有0ddCC utuRC 图中，开关图中，开关S合于合于a，当电容，当电容上电压充电到上电压充电到U0时，将时，将S由由a合向合向b 即即 uC(0)= U0 输入信号为零，由电容元件的初始输入信号为零，由电容元件的初始状态状态uC(0+) 所产生的响应称为零输入响所产生的响应称为零输入响应，它是电容的放电过程。应，它是电容的放电过程。uC = Ae st上式的通解为指数函数，即上式的通解为指数函数，即由特征方程由特征方程 RCS +1= 0得得 S = 1/RC 通解通解 uC = Ae t /RC 确

5、定积分常数，由换路定律确定积分常数，由换路定律uC(0+) = uC(0) = U0 得得 A= U0= 所以所以 SCRt=0 +USab +uR +uCi0ddCC utuRCRCtRUi e0otU0U0uCuRiRU0 在零输入响应电路中，各部分电压和电流都是由初始值在零输入响应电路中，各部分电压和电流都是由初始值按同一指数规律衰减到零。按同一指数规律衰减到零。 = RC 称为称为RC电路的电路的时间常数时间常数 S单位单位 时间常数时间常数 等于电压等于电压uC衰减到初始值衰减到初始值U0的的36.8%所需的时间。所需的时间。( ) = 0.368 U0 Ft e -t/ 2 3 4

6、 5 6 e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 60.368 0.135 0.05 0.018 0.007 0.0020UuC 从理论上讲从理论上讲,电路只有经过电路只有经过 t = 的时间才能达到稳定。由上的时间才能达到稳定。由上表可以看出表可以看出 t = 5 时，时，uC已衰减到已衰减到 0.7% U0 ，所以，所以,工程上通常工程上通常认为认为在在t (45) 以后，暂态过程已经结束。以后，暂态过程已经结束。uCotU00.368 U0 1 2 3 3 2 1 电压电压uC衰减的快慢决定于电路的时间常数衰减的快慢决定于电路的时间常数 ,时间常数时间常数越大，越大，uC衰减衰减(电

7、容器放电电容器放电)越慢。越慢。 换路前电容的初始储能为零换路前电容的初始储能为零, 即即uC(0)=0，电路中的响应电路中的响应由由外加激励产生，称这种响应为外加激励产生，称这种响应为RC电路的零状态响应。电路的零状态响应。它是电容它是电容的充电过程。的充电过程。RuiR tuCiddC 把把得得SCCddUutuRC 开关开关S合于合于b，当电容放电完毕，当电容放电完毕 t=0时，时，将将S由由b 合向合向a a，uC(0)= 0 SCRt=0 +USab +uR +uCiSCRUuu 代入上式代入上式SCRt=0 +USab +uR +uCiCCCuuu 根据根据KVL，列出，列出t 0

8、时电路时电路的微分方程的微分方程(1)特解特解通解通解SCCddUutuRC SCRt=0 +USab +uR +uCiCCCuuu (1)特解特解通解通解SCCddUutuRC Cu 应满足应满足0ddCC utuRCCu 应满足应满足SCUu ttCAAu-See 式式(1)的完全解为的完全解为 CCCuuu tAU-Se 根据根据 uC(0+)= uC(0)=0，可确定积分常数，可确定积分常数 A= US 时间常数时间常数 =RC当当 t = 时，时， uC =63.2%UsSCCddUutuRC SCRt=0 +USab +uR +uCi(1)uC =US USe t /RC =US(

9、1et / ) 时间常数时间常数 =RC充电电流充电电流 tRUtuCi eddSC电阻电压电阻电压 tRUiRu eSuCUSt0uuRuC 、 uR的变化曲线的变化曲线Cu Cu i 的变化曲线的变化曲线it0RUS US 由上表可以看出，同样可由上表可以看出，同样可认为认为t (45) 以后暂以后暂态过程已经结束。态过程已经结束。uC =US(1et / ) 2 3 4 5 t 1 et / 1e1 1e2 1e3 1e4 1e5 0.632 0.865 0.95 0.982 0.993 SUuC 例例 下图所示电路中，下图所示电路中，R=5 ， C=2F，IS= 10A， uC(0 )

10、=0，开关开关 S在在t=0时打开。试时打开。试求求(1)电路的时间常数电路的时间常数 ；(2)电容上的电压电容上的电压uC和和iC；(3) )最大充电电流；最大充电电流； (4)画出画出uC和和iC随时间变化曲线；随时间变化曲线；(5)经经过多少时间过多少时间uC=43.25V?解解 由于由于uC(0(0+ +) )=uC(0 )=0，故本例为直流激励下，故本例为直流激励下RC电路的电路的零状态响应。零状态响应。ISSRC +uCt=0iCiR换路后再经电源等效变换后的电路为换路后再经电源等效变换后的电路为USR0C +uCiC + (1)电路的时间常数电路的时间常数 =R0C=5 2=10

11、S(2)电容上的电压电容上的电压uC和和iCUS=ISR=10 5=50VR0=R=5 Ae10e550e1 . 0100SCtttRUi uC=US(1et / ) =50(1e0.1t )V 解法解法1 1 例例 下图所示电路中，下图所示电路中，R=5 ， C=2F，IS= 10A， uC(0 )=0，开关开关 S在在t=0时打开。试时打开。试求求(1)电路的时间常数电路的时间常数 ；(2)电容上的电压电容上的电压uC和和iC；(3) )最大充电电流；最大充电电流； (4)画出画出uC和和iC随时间变化曲线；随时间变化曲线；(5)经经过多少时间过多少时间uC=43.25V?解解ISSRC

12、+uCt=0iCiRUSR0C +uCiC + (3) )最大充电电流最大充电电流(4)uC和和iC随时间变化曲线随时间变化曲线 (5)设经过设经过t秒秒uC=43.25V iC(max)=iC(0+)=10AuC(V)t(S)050i(A)010t(S)解解43.2 =50(1e0.1t )V,得得 t=20S 例例 下图所示电路中，下图所示电路中，R=5 ， C=2F，IS= 10A， uC(0 )=0，开关开关 S在在t=0时打开。试时打开。试求求(1)电路的时间常数电路的时间常数 ；(2)电容上的电压电容上的电压uC和和iC；(3) )最大充电电流；最大充电电流； (4)画出画出uC和

13、和iC随时间变化曲线；随时间变化曲线；(5)经经过多少时间过多少时间uC=43.25V?解解ISSRC +uCt=0iCiR解法解法2 2应用应用KCL列出换路后结点电流方程式列出换路后结点电流方程式SIiiRC 把把tuCiCddC RuiRC 代入上式，得代入上式，得SC1ddIuRtuCC 解此微分方程，即可得到解答。解此微分方程，即可得到解答。是指外加激励和电容初始电压是指外加激励和电容初始电压uC(0+)均不为零时电路均不为零时电路的响应，也就是的响应，也就是和和的叠加。的叠加。 图中，若开关图中，若开关S合于合于b时，时，电路已处于稳态电路已处于稳态,则则 uC(0)= U0SCR

14、t=0 +USab +uR +uCi +U0SCCddUutuRC 上式和式上式和式(1)完全相同完全相同CCCuuu tAU-Se uC(0+)= uC(0)= U0t= 0+时时, U0=US+Ae0积分常数积分常数 A=U0US 故故CCCuuu tUUU-S0Se )( 电路中的电流电路中的电流 tRUUtuCi edd0SC式中式中 = RCt=0时，将时，将S由由b合向合向a， t 0时电路的微分方程为时电路的微分方程为SCRt=0 +USab +uR +uCi +U0uC(0+)= uC(0)= U0CCCuuu tUUU-S0Se )( 全响应全响应暂态分量暂态分量稳态分量稳态

15、分量)e1(e-S-0 ttCUUu 或者写成或者写成全响应全响应 = 零输入响应零输入响应 + 零状态响应零状态响应uCt0U1U2U0 例例 图中，开关图中，开关S闭合闭合前电前电 路已处于稳路已处于稳 态。态。已已 知知 U=10V ， R1= R2=R3= 10 ， C=100F，开关，开关 S 在在 t=0时时闭合。闭合。求求t时电容电压时电容电压uC和和电流电流i 。解解V3101010101010)0(3213C RRRRUuV510101010323S RRRUU 510101010/320RRRUSR3Ct=0 +R1R2 把已知电路图中开关把已知电路图中开关S闭合后除电容闭

16、合后除电容C以外的有源二端网络以外的有源二端网络用戴维宁等效电路代替用戴维宁等效电路代替USR0C +uCi +其中其中 例例 图中，开关图中，开关S闭合闭合前电前电 路已处于稳路已处于稳 态。态。已已 知知 U=10V ， R1= R2=R3= 10 ， C=100F，开关，开关 S 在在 t=0时时闭合。闭合。求求t时电容电压时电容电压uC和和电流电流i 。解解V310)0(C uV5 5USR3Ct=0 +R1R2USR0C +uCi +用叠加法求用叠加法求uC)e1()e(0-S- ttCCUuu 全响应全响应 = 零输入响应零输入响应 + 零状态响应零状态响应V310)0()0(CC

17、 uu根据换路定律根据换路定律Ae35-5)e1(5e310- tttCu 其中其中 = R0C=5 100 10 6=5 10 4SAe31dd2000CttuCi iL(0+)= iL(0 ) =I0S在在t=0时打开，由换路定律，有时打开，由换路定律，有根据根据KVL，换路后有，换路后有 uR +uL=0设开关设开关S打开前电路已处于稳态打开前电路已处于稳态0SL)0(IRUi 0dd LLRitiL把把tiLuddLL RiuLR 代入上式，得代入上式，得iL = Ae st特征方程特征方程 LS +R= 0通解通解 ttLRStIIAi eee00L 故特征根故特征根 LRS 积分常

18、数积分常数 A=I0电流电流RL H SR应理解为从电感两端看进去所有电源都不作用时的等效电阻应理解为从电感两端看进去所有电源都不作用时的等效电阻 ttLRStIIAi eee00LRL 电流电流电阻电压电阻电压 ttLURIRiu eeS0R ttURItiLu eeddS0L电感电压电感电压 电路外加激励为零电路外加激励为零，响应仅由，响应仅由电感电感初初始储能始储能引起，称为引起，称为RL电路的零输入响应。电路的零输入响应。 在零输入响应电路中，各部分电压在零输入响应电路中，各部分电压和电流都是由初始值按同一指数规律衰和电流都是由初始值按同一指数规律衰减到零。减到零。 在换路瞬间只有在换

19、路瞬间只有电感的电流不能突变电感的电流不能突变，而其两端的电压则由零跳变到而其两端的电压则由零跳变到 US。iL(0+)= iL(0 ) =0根据换路定律根据换路定律通解通解SabSddURitiLLL 换路前电感的初始储能为零换路前电感的初始储能为零, 即即iL(0)=0，电路中的响应电路中的响应由由外加激励产生，称这种响应为外加激励产生，称这种响应为RL电路的零状态响应。电路的零状态响应。 开关开关S由由b合于合于a a之前之前，电感中的，电感中的电流为零。电流为零。t=0时，时，将将S由由b 合向合向a 根据根据KVL，列出，列出t 0时电路时电路的微分方程的微分方程LLLiii RUi

20、iLLS)( )e1(eSSSL ttRURURUi RL tAi eL特解特解在在t=0时，有时，有ARU S0得得RUAS 式中式中电感电流电感电流Sab)e1(eSSSL ttRURURUi RL 电感电流电感电流电感两端电压电感两端电压 tLLUtiLu eddS电阻两端电压电阻两端电压)e-(1SR tLURiu uLuRiL、uL 、 uR的变化曲线的变化曲线iLt0Li Li RUSRUS t0US 例例2下图所示电路中下图所示电路中,已知：已知：R1= R2= 1k ， L1=15mH ， L2= L3=10mH ，(设线圈间无互感设线圈间无互感) 电流源电流源 I=10mA,

21、开关开关S闭合前闭合前,各电感均未储有能量各电感均未储有能量,试求试求: t 0 时的电流时的电流 i。t=0SiIR1R2L1L2L3解解 等效电感等效电感L= L1+ L2 L3L2 + L3=20mH将电流源与将电流源与R1并联的电路变换为电压源并联的电路变换为电压源E=R1I=10VR0 =R1= 1k t=0SiR0R2L+E由等效电路可得出由等效电路可得出电路的时间常数电路的时间常数 = LR0 + R2=10 si = (1 e ) t ER0 + R 2=5(1 e -10 t ) mA5ti50i/mA等效电路等效电路ER0+R2=5mAiL(0+)= iL(0 ) =I0根

22、据换路定律根据换路定律SddURitiLLL 电路换路后的微分方程为电路换路后的微分方程为LLLiii tRUIRUi )e(S0SLRL tARU eSRUIAS0 式式中中电感电流电感电流 tLLRIUtiLu )e-(dd0SUSSt=0 +RR 设设t0 时，时，iL(0-)= I0。在在t =0时，将开时，将开关关S闭合，则闭合，则t 0时电路的响应即为全时电路的响应即为全响应。响应。显然显然积分常数积分常数电感电压电感电压)e1(eS0L ttRUIi RL 式中式中电感电流电感电流USSt=0 +RR电路的全响应也可用叠加原理分析电路的全响应也可用叠加原理分析全响应全响应=零输入

23、响应零输入响应+零状态响应零状态响应 设设t0 时，时，iL(0-)= I0。在在t =0时，将开时，将开关关S闭合，则闭合，则t 0时电路的响应即为全时电路的响应即为全响应。响应。 tRUIRU )e(S0SUSSt=0 +RV 例例 图中所示电路为他励电动机激图中所示电路为他励电动机激 磁回路的电磁回路的电 路模型。路模型。设设电阻电阻R=80 ， L=1.5H，电源电压电源电压US=40V ，电压表量程为，电压表量程为50V，内阻，内阻RV= 50k 。开关。开关 S 在未打开前在未打开前电电 路已路已 处于稳处于稳 态态，在，在 t=0时打开时打开S。求。求(1)S打开后打开后RL电路

24、的时间常数电路的时间常数;(2)电流电流i 和和电压表两端的电压电压表两端的电压uV； (3)S打开时，电压表所承受的电压。打开时，电压表所承受的电压。 解解 （1 1）时间常数）时间常数mS03. 01050805 . 13V RRL A5 . 08040)0(S RUii(0+)= i(0 ) =0.5A(2)Ae5 . 0e )0(5 . 0e )0(43103 . 31003. 0tttiii Ve10251050e5 . 044103 . 333103 . 3VVttiRu (3)V10253V u 注意在线圈与电源断开之前，注意在线圈与电源断开之前，应将与之并联的测量仪表从应将与之

25、并联的测量仪表从电路中取走。电路中取走。 下图所示电感线圈电路下图所示电感线圈电路,如果线圈的电感如果线圈的电感L很大很大, 开关开关S在电路达到稳态时断开时会产生什么后果在电路达到稳态时断开时会产生什么后果?应如何解决应如何解决?在在S断开瞬间电流变化率很大断开瞬间电流变化率很大,使使eL很大很大, 这个感应电动势可能使这个感应电动势可能使开关两触点之间的空气击穿造成开关两触点之间的空气击穿造成电弧电弧, 开关触点被烧坏。开关触点被烧坏。为了防止这种现象发生，用续为了防止这种现象发生，用续流二极管流二极管D,使电流使电流(或磁能或磁能)通通过二极管过二极管D逐渐减小。逐渐减小。续流二极管续流

26、二极管USSt=0 +rAB讨论题讨论题: :0S)0(IRUi tiLuLLdd S断开前断开前断开断开S f(0+) f ( )是暂态分量是暂态分量 =RC 或或稳态值稳态值 初始值初始值 时间常数时间常数 tffftf e)()0()()(待求的电待求的电压或电流压或电流RL 一阶电路在直流激励下电压或电流的完全解可表示为一阶电路在直流激励下电压或电流的完全解可表示为 例例1 在下图中，已知在下图中，已知U1=3V， U2=6V，R1=1k R2=2k ，C= 3 F ，t0时电路已处于稳态。用三要时电路已处于稳态。用三要素法求素法求t 0 时的时的 uC(t),并并画出变化曲线画出变化

27、曲线。R2R1 U1C +1+uCU2 +2t=0SV2)0()0(2112 RRURuuCCV4)(2122 RRURuC 例例1 在下图中，已知在下图中，已知U1=3V， U2=6V，R1=1k R2=2k ，C= 3 F ，t0时电路已处于稳态。用三要时电路已处于稳态。用三要素法求素法求t 0 时的时的 uC(t),并并画出变化曲线画出变化曲线。 解解 先确定先确定uC(0+) uC( )和时间常数和时间常数 R2 U1C +1+uCU2 +2t=0SR1V2)0()0( CCuuV4)( CusCRRm2332)/(21 tCCCCuuuu-e)()0()( V)0( ttCu500-

28、e24 t (S)uC (V)402uC(t)变化变化曲线曲线解解 用三要素法解此题用三要素法解此题（1） 求求iL(0+)及及i(0+) 换路前电路已达稳态，换路前电路已达稳态，电感相当于短路。电感相当于短路。S1 ab1 2 t=(0 )的等效电路的等效电路A56212212113)0( LiA56 想一想要求想一想要求 解解 用三要素法解此题用三要素法解此题（1） 求求iL(0+)及及i(0+) 根据换路定律根据换路定律 iL(0+)= iL(0 )=S1 ab1 2 的等效电路的等效电路A56212212113)0( LiA56 A56 由由KCL，有，有 i2(0+)= i(0+)

29、iL(0+) 3)0()0( 2)0(1 iiiA513)562(3)0( i左回路的左回路的KVL方程式为方程式为解解（2） 求求iL()及及i() S1 ab1 2 的等效电路的等效电路A59212113)( i由电阻并联的分流公式可求得由电阻并联的分流公式可求得 35121210R（3）求时间常数）求时间常数 A5612259)( LiS59353 RL S1 ab1 2 解解S1 ab1 2 A59)( iA56)( LiS59 RL A56)0( LiA51)0( i tiiiti e)()0()()(Ae5859e )5951(599595tt tLLLLiiiti e)()0()

30、()(Ae51256e )5656(569595tt A11128220)0(21 RRUiS05. 0126 . 02 RL t=0 +UiLR1R212 8 220V0.6H 例例3 图中，如在稳定状态下图中，如在稳定状态下R1被短路，试问短路被短路，试问短路后经过多少时间电流才达到后经过多少时间电流才达到15A？A3 .1812220)(2 RUiA11)0( iS05. 0 例例3 图中，如在稳定状态下图中，如在稳定状态下R1被短路，试问短路被短路，试问短路后经过多少时间电流才达到后经过多少时间电流才达到15A？A3 .18)( iA)e3 . 73 .18(e )3 .1811(3

31、.182005. 0tti t20e3 . 73 .1815 t =0.039S 例例4下图所示电路中，开关下图所示电路中，开关S闭合前闭合前,电路已处于稳态，电路已处于稳态，C=10 F, t=0时，将开关时，将开关S闭合，闭合，经经0.4ms再将再将S打开，试求打开，试求 t 0 时的时的 uC(t),画出变化曲线。画出变化曲线。30 Rr_+_+S60 RE=90VC uCr(2) uC (0.4ms) = 30 (1+e 1 ) = 41V uC( ) = = 30V R + rRE rE =2 ( R r )C = 0.4 ms(0 t 0.4ms)即为第二个即为第二个暂态过程暂态过

32、程的初始值的初始值(1) uC(0+)= uC(0 )= = 60VR+rR E = ( r +R/r ) C =0.5 msuC( )=60V(0.4ms t )30 Rr_+_+S60 RE=90VC uCr3060410.4t / ms0uC /V)100.4-2000(t-C-3e)6041(60)( tu 当电路比较复杂时，可以用戴维南定理将换路后的电当电路比较复杂时，可以用戴维南定理将换路后的电路化简为一个单回路电路，（将电路中除储能元件以外的路化简为一个单回路电路，（将电路中除储能元件以外的部分化简为戴维南等效电路，再将储能元件接上），然后部分化简为戴维南等效电路，再将储能元件接

33、上），然后利用三要素法求解。利用三要素法求解。 例例下图所示电路中，已知：下图所示电路中，已知：R1=3k ， R2=6k ， C1= 40 F， C2= C3= 20 F ，U=12V,开关开关S闭合前闭合前,电路电路已处于稳态。试求已处于稳态。试求: t 0 时的电压时的电压 uC 。 UC1 +uCt=0SR1R2C2C3C2和和C3并联后再与并联后再与C1串联，其等效电容为串联，其等效电容为F20)()(321321 CCCCCCC 例例下图所示电路中，已知：下图所示电路中，已知：R1=3k ， R2=6k ， C1= 40 F， C2= C3= 20 F ，U=12V,开关开关S闭合前闭合前,电路电路已处于稳态，试求已处于稳态，试求: t 0 时的电压时的电压 uC 。 UC1 +uCt=0SR1R2C2C3 将将t 0的电路除的电路除C以外以外的部分化为的部分化为戴维南等效电源戴维南等效电源F20V8212 RRURE k221210RRRRRER