全国高中数学联赛吉林赛区预赛

1、2008全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛暨2008年吉林省高中数学竞赛试题、选择题（本题满分36分，每小题6分）n1 .为了得到函数y=sin（2x-一）的图象，可以将函数y=cos2x的图象6A.向右平移二个单位长度6C.向左平移二个单位长度6TTB.向右平移二个单位长度3D.向左平移土个单位长度32.2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮，现有两套不同大小的福娃（共10个福娃）。从两套福娃中任意选出5个福娃。恰好缺一个组成完整“奥运会吉祥物”的选法有（）A.160种B.320种C.32种D.120种3 .已知A、B、C是平面上不共线的三点，

2、O是三角形ABC的垂心，动点P满足OP=1（,321-OA+-OB+2OC）,则点P一定为三角形ABC的（）2A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB边的中点4 .若存在的钝角a,使得sin®一，,'3cos口=logz（x2x+2）成立，则实数x的取值范围是（）A.x|1Wx<0或1<xW2B.x|1<x<0或1<xW2C.x|0Mx二15.对于集合M、N,定义MN=乂|乂乏乂，且乂更N,M6N=(MN)=(NM,设A=y|y=x23x,xwR,B=y|y=-2x,x£R,则A5B=A. (-9,049.

3、 一C.(-二，-一)-Q二)4B. -9,0)49、一-D.(-°°,一一)5。尸46.已知数列an的通项an：-1，则下列表述正确的是A.最大项为a1,最小项为a4B.最大项为a1,最小项不存在C.最大项不存在)最小项a3D.最大项为ai5取小项为a3二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7.已知多项式(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)n=仇+bix+b2x2+bnXn,且满足4+b2+bn=26,则正数n的一个可能值为；8,已知ABCDA1B1C1D1是单位正方体，黑白两个蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，橙子奥数工作室欢迎您，每走完一条棱称为“走完一段”

4、。白蚂蚁的爬行路线是AA1-AQ1一，黑蚂蚁的爬行路线是AB-BB1一，它们都依照如下规则；所爬行的第n+2段与第n段所在直线必须是异面直线，设黑白两个蚂蚁都走完2008段后各停止在正方体的某个顶点处，这是黑白两个蚂蚁的距离是;9 .已知函数f(x)的定义域为R,满足：(1)f(x)是偶函数；(2)对于任意的xWR都有f(x+4)=f(x)，且xw0,2时，f(x)=x+2.则直线y=4与函数f(x)的图象交点中最近两点之间的距离为;10 .有六根细木棒，其中较长的两根分别为J3a,*历a,其余四根均为a,用它们搭成三棱锥，则其中两条较长的棱所在的直线的夹角的余弦值为；11 .设f(x)=x2

5、+ax,x|f(x)=0.xwR=x|f(f(x)=0,xwR#巾，则满足条件的所有实数a的取值范围为;12 .若集合人，4满足人1=人2=人,则记入出2是人的一组双子集拆分，规定：2小?和A2A是A的同一组双子集拆分。已知集合A=1,2,3,那么A的不同双子集拆分共有组.三、解答题(本题共5道大题，每题20分，满分100分)13.如图，某建筑的基本单元可近似地按以下方法构作：先在地平面豆内作菱形ABCD,边长为1,/BAD=60°再在口的上方，分别以ABD与4CBD为底面安装上相同的正棱锥P-ABD与Q-CBD,/APB=90°.(I)求二面角P-BD-Q的余弦值；(n)

6、求点P到平面QBD的距离.14.已知长度为6的线段CD的中点为M,现以ACD,BCD,且满足/AMB=90°,求4CD为一边在同一侧作两个周长均为16的4AMB的面积的最小值.15.设函数f(x)=x2+ax+b(其中a,b为实常数)，已知不等式|f(x)|M|2x2+4x-30|1对任意实数x均成立，定义数列an和bn为：a1=；2an=f(an)+15(n=2,3,41),1bn=(n=1,2,3,)，数列bn的前n项的和记为Sn,其刖n项的乘积记为Tn。2an(1)求证：a=2,且b=15；(2)证明：对任意正整数n,2n*Tn+Sn为定值.16 .在四维空间中，定义点人2包自e,)与点B(b1b心力4)之间的距离为AB=&17,考察点集I=P(G,C2,q,C4)|G=0或1,i=1,2,3,4,如果对I的任意一个n元子集Q=R,P2，Pn,都能找到Pi,Pj,Pk乏Q,使得PiPjPk为正三角形，即RPj=PjR=PkR,求n的最小值.17 .已知正数a,b,c满足；2a+4b+7cE2abc,求a+b+c的最小值参考答案、BABACD6_.一、7.48.J