全等三角形题型总结材料

1、实用文档全等三角形的判定题型类型一、全等三角形的判定1“边边边”例题、已知：如图，A氏BC,AOBD.试证明：/CA氏/DBC.（答案）证明：连接DC在ACDABDCtADBCACBDCDDC公共边.AC*ABDC(SSS/CA氏/DBC（全等三角形对应角相等）类型二、全等三角形的判定2“边角边”例题、已知，如图，在四边形ABCLfr,AC平分/BADCEAB于E,并且A已1（AB+AD）,求证：/B+/D=180°.2（答案）证明：在线段AE上，截取EF=EB,连接FC,.CnAB,./CE氏/CE已900EBEF在CBEffi"FE中，CEBCEFEC=EC.CBEff

2、iACFE(SAS./B=/CFE一1,f_一f一一一.AE=1(AB+AD,a2AE=AB+AD.AD=2AE-AB2.AE=AF+EF,.AD=2(AF+EF)-AB=2AF+2EF-AB=AF+AF+EF+EB-AB=AF+AB-AB,即AD=AFAFAD在AFCffiAADC中FACDAC(角平分线定义)ACAC.AF8AADC(SAS./AFC=/D,.ZAFO/CF巳180°,/B=ZCFE.ZAFO/B=180°,/B+/D=180类型三、全等三角形的判定3“角边角”例题、已知：如图，在MPa,H是高MQf口NR的交点，且MONQ求证：H*PM.证明:vMQf

3、f口NR是MPN勺高，.MQN/MR仲90°,又:/1+/3=/2+/4=90°,/3=/4；/1=/212在AMPS口NHQKMQNQMQPNQHMPQRNHQ(ASAPMhHN标准文案实用文档类型四、全等三角形的判定4“角角边”例题、已知RtABC中，AOBCZ0=90°,D为AB边的中点，/ED已90°,/EDF绕D点旋转，它的两边分别交AGCB于E、F.当/EDF绕D点旋转到DE!AC于E时（如图1）,1易证SadefSacefSaabc；当/EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2情况下，上2述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请

4、写出你的猜想，不需证明.DMEADNF(ASA:SADMESaDNF,S四边形DMCN=S四边形DECF=SZDEFSACEF-图1圈2解：图2成立；证明图2:过点D作DMAC,DNBCWJDMEDNFMDN90°AMD=DNB=90在AMDF口DNBKAB.AM掣DNB(AASDM=DNADBD./MD日/EDN=/ND斗/EDN=90°,/MDE=/NDFEMDFDN90在ADM当ADNF,DMDNMDENDFle-QQ1c可知S四边形dmcn-2Saabc，-SadefSacef?Saabc类型五、直角三角形全等的判定“HL'卜列说法中，正确的画“；错误的画“

5、X”,并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等.（）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等.（）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等.（）（答案）（1）V;（2）X;在ABCffiADBC中，AB=DBAE和DF是其中一边上的高,AE=DF（3）X.在ABCft4ABD中，AB=AB,AD=ACAH为第三边上的高，如下图:1、已知：如图，DE!ACBF,AC,AD=BCDE=BF.求证：AB/DC.（答案与解析）证明：.DE!ACBF,AC,标准文案实用文档一人-一一八AD=BC,_人一一人-,、一.在RtADEWRtCBF中.R

6、tAD图RtACBF(HL).ACF,D£BFDE=BF.AE+EF=CF+EF,即AF=CEDEBF在RtMD*RtABF中，DECBFAECFARtACDERtAABF(SAS./DCE=/BAFAB/DC.(点评)从已知条件只能先证出RtAADEiRtACBF从结论又需证RtACDERtAABF.我们可以从已知和结论向中间推进，证出题目.2、如图，ABC中，/AC氏900,AOBCAE是BC边上的中线，过C作CF±AE,垂足为F,过B作BDLBC交CF的延长线于D.(1)求证：AE=CD(2)若AO12cm,求BD的长.(答案与解析)(1)证明：VDBLBCCF

7、77;AE,./DC济/D=/DC即/AEC=90°./D=/AEC又./DBC=/ECA=900，且BOCA.DBC"CA(AAS.-AE=CD(2)解：由(1)得AE=CDAOBC,.CD军AAEC(HD.BAEO1BO1AC,且22AO12.BD=6cm.（点评）三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件，再去证什么条件三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线

8、和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：ABC的内心为R,旁心为P2,R,P4,这四个点到ABC三边所在直线距离相等.角的平分线的性质及判定1、如图，AD是/BAC的平分线，DE!AB,交AB的延长线于点E,DF±AC于点F,且D氏DC.求证：BE=CF.（答案）证明：vDELAE,DF!AC,在RtABDEtfRtCDF中,AD是/BAC的平分线，.,.DE=DF,/BE&/DFC=90°DBDC八八八,、八,RtABDERtACDF(HD.BE=CFDEDF标准文案实用文

9、档23BACCOP平分/AOBPACfAPBDA。AB,ADLAC,AB=AC/B=ZC./O/DFE3=/4,（点评）观察已知条件中提到的三角形4AC=DBPAC与ZXPBD的面积相等.求证：OP平分/AOB/DF曰/AF±180DE是/ADC勺平分线，求证：BD=CE.显然与全等无关，而面积相等、底边联系到角平分线判定定理可得.跟1-ACgPMAOBDPMLOA1-BDgPNPMhPNPNJ!OBDABEAC1=/2类型二、巧引辅助线构造全等三角形（1）.作公共边可构造全等三角形：1、在AABC中，AB=AC.求证：/B=/CDABAEAC（SAS.BACE.在DABtEAO,A

10、BRtAABtDRtAACD（HLO./B=/C角形的高结合的题目，有时候用面积会取得意想不到的效果DC/AB,/BADffi/ADC勺平分线相交于E,过E的直线vDE=DE.,.CDE"DE；DF=DCAD=DF+AF,aAD=AB+DC类型一、全等三角形的性质和判定（答案）证明：VAE!AB,ADLAC./EAB=/DAC=90丁./EA计/DAE=/DACH/DAE,即/DA四/EAC.SapacSapbd分别交DCAB于GB两点.求证：AD=AB+DC（答案）证明：在线段AD上取AF=AB,连接EF,ABACA作ADLBC在RtAABDRtAACDtADAD.AF=ABAE=

11、AE,.AB草AAFE./B=/AFE由CD/AB又可得/C+/B=180°,/AF曰/C=180（答案与解析）证明：作PMLOATM,PN!OB于N.11-SapacACgPM,Sapbd-BDgPN22实用文档.倍长中线法：1、已知：如图所示，CECB分另I是ABCtADC勺中线，且/AC氏/ABC求证：C52CE（答案）证明：延长CESF使EF=CE,连接BF.VEC为中线，.二AE=BE.AEBE,在AECtBEF中，AECBEF,AE登BEF（SAS.CEEF,.AC=BF,/A=/FBE（全等三角形对应边、角相等）又:/AC氏/ABC/DBC=/AC拼/A,/FBC=/A

12、BO/A.AC=AB,/DBC/FBCAB=BF.又;BC为ADC勺中线，.二AB=BD即BF=BD.BFBD,在AFCB与DCEfr,FBCDBC,；AFCEBADCB（SAS.:CF=CD即CD2CEBCBC,2、若三角形的两边长分别为5和7,则第三边的中线长x的取值范围是()A.1<x<6B.5<x<7C.2<x<12D.无法确定(答案)A;提示：倍长中线构造全等三角形，7-5V2x<7+5,所以选A选人项.一''X(3).作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形：如图，AD是ABC的角平分线，H,G分别在AC,AB上，且H5

13、BD.从4>口(1)求证：/B与/AHDS补；(2)若/B+2/DGAf180°,请探究线段AG与线段AHHD之间满足的等量关系，并加以证明.（答案）证明：（1）在AB上取一点M,使得AMhAH,连接DM.v/CA氏/BAD,AD=AD,AAHIDAAMD.HD=MD,/AH氏/AMD.vHD=DB,DB=MD./DM&/B.vZAMD-/DMB=180,；/AH济/B=180.即（2）由（1）/AH&ZAMD,H5MD,ZAHDb/B=180.v/B+2/DGA=180,；/AH&2/DGA.丁./AM®2/DGM.v/AM®/DG

14、M-/GDM.2/DGM=/DGM-/GDM.丁./DG随/GDM.MD=MG.HD=MG.vAG=AM+MG,.AG=AH+HD.（3）.利用截长（或补短）法作构造全等三角形：1、如图，AD是ABC勺角平分线，AB>AC,求证：AB-AOBD-DC(答案)证明：在AB上截取A已AC,连结DE.AD是AABCW角平分线，/BA氏/CAD标准文案实用文档AEAC在AEMACMBADCADADAD.AE四AADC(SAS.DE=DC在ABED中，BE>BD-DC即AB-AE>BD-DC.AB-AOBD-DC2、如图所示，已知ABC中AB>ACAD是/BAC的平分线,求证：M

15、B-MC：AB-ACM是AD上任意一点,（答案与解析）证明：:AB>AC,则在AB上截取AE=AC连接ME在MBEt,之差小于第三边）.ACAE（所作），在AMCffiAMW,CAMEAM（角平分线的定义），AMAM（公共边），MB-ME<BE（三角形两边AAMCAAME（SAS,MC=ME（全等三角形的对应边相等）.又=BE=AB-AE,.BE=AB-AC,.MBM&AB-AC.（点评）因为AB>AC,所以可在AB上截取线段AAC,这时BABAC如果连接EM在4BMW,显然有MB-MMBE.这表明只要证明ME=MC则结论成立.充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键

16、.（4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段1、如图所示，已知E为正方形ABCD勺边CD的中点，点F在BC上，且/DAE=/FAE求证：AF=AD+CF.（答案与解析）证明：作MELAF于M连接EF.V四边形ABC时正方形，./C=/D=/EMAf90°.又:/DAE=/FAEAE为/FAD的平分线，ME=DE在RtAAMERtADE中，AEAE（公用边），DEME（已证），RtAAMERtADE（HL）.AD=AM径等三角形A寸应边相等）.又;E为CD中点，.DE=EC.ME=EC人一八八MECE（已证）,在RtEMFWRtECF中，EFEF（公用边），RtAEMFRtAECF

17、（HL）.MF=FC（全等三角形又t应边相等）.由图可知：AF=AMMFAF=AD+FC（等量代换）.（点评）与角平分线有关的辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平标准文案实用文档分线上取一点向角的两边作垂线段.四边形ABCDfe正方形，则/D=90°.而/DAE=/FAE说明AE为/FAD的平分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离，而E到AD的距离已有，只需作E到AF的距离EM即可，由角平分线性质可知ME=DEAE=AERtAAMEWRtAADEir等有AD=AM而题中要证AF=ANCF.根据图知AF=AMMF故只需证M已FC即可.从而把证AF=AD+CF

18、转化为证两条线段相等的问题.太2、如图所示，在ABC中，AC=BC/ACB=90,D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E,AE；BD,求证：BD是/ABC勺平分线.（答案与解析）L证明：延长AE和BC交于点F,*".ACLBCBEXAE,/ADEWBDC（对顶角相等），./EAD廿ADEWCBD廿BDC即/EAD=/CBDZCF=NB8=90%己知）,在RtAACffiRtBCD/C=购已知,皿己证），所以RtAACfRtABCD（ASA.则AF=BD（全等三角形对应边相等）.11口.AE=',BD,.AE-AF,即AE=EF=股（己曲，在RtBEAffiRt4BEF中，

19、二NF互8=90,已知）,S3=3风公共边），WJRtABEARtABEF（SAS.所以/ABEWFBE（全等三角形对应角相等）,即BD是/ABC勺平分线.（点评）如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决.平时练习中多积累一些辅助线的添加方法.类型三、全等三角形动态型问题解决动态几何问题时要善于抓住以下几点：（1）变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用；（2）图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键；（3）几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程，其结论有时变化，有时不发生变化1、已知：在ABC