傅里叶变换的基本性质

1、3-5傅里叶变换的基本性质傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中，经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。一、线性傅里叶变换是一种线性运算。若则其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数Fj）。解因由式（3-55）得二、对称性若证明因为有将上式中变量切换为x,积分结果不变，即再将t用6代之，上述关系依然成立，即最后再将x用t代替，则得所以证毕若f是一个偶函数，即f（V=f，相应有f（F）=f，则式（3-56）成

2、为可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数2n。式中的一表示频谱函数坐标轴必须正负对调。例如例3-7若信号f的傅里叶变换为试求f。解将F(j6)中的切换成t,并考虑F(jco)为8的实函数，有该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为根据对称性故再将f(F)中的0换成t,则得f(t)为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。三、折叠性若则四、尺度变换性观看动画若则证明因a>0,由令x=at,则dx=adt,代入前式，可得oF(j1)函数f(at)表示f(t)沿时间轴压缩(或时间尺度扩展)a倍，而a则表示F(j6)沿频率轴扩展(或

3、频率尺度压缩)a倍。该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。例3-8已知，求频谱函数F(jo)0解前面已讨论了的频谱函数，且根据尺度变换性，信号f(t)比fo(t)的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因此其频谱函数两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。五、时移性此性质可根据傅里叶变换定义不难得到证明。它表明若在时域f(t)平移时间to,则其频谱函数的振幅并不改变，但其相位却将改变8t0。例3-9求f(t)=t:二0,t.的频谱函数F(j)解：根据前面所讨论的矩形脉冲信号和傅里叶变换的时移性，有六、频移性频移性说明若信号f乘

4、以e三即，相当于信号所分解的每一指数分量都乘以e.，这就使频谱中的每条谱线都必须平移旧。,亦即整个频谱相应地搬移了8。位置。频谱搬移技术在通信系统得到了广泛应用，诸如调幅、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。频谱搬移实现原理是将信号f乘以所谓载频信号cos00t或sin%t,即七、时域微分性证明因为两边对t求导数，得所以同理，可推出例3-10求f=a的频谱函数F(。解：因为由时域微分性例3-11图3-22所示信号,为三角形函数求其频谱函数F(j8)。解：将f(t)微分两次后，得到图3-22(c)所示函数，其表达式为由微分性所以八、频域微分性若则例3-12求f=tU的频谱函数F(。

5、解：因为根据频域微分性九、时域积分性若则例3-13根据台修1和积分性求f(t)=U的频谱函数。解：因为根据时域积分性例3-14求图3-23所示信号f(t)的频谱函数F(j«)0解：f(t)对t求两次微分后，得且由时域积分性十、频域积分性若则f(t)*“)例3-15已知t，求F(J。)。解：因为根据频域积分性十一、时域卷积定理若则证明例3-16图3-24(a)所示的三角形函数可看做为两个如图324(b)所示门函数Gx(t)卷积。试利用时域卷积定理求其频谱函数F(®。解：因又所以工例3-17一个彳t号f(t)的希伯特变换f(t)是f和多的卷积,即解：因为则对称性有由时域卷积定理

6、即十二、频域卷积定理若则或例3-18利用频域卷积定理求f(t)=tU(t)的傅里叶变换F(jco)解：因为由对称性有所以根据频域卷积定理有即十三、帕塞瓦尔定理若则可推广若fl(t)为实函数，则若fi(t),f2(t)为实函数,则oO行卡"Sa2()d例3-19求用。解：因由帕塞瓦尔定理可得十四、奇偶性若f(t)HF(js)=F(We»=R(s)+jX(s),则(1)当f为实函数时，则若f(t)为实偶函数，即f(t)=f(t),则若“"为实奇函数，即f(t)=-f(-t),则(2)当f为虚函数，即f(t)=jx(t)时，则傅里叶变换的基本性质归纳如表3-3所示。表3-3傅里叶变换的基本