微积分正教案教师版

1、定积分的概念1. 了解曲边梯形的面积和变速运动路程的计算方法和步骤2. 理解定积分的概念及其几何意义，并掌握定积分的基本性质3. 从曲边梯形的面积和变速直线运动的路程的相关计算中，理解“以直代曲”、“以不变代变”的重要的思想方法例：1.求直线x=0，x=1，y=0和y=围成的曲边三角形的面积 2.汽车做变速直线运动，速度为（单位：km），求汽车在（单位：h）这段时间内行驶的路程S（单位：km）4. 定积分的概念从曲边梯形的面积和变速直线运动的路程中抽象出来的数学模型，即得到定积分的概念：定积分定义：如果函数在区间上连续，用分点，将区间等分成几个小区间，在每一个小区间上任取一点，作和，当时，上述

2、和无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作，即，这里、分别叫做积分的下限与上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.5. 定积分的几何意义定积分表示曲线和直线，y=0所围成的曲边梯形面积的代数和，其中，在x轴上方为正，在x轴下方的面积为负设函数在区间上连续.在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形的面积；如图（1）所示.在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；在上，当既取正值又取负值时，定积分的几何意义是曲线，两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和. 在轴上方的面积积分时取

3、正号，在轴下方的面积积分时，取负号.如图（2）所示.分类情形：1. 如图，由三条直线，轴（即直线）及一条曲线()围成的曲边梯形的面积：；2. 如图，由三条直线，轴（即直线）及一条曲线()围成的曲边梯形的面积：；3. 如图，由曲线及直线，围成图形的面积公式为：.6. 定积分的基本性质 （1）：（k为常数）（2）：；（多个也成立）（3）：，其中（4）：，其中（5）：利用函数的奇偶性求积分：若函数在区间上是奇函数，则；若函数在区间上是偶函数，则.7.熟悉两个求和公式 （1）n个连续正整数的平方和公式 （2）n个连续正整数的立方和公式练习：1.运用定积分的定义求的值 2.运用定积分的定义求的值 3.运

4、用定积分的性质和几何意义，求直线y=x和曲线y=所围成的阴影部分的面积微积分1. 微积分的基本定理如果是区间上的连续函数，并且，则这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿莱布尼兹公式，它揭示了导数和定积分之间的内在联系为了方便，常把简记为因此 2. 如何求被积函数的原函数若为函数的一个原函数，显然，若为的原函数，则+C也是f（x）的原函数，它们之间相差一个常数C3.常见求定积分的公式（1）（2）（C为常数）（3）（4）（5）（6）（7）求下列函数的原函数1. y=x2. y=3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.较难的类型：一：20.21.22.二

5、：23.24.三：25.26.26.四：27.28.五：29计算下列下列定积分 1. =2.=3.=4.=5.=6.7.12.=8.=10.=11.12.13.14.15.=16.17.18.20.21.=22.=23.=练习：1. （2010年广东北江中学高三第二次月考）=2. (2008学年广东北江中学高三高三年级第一次统测试题) 3若ax2dx，bx3dx，csinxdx，则a、b、c的大小关系是()Aa<c<bBa<b<cCc<b<aDc<a<b4已知a0，则当(cosxsinx)dx取最大值时，a_.5(2x1)dx8，则a_.6.已知

6、函数f(x)3x22x1，若f(x)dx2f(a)成立，则a_.7如果f(x)dx1，f(x)dx1，则f(x)dx_.8设函数f(x)xmax的导函数f(x)2x1，则f(x)dx的值等于()A. B.C.D.9若等比数列an的首项为，且a4 (12x)dx，则公比等于_10.=11.已知f(x)为偶函数且f(x)dx8，则f(x)dx等于()A0 B4C8 D1612.已知f(x)为奇函数且f(x)dx8，则f(x)dx等于()A0 B4C8 D1614.设f(x)求f(x)dx.15. .设 则=（ ）A.B.C.D.不存在16. 已知,当=时, 成立17函数y(costt22)dt(x

7、>0)()A是奇函数 B是偶函数C非奇非偶函数 D以上都不正确18.(2010·烟台模拟)若y(sintcostsint)dt，则y的最大值是()A1 B2C D018设f(x)|x2a2|dx.(1)当0a1与a1时，分别求f(a)；(2)当a0时，求f(a)的最小值求解析式19已知f(x)为二次函数，且f(1)2，f(0)0，f(x)dx2.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在1,1上的最大值与最小值20(2010·温州模拟)若f(x)是一次函数，且f(x)dx5，xf(x)dx，那么dx的值是_曲线面积问题：利用定积分求平面图形面积的步骤：（1）画出草图

8、，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；（3）写出定积分表达式；（4）求出平面图形的面积.21. 求在上，由轴及正弦曲线围成的图形的面积.22(原创题)用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是()Af(x)dxB|f(x)dx|Cf(x)dxf(x)dxDf(x)dxf(x)dx23如图，函数yx22x1与y1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是()A1 B.C. D224.如图，阴影部分的面积是（ ）例1（2）ABCDyxo122-1-1ABCD例2图25.如图，求由两条曲线，及直线y=-1所围成图形的面

9、积26由直线x，x2，曲线y及x轴所围成图形的面积为()A.B.C.ln2 D2ln227函数f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为()A.B1C2 D.28设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等的实根，且f(x)2x2.(1)求yf(x)的表达式；(2)求yf(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积29如图，设点P从原点沿曲线yx2向点A(2,4)移动，记直线OP、曲线yx2及直线x2所围成的面积分别记为S1，S2，若S1S2，则点P的坐标为_30. 求曲线，及所围成的平面图形的面积.31.求由抛物线与直线及所围成图形的面积.32. 设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有

10、两个相等的实根，且f（x）=2x+2.（1）求y=f（x）的表达式；（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.（2）若直线x=t（0t1把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.33. 抛物线y=ax2bx在第一象限内与直线xy=4相切此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S求使S达到最大值的a、b值，并求Smax利用定积分解决物理问题变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即.变力作功物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到，那么变力所作的功.34一物体的下落速度为v(t)9.8t6.5(单

11、位：米/秒)，则下落后第二个4秒内经过的路程是()A249米B261.2米C310.3米D450米35.一质点运动时速度与时间的关系为v(t)t2t2，质点作直线运动，则此物体在时间1,2的位移为()A.B.C.D.36一辆汽车的速度时间曲线如图所示，则该汽车在这一分钟内行驶的路程为_米37. 汽车每小时54公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速度3米/秒刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？38若1 N的力能使弹簧伸长1 cm，现在要使弹簧伸长10 cm，则需要花费的功为()A0.05 J B0.5 JC0.25 J D1 J一、选择题（共16小题）1、（2011湖南）由直

12、线与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（）A、B、1C、D、考点：定积分在求面积中的应用。专题：计算题。分析：为了求得与x轴所围成的不规则的封闭图形的面积，可利用定积分求解，积分的上下限分别为与，cosx即为被积函数解答：解：由定积分可求得阴影部分的面积为S=cosxdx=（）=，所以围成的封闭图形的面积是故选D点评：本小题主要考查定积分的简单应用、定积分、导数的应用等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想、考查数形结合思想，属于基础题2、（2010山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A、B、C、D、考点：定积分在求面积中的应用。专题：计算题。分析：要求曲线y=x2

13、，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求01（x2x3）dx即可解答：解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是0，1所求封闭图形的面积为01（x2x3）dx，故选A点评：本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积3、（2009广东）已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V已（如图所示）那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是（）A、在t1时刻，甲车在乙车前面B、t1时刻后，甲车在乙车后面C、在t0时刻，两车的位置相同D、t0时刻后，乙车在甲车前面考点：定积分在求面积

14、中的应用；函数的图象。专题：数形结合。分析：利用定积分求面积的方法可知t0时刻前甲走的路程大于乙走的路程，则在t0时刻甲在乙的前面；又因为在t1时刻前利用定积分求面积的方法得到甲走的路程大于乙走的路程，甲在乙的前面；同时在t0时刻甲乙两车的速度一样，但是路程不一样最后得到A正确，B、C、D错误解答：解：当时间为t0时，利用定积分得到甲走过的路程=v甲dt=a+c，乙走过的路程=v乙dt=c；当时间为t1时，利用定积分得到甲走过的路程=v甲dt=a+c+d，而乙走过的路程=v乙dt=c+d+b；从图象上可知ab，所以在t1时刻，a+c+dc+d+b即甲的路程大于乙的路程，A正确；t1时刻后，甲车

15、走过的路程逐渐小于乙走过的路程，甲车不一定在乙车后面，所以B错；在t0时刻，甲乙走过的路程不一样，两车的位置不相同，C错；t0时刻后，t1时刻时，甲走过的路程大于乙走过的路程，所以D错故答案为A点评：考查学生利用定积分求图形面积的能力，以及会观察函数图象并提取有价值数学信息的能力，数形结合的数学思想的运用能力4、由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为（）A、B、2ln3C、4+ln3D、4ln3考点：定积分在求面积中的应用。专题：计算题。分析：由题意利用定积分的几何意义知，欲求由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积曲边梯形ABD的面积与直角三角形BCD的面

16、积，再计算定积分即可求得解答：解：根据利用定积分的几何意义，得：由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积：S=（3）dx+=（3xlnx）+2=3ln31+2=4ln3故选D点评：本题主要考查定积分求面积用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，属于基本运算5、从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为（）A、B、C、D、考点：定积分在求面积中的应用；几何概型。专题：计算题。分析：欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解解答：解：可知此题求解的概率类型为关于

17、面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（）=1，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S（A）=所以P（A）=故选B点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解6、如图中阴影部分的面积是（）A、B、C、D、考点：定积分在求面积中的应用。专题：计算题。分析：求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可解答：解：直线y=2x与抛物

18、线y=3x2解得交点为（3，6）和（1，2）抛物线y=3x2与x轴负半轴交点（，0）设阴影部分面积为s，则=所以阴影部分的面积为，故选C点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题7、由曲线y=，直线y=x2及y轴所围成的图形的面积为（）A、B、4C、D、6考点：定积分在求面积中的应用。专题：计算题。分析：利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解解答：解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，

19、直线y=x2及y轴所围成的图形的面积为S=故选C点评：本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题8、（2011福建）（ex+2x）dx等于（）A、1B、e1C、eD、e2+1考点：定积分。专题：计算题。分析：求出被积函数的原函数，将积分的上限代入减去将下限代入求出差解答：解：10（ex+2x）dx=（ex+x2）|01=e+11=e故选C点评：本题考查利用微积分基本定理求定积分值9、（2010湖南）dx等于（）A、2ln2B、2ln2C

20、、ln2D、ln2考点：定积分。专题：计算题。分析：根据题意，直接找出被积函数的原函数，直接计算在区间（2，4）上的定积分即可解答：解：（lnx）=lnx|24=ln4ln2=ln2故选D点评：本题考查定积分的基本运算，关键是找出被积函数的原函数，本题属于基础题10、（2009福建）（1+cosx）dx等于（）A、B、2C、2D、+2考点：定积分。专题：计算题。分析：由于F（x）=x+sinx为f（x）=1+cosx的一个原函数即F（x）=f（x），根据abf（x）dx=F（x）|ab公式即可求出值解答：解：（x+sinx）=1+cosx，（1+cosx）dx=（x+sinx）=+sin=+2

21、故选D点评：此题考查学生掌握函数的求导法则，会求函数的定积分运算，是一道中档题11、已知则aacosxdx=（a0），则0acosxdx=（）A、2B、1C、D、考点：定积分。专题：计算题。分析：根据定积分的几何意义知，定积分的值aacosxdx=（a0）是f（x）=cosx的图象与x轴所围成的平面图形的面积的代数和，结合偶函数的图象的对称性即可解决问题解答：解：原式=a0cosxdxdx+0acosxdx原函数y=cosx为偶函数，在y轴两侧的图象对称，对应的面积相等，则0acosxdx=故选D点评：本题主要考查定积分以及定积分的几何意义，属于基础题12、曲线y=x2+2与直线y=3x所围成

22、的平面图形的面积为（）A、B、C、D、1考点：定积分。专题：计算题。分析：先求出曲线与直线的交点，设围成的平面图形面积为A，利用定积分求出A即可解答：解：联立曲线与直线得，解得或设曲线y=x2+2与直线y=3x所围成的平面图形的面积为A则A=123x（x2+2）dx=|12=故选A点评：考查学生利用定积分求平面图形面积的能力13、下列计算错误的是（）A、sinxdx=0B、01=C、cosxdx=2cosxdxD、sin2xdx=0考点：定积分。专题：计算题。分析：利用微积分基本定理求出各选项的值，判断出D错解答：解：sinxdx=（cosx）|=（cos）（cos（）=0因为y=cosx为偶

23、函数所以=故选D点评：本题考查利用微积分基本定理或定积分的几何意义求定积分值14、计算的结果是（）A、4B、2C、D、考点：定积分。专题：计算题。分析：根据积分所表示的几何意义是以（0，0）为圆心，2为半径第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以四分之一即可解答：解：表示的几何意义是以（0，0）为圆心，2为半径第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积=×4=故选：C点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题15、若0k（2x3x2）dx=0，则k等于（）A、0B、1C、0或1D、以上均不对考点：定积分。专题：

24、计算题。分析：利用定积分公式求出等式左边的值，利用其等于0解出k的值即可解答：解：0k（2x3x2）dx=0k2xdx0k3x2dx=x2|0kx3|0k=k2k3=0，解可得k=0若k=1故选C点评：考查学生利用定积分解方程的能力16、如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（）A、1B、C、D、考点：定积分；定积分的简单应用。专题：计算题。分析：联立由曲线y=x2和曲线y=两个解析式求出交点坐标，然后在x（0，1）区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可解答：解：联立得，解得或，设曲线与直线围成的面积为S，则S=01（x2）dx=故选：C点评：考查学生求函数交点

25、求法的能力，利用定积分求图形面积的能力二、填空题（共8小题）17、（2010宁夏）设y=f（x）为区间0，1上的连续函数，且恒有0f（x）1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间0，1上的均匀随机数x1，x2，xN和y1，y2，yN，由此得到N个点（xi，yi）（i=1，2，N），再数出其中满足yif（xi）（i=1，2，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为考点：定积分在求面积中的应用；模拟方法估计概率；几何概型。专题：计算题。分析：要求10f（x）dx的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得解答：解：由题意可知得，故积分的近似值为点评：本题考查几何

26、概型模拟估计定积分值，以及定积分在面积中的简单应用，属于基础题18、如图所示，计算图中由曲线y=与直线x=2及x轴所围成的阴影部分的面积S=考点：定积分在求面积中的应用。专题：计算题。分析：先将阴影部分的面积用定积分表示02（x2）dx，然后根据定积分的定义求出此值即可解答：解：阴影部分的面积为02（x2）dx，而02（x2）dx=（x3）|02=，故答案为：点评：本题主要考查了阴影部分的面积用定积分表示，以及定积分的求解，属于基础题19、由曲线y2=2x 和直线y=x4所围成的图形的面积为18考点：定积分在求面积中的应用。专题：计算题；数形结合。分析：先求出曲线y2=2x 和直线y=x4的交

27、点坐标，从而得到积分的上下限，然后利用定积分表示出图形面积，最后根据定积分的定义求出即可解答：解：解得曲线y2=2x 和直线y=x4的交点坐标为：（2，2），（8，4）选择y为积分变量由曲线y2=2x 和直线y=x4所围成的图形的面积S=（y2+4yy3）|24=18故答案为：18点评：本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及会利用定积分求图形面积的能力应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的，属于基础题20、由曲线和直线y=x4，x=1，x=2围成的曲边梯形的面积是ln2+1考点：定积分在求面积中的应用。专题：计算题。分析：曲线y=与直线y=x4，x=2，x=1所围成的图形面

28、积可用定积分计算，先求出图形横坐标范围，再代入定积分的公式求出结果即可解答：解：联立两条直线的方程，得和曲线y=与直线y=x4，x=2，x=1所围成的图形面积为=（x2+lnx+4x）|12=ln2+1故答案为：ln2+1点评：本题考查利用定积分求封闭图形的面积，解题的关键是利用方程联立做出两个函数的交点坐标，不停地交点的坐标在解题中用不到，本题是一个基础题21、（2010陕西）从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分部分的概率为考点：定积分的简单应用。专题：数形结合。分析：本题利用几何概型概率先利用定积分求出图中阴影部分部分的面积，再结合概率计算公式求出阴影部分部分

29、面积与长方形区域的面积之比即可解答：解：长方形区域的面积为3，阴影部分部分的面积为，所以点M取自阴影部分部分的概率为故答案为：点评：本题考查的定积分的简单应用，解决本题的关键是熟练掌握定积分的几何意义及运算公式简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型22、（2008山东）设函数f（x）=ax2+c（a0），若，0x01，则x0的值为考点：定积分的简单应用。分析：求出定积分01f（x）dx，根据方程ax02+c=01f（x）dx即可求解解答：解：f（x）=ax2+c（a0），f（x0）=01f（x）dx=+cx

30、01=+c又f（x0）=ax02+cx02=，x00，1x0=点评：本题考查了积分和导数的公式，属于基本知识基本运算同时考查了恒等式系数相等的思想23、（2002天津）求由三条曲线y=x2，4y=x2，y=1 所围图形的面积考点：定积分；定积分的简单应用。专题：计算题。分析：根据对称性，只算出y轴右边的图形的面积再两倍即可，求出y=1与y=x2，4y=x2的交点坐标，然后选择x为积分变量，利用定积分表示出阴影部分面积，根据定积分的定义求出面积即可解答：解：如图，因为y=x2，4y=x2是偶函数，根据对称性，只算出y轴右边的图形的面积再两倍即可解方程组和，得交点坐标（1，1），（1，1），（2，1），（2，1）选择x为积分变量，则S=2+=由三条曲线y=x2，4y=x2，y=1 所围图形的面积点评：对称性的应用和积分变量的选取都影响着计算过程的繁简程度运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数，属于基础题24、若y=f（x）的图象如图所示，定义，则下列对F（x）的性质描述正确的有（1）（2）（4）（1）F（x）是0，1上的增函数；（2）F（x）=f（x）；（3）F（x）是0，1上的减函数；（4）x00，1使得F（1）=f（x0）考点：定积分