高等数学(2017高教五版)课件常数项级数的概念和性质(工科类).

1、第一讲 常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件一、常数项级数的概念1. 无穷级数的概念2. 无穷级数的收敛与发散一、常数项级数的概念1. 无穷级数的概念2. 无穷级数的收敛与发散(1) 圆的面积.0a1a2ana引例A (2) 分数的表示法10.330.30.030.003无穷级数的概念给定一个数列,321nuuuu由这数列构成的表达式级数,记为1,iiu nuuuu321叫做(常数项)无穷级数,简称(常数项)其中第 n 项nu叫做级数的一

2、般项.即1iiu nuuuu321一、常数项级数的概念1. 无穷级数的概念2. 无穷级数的收敛与发散一、常数项级数的概念1. 无穷级数的概念2. 无穷级数的收敛与发散1nniisu 级数的部分和123nuuuu定义 ns级数的部分和数列l注 ns如果 没有极限 ,那么称无穷级数 发散.1iiu 当级数收敛时, 称差值 为级数的余项.显然. 0lim nnr12nnnnrssuu1iiu 如果级数 的部分和数列 有极限 即并写成那么称无穷级数 收敛, 这时极限 叫做这级数的和, slimnnss 1iiu s12;isuuuns11us 即:1iiu ns 与 同时收敛或同时发散. 且在收敛时,

3、有 1iiu 级数与数列极限的联系1nniisu 级数数列1(2)nnnussn 01liminnius 011limniiniiuu 20(0 )nniaqaaqaqaqa (q 称为公比)的敛散性. u例1讨论等比级数(又称几何级数) u例21111(1)ln; (2). (1)nnnnn n 判别下列级数的敛散性 l注等比级数的敛散性 1q 收敛 1q 发散 常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件性质1说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .性质1l

4、注性质2性质2说明: 两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减.l注 如果级数 收敛于和 那么级数 也收敛,且其和为1nnu , s1nnku .ks 如果级数 与级数 分别收敛于和 与 那么级数1nnu s1nnv , 1nnnuv 也收敛,且其和为.s 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 必发散, 1nnnuv 但若二级数都发散 , 不一定发散. 1nnnuv 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性.性质3性质4l注加括弧后的级数收敛,不能断定去括弧后的级数收敛.若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 1121111kknnnnnuuuuuu 如果级数 收敛,那么对这级数的项任意加括号后所成的1nnu 级数仍收敛,且其和不变.常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件设收敛级数,1nnuS则必有.0limnnu定理l注lim0.nnu则1nnu必发散.0limnnu并非级数收敛的充分条件.1nnu收敛0limnnulim0.nnu1nnu发散内内 容容 小小 结结基本概念级数前n项部分和前n项部分和数列收敛发散余项基本结论等比级数的敛