20XX届全国普通高等学校统一招生考试高中高三压轴(一)数学(文)试题(解析版)

1、2020届普通高等学校招生全国统一考试高三数学（文）压轴（一）试题一、单选题1已知集合和，则下列结论正确的是（ ）ABCDÜ【答案】A【解析】利用函数的定义域可知求出集合，根据二次函数值域的求法求出，再利用集合之间的基本关系即可求解.【详解】，所以，故选：A.【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，同时考查了函数的定义域、值域的求法，属于基础题.2复数在复平面内对应的点在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】C【解析】利用复数的乘、除运算可得，再利用导数的几何意义即可求解.【详解】，对应点的坐标为，故选：C.【点睛】本题考查了导数的几何意义以及导数的四则运算，属于基础题

2、.3中央电视台每天晚上的“焦点访谈”是时事、政治性较强的一个节目，其播出时间是在晚上看电视节目人数最多的“黄金时间”，即晚上7点与8点之间的一个时刻开始播出，这一时刻是时针与分针重合的时刻，以高度显示“聚焦”之意，比喻时事、政治的“焦点”，则这个时刻大约是（ ）A7点36分B7点38分C7点39分D7点40分【答案】B【解析】设7点分时针与分针重合，在7点时，时针、分针所成的夹角为，根据时针每分钟转，分针每分钟转，可得，解方程即可.【详解】设7点分时针与分针重合.在7点时，时针与分针所夹的角为，时针每分钟转，分针每分钟转，则分针从到达需旋转，时针从到达需旋转，于是，解得（分），故选：B.【点睛

3、】本题考查了任意角的表示以及终边相同角的表示，考查了基本运算能力，属于基础题.4以椭圆的长轴端点作为短轴端点，且过点的椭圆的焦距是（ ）A16B12C8D6【答案】D【解析】设所求椭圆的方程为，将点代入，求出，由即可求解.【详解】设所求椭圆的方程为，将点代入，解得，则，即，故选：D.【点睛】本题考查了待定系数法求椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，属于基础题.52019年北京世园会的吉祥物“小萌芽、小萌花”，是一对代表着生命与希望、勤劳与美好、活泼可爱的园艺小兄妹，造型创意来自东方文化中百子图的“吉祥娃娃”，通过头饰、道具、服装创意的巧妙组合，被赋予了普及园艺知识、传播绿色理念的特殊使命.现将

4、三张分别印有“小萌芽”、“小萌花”、“牡丹花”这三个图案的卡片（卡片的形状和大小相同，质地也相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回的取出两张卡片，则一张为小萌芽，一张为小萌花的概率是（ ）ABCD【答案】C【解析】将卡片分别为、，根据抽取方法列出基本事件个数，然后再利用古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】记印有“小萌芽”、“小萌花”、“牡丹花”图案的卡片分别为、，则基本事件分别为，共9种情况.其中一张为小萌芽，一张为小萌花是，共2种情况，所以所求的概率为，故选：C.【点睛】本题主要考查了古典概型的概率计算公式，解题的关键是列出基本事件个数，属于基础题.6古代人家修建大门时，贴近门墙放置两个

5、石墩.石墩其实算是门墩，又称门枕石，在最初的时候起支撑固定院门的作用，为的是让门栓基础稳固，防止大门前后晃动.不过后来不断演变，一是起到装饰作用，二是寓意“方方圆圆”.如图所示，画出的是某门墩的三视图，则该门墩从上到下分别是（ ）A半圆柱和四棱台B球的和四棱台C半圆柱和四棱柱D球的和四棱柱【答案】D【解析】根据几何体的三视图直观想象出几何体的直观图，从而可得几何体的结构特征.【详解】由几何体的三视图可知：该几何体上面是球的，下面是放倒的四棱柱.故选：D【点睛】本题考查了几何体的三视图还原直观图，考查了空间想象能力，属于基础题.7已知等比数列的前项和为，若公比为，则数列的前项之积的最大值为（ ）

6、A16B32C64D128【答案】C【解析】利用等比数列的前项和公式求出，从而可求出前项之积的最大值.【详解】由，得，解得，所以数列为8，2，前4项乘积最大为64.故选：C.【点睛】本题主要考查了等比数列的前项和公式基本量的运算，需熟记公式，属于基础题.8若函数与的图象只有一个公共点，且在这个公共点处的切线相同，则实数（ ）ABCD【答案】D【解析】设公共点为，根据导数的几何意义可得，根据函数表达式以及导函数解方程组即可.【详解】设两个函数图象的公共点为，根据题意，得即，解式得或（舍去），代入第式，解得.故选：D.【点睛】本题考查了导数的几何意义以及基本初等函数的导数公式，熟记导数公式、运算法

7、则是解题的关键，属于基础题.9为了计算，设计了如图所示的程序，则判断框内应填入（ ）ABCD【答案】C【解析】根据流程图，写出每次循环运行的结果即可得出结果.【详解】，；，；，；，；，此时满足，则输出.故选：C.【点睛】本题考查了程序框图，考查了基本的运算能力，属于基础题.10某纺织企业通过电脑设计各种美丽的布料图案，设计者考虑用一条长度为的线段，其端点、在边长为3的正方形的四条边上滑动，如图所示，当绕着正方形的四边滑动一周时，以为原点，、所在直线分别为轴、轴，探究的中点所形成的轨迹.其中时，点的轨迹是（ ）ABCD【答案】B【解析】根据题意可得，设，利用两点间的距离公式直接列方程即可求解.【

8、详解】由题意，得，设，则，解得，将函数的图象（记为）关于直线对称，可得函数的图象（记为）；将和的图象分别关于直线对称，可分别得到以正方形的顶点、为圆心、1为半径的圆弧.故选：B.【点睛】本题考查了圆的轨迹方程，解题的关键是列出方程，属于基础题.11已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作一条直线与的右支交于、两点，且，若的内切圆直径等于实轴的长，则的离心率为（ ）ABCD【答案】C【解析】设，根据双曲线的定义可得，结合，解得，在中，内切圆直径，再根据即可求解.【详解】设，由题意，得，解得，则，即；的内切圆直径，根据题意，得，解得，故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质、双曲线的定义以及

9、焦点三角形，属于中档题.12若定义在上的偶函数满足，且在区间上是减函数，现有下列结论，其中正确的是：（ ）的图象关于直线对称；的图象关于点对称；在区间上是减函数；在区间内有8个零点.ABCD【答案】C【解析】根据题意可得，再由函数为偶函数可得，从而可判断；无法推出，可判断；利用周期为2可判断；利用对称性可判断.【详解】由，得，结合为偶函数，得，则曲线关于直线对称，则正确；无法推出，则不一定正确；由曲线可得曲线，即得曲线，恰好是在一个周期内的图象；再根据是以2为周期的函数，得到曲线，因为在在上是减函数，在上是减函数，则正确；因为在上是减函数，所以在上有唯一的一个零点，根据对称性，在区间内有8个零

10、点.故选：C.【点睛】本题考查了函数的奇偶性、周期性、单调性的应用，考查了函数性质的应用，属于基础题.二、填空题13已知，若，则与的夹角为_.【答案】90°【解析】利用向量线性运算的坐标表示求出，从而可得，再利用向量数量积的坐标表示即可求解.【详解】由已知，得，即，解得，则，所以，从而与的夹角为90°.故答案为：90°【点睛】本题考查了向量线性运算的坐标表示、向量数量积的坐标表示，根据向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.14已知为等差数列的前项和，公差，且，成等比数列，则_【答案】-9【解析】由，利用等差数列的前n项和公式，求得，又由，成等比数列，利用等差数列的

11、通项公式，求得，联立方程组，即可求解.【详解】由题意知，则，即，又由，成等比数列，则，所以，即，联立方程组，解得.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.15已知函数满足：的图象关于点对称；的图象关于直线对称.则满足和的，的一组值分别是_.【答案】2；【解析】根据题意可得，再由求出，将点代入表达式求出即可.【详解】可将和视为在一个周期内的相邻的对称中心与对称轴，则，于是；将代入，得，结合，可取.故答案为：2；【点睛】本题考查了利用三角函数的性质求解析式，需熟记三角函

12、数的对称轴以及对称中心与函数周期的关系，属于基础题.三、双空题16在圆锥中，、是底面圆周上的点，且，是线段上的一点，且，则三棱锥体积的最大值是_；当取得最大值时，与所成角的大小为_.【答案】 60° 【解析】由题意设，可得，利用三棱锥的体积公式可得，利用基本不等式即求出体积的最大值；根据题意求出，由即可求解.【详解】由及，得；设，则，所以三棱锥体积为：（当且仅当时取等号），即.由平面，得，结合，得平面，从而.由及，得，结合，得；由，得与所成角为.故答案为：；60°【点睛】本题考查了三棱锥的体积公式、异面直线所成的角，同时考查了线面垂直的判定定理，属于基础题.四、解答题17某

13、市数学教研室对全市2018级15000名的高中生的学业水平考试的数学成绩进行调研，随机选取了200名高中生的学业水平考试的数学成绩作为样本进行分析，将结果列成频率分布表如下：数学成绩频数频率50.025150.075500.25700.35450.225150.075合计2001根据学业水平考试的数学成绩将成绩分为“优秀”、“合格”、“不合格”三个等级，其中成绩大于或等于80分的为“优秀”，成绩小于60分的为“不合格”，其余的成绩为“合格”.（1）根据频率分布表中的数据，估计全市学业水平考试的数学成绩的众数、中位数（精确到0.1）；（2）市数学教研员从样本中又随机选取了名高中生的学业水平考试的

14、数学成绩，如果这名高中生的学业水平考试的数学成绩的等级情况恰好与按照三个等级分层抽样所得的结果相同，求的最小值；（3）估计全市2018级高中生学业水平考试“不合格”的人数.【答案】（1）众数、中位数分别为75，74.3；（2）的最小值为10；（3）.【解析】（1）由频率分布表中的数据，众数为，设中位数为，根据各组频率可得，解方程即可.（2）首先求出“优秀”、“合格”、“不合格”的人数，再根据分层抽样法可得即可.（3）根据“不合格”的人数所占的比例即可估计出总体.【详解】解：（1）此样本的众数为；设中位数为，则，解得，所以中位数约为74.3.运用此样本的数字特征，可以估计总体的数字特征，所以全市

15、学业水平考试的数学成绩的众数、中位数分别为75，74.3.（2）“优秀”、“合格”、“不合格”的人数分别为60，120，20，则“优秀”、“合格”、“不合格”的比例为3：6：1，所以按照分层抽样法，选取的人数为，故的最小值为10.（3）全市2018级高中生学业水平考试“不合格”的人数为.【点睛】本题考查了样本的数字特征、分层抽样的特征、根据样本数字特征估计总体，考查了考生的数据分析、处理能力，属于基础题.18在中，是延长线上一点，且.（1）求的值；（2）求的长.【答案】（1）（2）【解析】（1）首先利用同角三角函数的基本关系求出，根据三角形的内角和性质可得，利用诱导公式以及两角差的正弦公式即可

16、求解.（2）在中，利用正弦定理求出，在中，利用余弦定理即可求解.【详解】解：（1）由，得，所以.（2）由正弦定理，得，即.由余弦定理，得.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形、同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.19在三棱柱中，侧面底面，为的中点.（1）求证：平面；（2）求的长.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）连接，设，可得，再利用线面平行的判定定理即可证出.（2）由题意可得，结合面面垂直的性质定理可证出平面，从而可得，根据线面垂直的判定定理可得平面，即可证出，在中，利用勾股定理即可求解【详解】解：（1）连接，设，则为的中点，因为为的中点，所

17、以.又平面，平面，所以平面.（2）在中，由，得，即；在中，同理可得.因为侧面底面，侧面底面，所以平面，又平面，所以，又，所以平面.因为平面，平面，所以.在中，由及，得.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、线面垂直的性质定理，面面垂直的性质定理，考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题.20在平面直角坐标系中，已知、分别为椭圆的左、右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于直线于点，线段的中垂线交于点.记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程，并说明是什么曲线；（2）若直线与曲线交于两点、，则在圆上是否存在两点、，使得，若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】

18、（1）；是以为焦点，为准线的抛物线（2）存在；【解析】（1）根据题意可得，再根据抛物线的定义即可求出曲线的方程.（2）将直线与曲线：联立，由直线与曲线交于点，利用韦达定理可得，从而求出的中垂线方程，由，可得的中垂线与圆交于两点、，利用点到直线的距离公式使圆心到直线的距离小于半径即可求解.【详解】（1）由题意，得，则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以点的轨迹的方程为.（2）由得.由直线与曲线交于点，得，解得.由韦达定理，得.设的中点为，则，即，所以的中垂线方程为，即，由，得的中垂线与圆交于两点、，所以，解得.由和，得.综上，当时，圆上存在两点、，使得，.【点睛】本题考查了抛物线的定义、直

19、线与抛物线的位置关系，考查了考生的运算求解能力，属于难题.21已知函数.（1）讨论函数的极值；（2）设，若曲线在两个不同的点，处的切线互相平行，求证：.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析；【解析】（1）求出，分类讨论或，判断的正负即可求解. （2）根据题意可得，代入导函数整理可得，利用基本不等式证出，从而，令，不妨设，利用导数判断的单调性，求出最小值即可证出.【详解】解：（1），.（i）当时，则在上是减函数，此时无极值.（ii）当时，考虑二次函数，则.当时，则，即对任意的恒成立，所以在上是增函数，此时无极值.当时，则的两根为，.当时，；当时，；当时，所以在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，所以在处有极大值，在处有极小值.（2）由题意，得，且.移项整理，得.因为，所以，即.令，则.设，则.当时，；当时，所以在上是减函数，在上是增函数，所以是的极小值点，也是的最小值点，即，故成立.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数证明不等式，考