高一数学必修四课件1.3三角函数的诱导公式.

1、 能否把能否把 任意任意角的三角函数求角的三角函数求值，化为我们熟值，化为我们熟悉的悉的0360间的角的三角函间的角的三角函数求值问题呢？数求值问题呢？ sin(2)sin();cos(2)cos ();tan(2)tan()kkZkkZkkZ 。诱导公式诱导公式 一：一：新课导入新课导入 能否再把能否再把0360间的角的三角函数间的角的三角函数求值，化为我们熟悉的求值，化为我们熟悉的090间的角的间的角的三角函数求值问题呢？三角函数求值问题呢？ 如果能的话，那么任意角的三角函数如果能的话，那么任意角的三角函数求值，都可以化归为锐角三角函数求值，求值，都可以化归为锐角三角函数求值，并通过求锐角

2、三角函数并通过求锐角三角函数方法而得到方法而得到最终解最终解决，本课就来讨论这一问题。决，本课就来讨论这一问题。圆的圆的对称性对称性角的终边角的终边的的对称性对称性对称点的对称点的数量关系数量关系角之间的角之间的数量关系数量关系诱导公式诱导公式“对称是美的基本形式对称是美的基本形式” 1 1、识记诱导公式；、识记诱导公式； 2 2、理解和掌握公式的内涵及结构特征，、理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明。行简单三角函数式的化简和证明。教学目标教学目标知识与能力知识与能力 1 1、通过诱导公式的推导

3、，培养学生的观、通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法；思想方法； 2 2、通过诱导公式的推导、分析公式的结、通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式；数学归纳推理思维方式； 3 3、通过基础训练题组和能力训练题组的、通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力。能力。过程与方法过程与方法 1 1、通过诱导公式的推导，培养学生主、通过诱导公式的推导，培养学生主动探

4、索、勇于发现的科学精神，培养学生的动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神；创新意识和创新精神； 2 2、通过归纳思维的训练，培养学生踏、通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想。思想。情感态度与价值观情感态度与价值观诱导公式的推导及应用。诱导公式的推导及应用。 相关角边的几何对称关系及诱导公式结相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。构特征的认识。教学重难点教学重难点重点：重点：难点：难点： 设设 0 90 ，对于任意一个，

5、对于任意一个 0 到到360 的的角角，以下四种情形中有且仅有一种成立。，以下四种情形中有且仅有一种成立。36027036027018018018090180900，当，当，当，当，若若 0 0 ，9090， 0 0 ，360360，则则可可怎怎样样用用含含 的的式式子子来来表表示示 ？形如形如180+的三角函数值与的三角函数值与的三角的三角函数值之间的关系函数值之间的关系. 单位圆：以原点为圆心，等于单位长的单位圆：以原点为圆心，等于单位长的线段为半径作一个圆。线段为半径作一个圆。 已知任意角已知任意角的终边与的终边与这个圆相交于点这个圆相交于点p(x,yp(x,y），），由于角由于角 18

6、0180+ + 的终边就的终边就是角是角的终边的反向延长线，的终边的反向延长线，角角180180+的终边与单位圆的终边与单位圆的交于点的交于点p(-x,-y)p(-x,-y)，又因，又因单位圆的半径单位圆的半径 r=1r=1，由正弦，由正弦函数和余弦函数的定义得到：函数和余弦函数的定义得到：1-11-1p(x,y）p(-x,-y）xo ysin()sin ;cos()cos ;tan()tan . 从而得到公式二从而得到公式二:sin,cos, tan;yyxxsin(),cos(),tan()yyxx1-11-1- xp(x,y）p(x,-y）MO y形如形如-的三角函数值与的三角函数值与的

7、三角函的三角函数值之间的关系数值之间的关系: 任意角任意角的终边与这的终边与这个圆相交于点个圆相交于点p(x,yp(x,y），），角角的终边与单位圆的的终边与单位圆的交于点交于点p p(x,-y(x,-y) )，又因单，又因单位圆的半径位圆的半径 r=1r=1，由正弦，由正弦函数和余弦函数的定义得函数和余弦函数的定义得到：到： sin()sin ;cos(a)cos ;tan()tan 。-= -=-= -从而得到公式三从而得到公式三:ysiny,cosx,tan;x ysin()y,cos()x,tan()x 同理可得公式四同理可得公式四:sin()sin;cos()cos;tan()tan

8、 。sin(2)sin();cos(2)cos ();tan(2)tan()kkZkkZkkZ 。诱导公式诱导公式 一：一：函数名不变，函数名不变，符号看象限符号看象限（将（将看成锐角）。看成锐角）。sin()sin ;cos()cos ;tan()tan 。 诱导公式诱导公式 二：二：sin()sin ;cos()cos ;tan()tan 。 诱导公式诱导公式 四：四：函数名不变，函数名不变，符号看象限符号看象限（将（将看成锐角）。看成锐角）。sin()sin ;cos()cos ;tan()tan 。 诱导公式诱导公式 三：三：我们可以用下面一段话来概括公式一我们可以用下面一段话来概括公

9、式一四：四： , , ，的三的三角函数值，等于角函数值，等于的同名函数值，前面加上的同名函数值，前面加上一个把一个把看成锐角时原函数值的符号。看成锐角时原函数值的符号。o+k 2kZ-公式一、二、三、四都叫做诱导公式公式一、二、三、四都叫做诱导公式简化成简化成“函数名不变，符号看象限函数名不变，符号看象限”的口诀。的口诀。例例1:将下列各三角函数化成锐角三角函数。将下列各三角函数化成锐角三角函数。 (1) sin(-699 ) (2) cos(-1525 ) (3) tan(-872 )答案：答案：(1) sin21 (2) cos85 (3) tan28oooo2cos225 =cos(18

10、0 +45 )=-cos45 =-24tan = tan ( +) = tan=3333o11sin = sin(+) = -sin= -sin18 = -0.3090101010解：解： cos22511sin104tan3例例2:求三角函数值。求三角函数值。 例例:已知已知 如何求如何求O)0 , 1(A),(yxP2020y) ), ,( (yx 2002001 1p2 20 0 2 2p) ), ,( (yx ),(yx 1603pay 20sin380sinay200sinay)20sin(ay 160sin,20sina160 ?sin),20sin(,200sin,380sin

11、利用诱导公式把任意角的三角函数转利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数化为锐角三角函数,一般按下面步骤进行一般按下面步骤进行:任意负角的三角函数任意正角的三角函数锐角三角函数 到 的角的三角函数o0o360用公式三或一用公式一用公式二或四例例:求三角函数值求三角函数值. 3tan4cos( 15015) 11sin63(1)tan = tan( -) = -tan= -1444ooooo(2)cos(-150 15 ) = cos150 15 = cos(180 -29 45 )= -cos29 45 = -0.8682111(3)sin = sin(2 -) = -sin= -66

12、62解：解：xo y1-11-11P2P任意角任意角的终边与单的终边与单位位圆相交于点圆相交于点 ，角，角 的终边与单位圆的交于的终边与单位圆的交于点点 ，又因单位圆由，又因单位圆由正弦函数和余弦函数的定义正弦函数和余弦函数的定义得到：得到： ),(1yxP- 2),(2xyP。cos = x,sin = y,cos(- ) = y,sin(- ) = x22从而得公式五从而得公式五:sin(-) = cos2cos(-) = sin2同样可得公式六同样可得公式六:sin(+ ) = cos2cos(+ ) = -sin2sin()cos;2cos()sin2。 诱导公式五：诱导公式五：sin

13、()cos;2cos()sin2。 诱导公式六：诱导公式六：函数名变余，符号看象限函数名变余，符号看象限（将（将看成锐角）看成锐角）综上：奇变偶不变，符号看象限综上：奇变偶不变，符号看象限. .求求sin,cos,tansin,cos,tan时，把时，把化成化成=k=k +, +,则则 k k为奇数为奇数时时, ,函数名函数名变为其余函数变为其余函数, ,k k为为偶数时偶数时函数名函数名不变不变； 符号由符号由将将看成锐角看成锐角时，时，所在象限所在象限的原来函数决定的原来函数决定。2 2 口诀：奇变偶不变，符号看象限口诀：奇变偶不变，符号看象限.意义：意义：(1)(2)kkkkZ2（）的三

14、角函数值.当 为偶数时，等于 的同名三角函数值，前面加上一个把 看作锐角时原三角函数值的符号；当 为奇数时，等于 的异名三角函数值，前面加上一个把 看作锐角时原三角函数值的符号.已知已知 求求 .,20sina110sin,70sin例例5:解：解：2120cos70sina2120cos)2090sin(110sina利用公式求下列各三角函数值利用公式求下列各三角函数值.225cos)316sin(（1） （2）例例6:解：解：（1）52cos 225coscos442 （2）161643sin-= -sin= -sin= sin=33332（）。1313 例例7 7：已已知知cos(cos

15、( - - )=-)=-，求求sin(+sin(+ ) )的的值值4242解：解：1cos(-) = -41-cos = -41cos =4即3sin(+ ) = -cos231sin(+ ) = -24课堂小结课堂小结我们可以用下面一段话来概括公式一我们可以用下面一段话来概括公式一四：四： , , ，的三的三角函数值，等于角函数值，等于的同名函数值，前面加上的同名函数值，前面加上一个把一个把看成锐角时原函数值的符号。看成锐角时原函数值的符号。o+k 2kZ-公式一、二、三、四都叫做诱导公式公式一、二、三、四都叫做诱导公式简化成简化成“函数名不变，符号看象限函数名不变，符号看象限”的口诀。的口

16、诀。公式五、公式六概括如下：公式五、公式六概括如下：。 的的正正弦弦（余余弦弦）函函数数值值，分分别别等等于于 的的余余弦弦（正正弦弦）2 2函函数数值值，前前面面加加上上一一个个把把 看看作作锐锐角角时时原原函函数数值值的的符符号号简化成简化成“奇变偶不变，符号看象限奇变偶不变，符号看象限”的口诀。的口诀。2 2k 23 2 2nn 为为偶偶数数 2n n n为为奇奇数数 奇奇 变变偶偶 不不 变变符符号号看看象象限限诱诱导导公公式式高考链接高考链接1（2007浙江）已知浙江）已知cos( +)= ,且且 ,则则tan等于等于( ) 2 322 3 D.33 A.33B.3C.C解析：解析：

17、由由 得得 ，又，又 3cos()22 3sin2 2 1cos2 tan3 12sin(2)cos(2)1、函数式、函数式化简的结果是（）化简的结果是（）（sin2cos2） cos2sin2以上结论都不对以上结论都不对Asin2cos2A课堂练习课堂练习252525sincostan_6342、填空：、填空：（2 2）答案：（）；答案：（）；（）（）（1）tan675 +tan765 tan（330 ）+tan（690 ）_.oooocos 180 + gsin +360sin -180 gcos -180 -3、化简cos180cos180cos 180cos 解：ooosin -180= sin - 180 += -sin 180 += - -sin= sin又又-cosgsin=1sing -cos原式2sin 21cos +cos答案：（）答案：（）（）（）cos -2sin -2cos 2-5+sin2o2tan 3