基础拓扑学讲义1.1的习习题答案_第1页
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1、习题 记是全体无理数的集合，在实数集上规定子集族.（1）验证是上的拓扑；（2）验证满足公理，但不满足公理；（3）验证是满足公理的可分空间；（4）证明在上诱导的子空间拓扑是离散拓扑，从而是不可分的；（5）说明不满足公理。证明：（1） 所以和都含在中 中任意多个成员的并集仍在中 中两个成员的交集仍在中综上所述：是上的拓扑 （2）任取一个有理数，则在中存在一个开邻域 这样我们就可以在中找到一个与不相交的开集，令有理数 则为的一个开邻域 且 满足公理 由题意可知是闭集， 如果是的任意一个开邻域 因为为全集，所以的开邻域总会与的开邻域相交 因此在中，与不存在不想交的开邻域，故不满足公理（3），做的一组可

2、数邻域 则是的一个可数邻域 对的任一开邻域，为中开集 当充分大，所以是的一个可数邻域基 说明满足公理 显然 ，的任一开邻域 所以所以是的可数稠密子集，所以是可分的（4）设 是的开集 有是的开集 的每个子集都是的开集 是离散拓扑空间，不可数 从而是不可分的（5）假如满足公理 公理具有遗传性则也要满足公理 空间是可分空间 则是可分的与不可分矛盾了 不满足公理 设和都是拓扑空间的子集，并且是开集.证明.证明：对，即且 令是的任一开邻域 则也是的开邻域 因为 所以 即 所以，所以 设都是的闭集，并且.证明是的闭集是的闭集.证明： 有 又是的闭集 是的开集 从而是的开集 是的闭集 因为是的闭集 故，存在

3、的闭集，使，而 所以是的闭集（有限多个闭集的并还是闭集） 设是中的一个序列.证明：存在正整数，使得当，.证明：显然的 假设当时，不成立 那么可找到的无穷子序列， 为的一个开邻域 因为 对的开邻域 会 与矛盾 所以存在正整数，使得当， 证明：是拓扑空间的稠密子集的每个非空开集与相交非空.证明：因为是的稠密子集 所以 故对，的每个开邻域与都有交点 从而的每个非空开集与相交非空 因为的每个非空开集与相交非空 故对，的每个开邻域与都有交点 所以，即 又因为，所以 所以是的稠密子集 若是的稠密子集，是的稠密子集，则也是的稠密子集.证明：令是的任一非空开集 因为是的稠密子集 所以 从而是的非空开集 又因为是的稠密子集，则所以也是的稠密子集 设是映射，证明下列条件互相等价：（1）是连续映射；（2）对的任何子集，；（3）对的任何子集，.证明：欲证 即，要有 设为的任一开邻域 因为是连续映射 所以为开

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