双因子方差分析[1]

1、双因子方差分析双因子方差分析上面我们讨论了单因子试验中的方差分上面我们讨论了单因子试验中的方差分析，但在实际问题中，更多出现的却是析，但在实际问题中，更多出现的却是多因素试验，往往需要同时研究几种因多因素试验，往往需要同时研究几种因素对试验结果的影响，比如农业生产中素对试验结果的影响，比如农业生产中需要同时研究肥料和种子品种对农作物需要同时研究肥料和种子品种对农作物产量的影响。这样的问题就存在两个因产量的影响。这样的问题就存在两个因子：一个因子是肥料的种类，一个因子子：一个因子是肥料的种类，一个因子是种子的品种。是种子的品种。 n它们两者同时影响着农作物的产量。我们它们两者同时影响着农作物的产

2、量。我们希望通过试验选取使产量达到最高的肥料希望通过试验选取使产量达到最高的肥料种类和种子品种。由于有两个因子的影响，种类和种子品种。由于有两个因子的影响，就产生一个新问题：不同种类的肥料和不就产生一个新问题：不同种类的肥料和不同品种的种子对产量的联合影响不一定是同品种的种子对产量的联合影响不一定是它们分别对产量影响的迭加，也就是说肥它们分别对产量影响的迭加，也就是说肥料类型和种子品种要搭配得当才能得到最料类型和种子品种要搭配得当才能得到最高产量，这类各因子的不同水平的搭配所高产量，这类各因子的不同水平的搭配所产生的影响在统计学中称为交互作用。各产生的影响在统计学中称为交互作用。各因子间是否存

3、在交互作用是多因子方差分因子间是否存在交互作用是多因子方差分析中产生的新问题。析中产生的新问题。由于多因子问题复杂，而解决的基本方法又类似，为简由于多因子问题复杂，而解决的基本方法又类似，为简单起见，我们仅介绍二因子的方差分析，分两种情况讨单起见，我们仅介绍二因子的方差分析，分两种情况讨论。论。n1 1、无交互作用的二因子方差分析、无交互作用的二因子方差分析n设在某试验中同时考虑设在某试验中同时考虑A A与与B B两因子的作用，因两因子的作用，因子子A A取取r r个不同的水平个不同的水平A A1 1,A,A2 2,A,Ar r，因子，因子B B取取S S个不同的水平个不同的水平B B1 1,

4、B,B2 2,B,Bs s，由于我们在这里，由于我们在这里只考虑只考虑A A、B B两因子无交互作用的情形，因此对两因子无交互作用的情形，因此对每种不同水平的组合每种不同水平的组合(A(Ai i,B,Bj j) )均进行一次独立试均进行一次独立试验，共得验，共得rsrs个试验结果个试验结果y yijij可列成下表形式。可列成下表形式。riisjjyrysy1.1.11B因子因子B1 B2 BSyi.A因因子子A1A2.Ary11 y12 y1sy21 y22 y2syr1 yr2 yrsy1.y2.yr.y.jy.1 y.2 y.s这里仍假定这里仍假定y yijij是独立地取自分布为是独立地取

5、自分布为N(N(ijij,2 2) )的正态母体的的正态母体的子样。为研究问题方便，仍如单因子方差分析一样把参数改子样。为研究问题方便，仍如单因子方差分析一样把参数改变一下，令变一下，令。个水平的效应的第为因子称。个水平的效应的第为因子称为一般平均。称jBsjiArisjrrisrsjjjiiiriijjsjijirisjij,1,1,2 , 1,1, 2 , 1,1,1.1.1.11显然有sjjrii1100在A、B无交互作用的假设下，应有ij=+i+j综上，得如下(无交互作用)的方差分析模型且相互独立), 0 (0, 011211Nsjriyijrisjjiijjiij要判断因子要判断因子

6、A(A(或或B)B)不同水平的影响是否有不同水平的影响是否有显著差异，只须检验下面的假设显著差异，只须检验下面的假设H H0101( (或或H H0202) )H H0101:1 1=2 2=r r=0=0 (8.19)(8.19)H H0202:1 1=2 2=s s=0 =0 为检验为检验H H0101和和H H0202，我们仍如单因子时一样，采，我们仍如单因子时一样，采用分解平方和的方法，为此先引进如下记号：用分解平方和的方法，为此先引进如下记号： risjjirisjijjjriijjiisjijiysyryrsysjyryyyriysyyy11.11.1.1.111, 1,1, 1,

7、1,由(8.18)可知有ysjyriyjjjiii11. 分解总偏差平方和分解总偏差平方和BAesjjriirisjjiijrisjjijiijrisjijTSSSyyryysyyyyyyyyyyyyyyS12.12.112.112.112)()()()()()()(risjjiijrisjjiijeyyyyS112.112.)()(riiiriiAsyysS12.12.)()(sjjjsjjBryyrS12.12.)()(其中称为误差偏差平方和，它反映了误差的波动称为误差偏差平方和，它反映了误差的波动 称为因子A的偏差平方和 称为因子B的偏差平方和riiAsrES122) 1(rjjBrsE

8、S122) 1(2) 1)(1(srESe可计算得 1,1sSrSBA) 1)(1() 1(srSrSFeAA)1)(1(),1(srrF) 1)(1() 1(srSsSFeBB)1)(1(),1(srsF因此在H01和H02为真时，分别是分别是2的无偏估计，为此构造统计量的无偏估计，为此构造统计量n( (与单因子时一样，利用柯赫伦定理可以与单因子时一样，利用柯赫伦定理可以证明证明F FA A、F FB B具有上述具有上述F F分布分布) )，分别作，分别作H H0101和和H H0202的检验统计量，在的检验统计量，在H H0101、H H0202不真时，不真时，F FA A、F FB B分

9、别有偏大的趋势。分别有偏大的趋势。n对给定的水平对给定的水平，可查分布表分别得，可查分布表分别得n(1-)(1-)分位点分位点 ),1)(1(),1(1srrF当当值值)1)(1(),1(1srsF)1)(1(),1(1srrFFA时拒绝H01，当值),1)(1(),1(1srsFFB时拒绝时拒绝H02。具体计算时，可将分析过程列成方差分析表具体计算时，可将分析过程列成方差分析表n例8.2 题略(见书P387)n解：用方差分析解决这里的问题n检验：H01：因子A对化验结果无显著影响n H02：因子B对化验结果无显著影响n这里r=4,s=3,记n=rs=12, 具体计算见下表5 .21ijijy

10、92.1621.sjjy2. jy43.13112.riiyABA1 A2 A3 A4y.jy2.jB1B2B33.5 2.6 2.0 1.42.3 2.0 1.5 0.82.0 1.9 1.2 0.39.56.65.490.2543.5629.16yi. 7.8 6.5 4.7 2.5 60.84 30.25 22.09 6.2529.46112risjijy52.38)(12ijijyn又 26. 022. 252.3892.16241)(1129. 552.3843.13131)(1177. 752.3829.46)(1212.21112.2112BATeijijsjjBrisjijri

11、iAijijrisjijTSSSSynyrSynysSynyS由上述计算可得从而62.2526. 022. 23) 1() 1)(1(69.4026. 029. 52) 1() 1)(1(eBBeAASSssrFSSrsrF )6 , 3( FFA8 . 4)6 , 3(95. 01FF查查表表得得)6 , 2( FFB1 . 5)6 , 2(95. 01FF查查表表得得对=0.05，因 因)6 , 2()6 , 3(11FFFFBA故拒绝故拒绝H01,H02认为因子认为因子A、B对化验结果都有显著对化验结果都有显著影响影响n2 2、具有交互效应的二因子方差分析、具有交互效应的二因子方差分析n

12、在这种情形下，用前面的记号，因为两因子在这种情形下，用前面的记号，因为两因子A A与与B B存在交互效应存在交互效应n会有会有ijij+i i+j jn记记ijij=ijij-i i-j jn称它为因子称它为因子A A的第的第i i个水平和因子个水平和因子B B的第的第j j个水平个水平的交互效应，其满足关系式：的交互效应，其满足关系式：sjijriijrisj11, 10, 10为了研究交互效应，需对两因子各个水平的组合进行若干次重为了研究交互效应，需对两因子各个水平的组合进行若干次重复的观察，其结果如下表所示复的观察，其结果如下表所示因子因子B B因子因子A AB B1 1B B2 2B

13、BS SA A1 1A A2 2. . . .A Ar ry y111111,y,y11t11ty y211211,y,y21t21t. . .y.yr11r11,y,yr1tr1ty y121121,y,y12t12ty y221221,y,y22t22t. .y yr21r21,y,yr2tr2ty y1s11s1,y,y1st1sty y2s12s1,y,y2st2sty yrs1rs1,y,yrstrst这里视(yij1,yijt) i=1r, j=1s, 为取自N(ij,2)母体的简单随机子样，又由各母体间相互独立的假设，故所有yijk相互独立。综上，得有交互作用的二因子方差分析模型

14、为：tkNsjriyijkrisjrisjijijjiijkijiiijk, 1), 0 (, 10, 0, 0, 0, 121111且相互独立。n对此模型，除需检验因子A、B对试验结果有无显著影响，即检验nH01:1=r=0n (8.22)nH02:1=s=0 还需检验A、B的交互作用是否对试验结果有显著影响，即nH03:ij=0 对一切i=1r, j=1s 为此，需找出以上这些显著性检验的检验为此，需找出以上这些显著性检验的检验统计量，与前一段的讨论类似，我们需分统计量，与前一段的讨论类似，我们需分解平方和，先引入一些记号解平方和，先引入一些记号( (见书见书P387)P387)sjjri

15、irisjtkijkiisjtkijkiijijtkijkijysyrynyriytyyysjriytyyy1.1.111.11.1.11111,1,11,由(8.21)可知.jjjiiiijijjiijyyyy将总偏差平方和作如下分解将总偏差平方和作如下分解BABAerisjjiijrisjtksjjriiijijkrisjtkjiijjiijijkrisjtkijkTSSSSyyyytyyrtyystyyyyyyyyyyyyyyS112.11112.12.2.1112.1112)()()()()()()()()(其中risjtkijijkrisjtkijijkeyyS1112.)21. 8

16、 (1112.)()(称为误差偏差平方和称为误差偏差平方和( (反映了随机误差对试验结果的影响反映了随机误差对试验结果的影响) )riiiriiAstyystS12.12.)()(为因子为因子A A引起的偏差平方和引起的偏差平方和( (除含有误差波动外，除含有误差波动外，反映因子反映因子A A对试验结果的影响对试验结果的影响) )sjjjsjjBrtyyrtS12.12.)()(称为因子称为因子B B的偏差平方和的偏差平方和 risjjiijijrisjjiijBAtyyyytS112. .112. .)()(为因子为因子A A与与B B的交互作用的偏差平方和，反映了因子的交互作用的偏差平方和

17、，反映了因子A A与与B B的的交互作用对试验结果的影响。我们可以计算出交互作用对试验结果的影响。我们可以计算出nE(Se)=rs(t-1)2, nE(SA)=(r-1)2+nE(SB)=(s-1)2+ n E(SAB)=(r-1)(s-1)2+riist12sjjrt12risjijt112eAeAASSrtrstrsSrSF1) 1() 1() 1(eBeBBSSstrstrsSsSF1) 1() 1() 1(eBAeBABASSsrtrstrsSSrSF) 1)(1() 1() 1() 1( ) 1(据此可构造据此可构造H H0101,H,H0202,H,H0303的检验统计量分别为的检验统计量分别为)1(),1(01trsrFFHA真