数理统计试题

1、数理统计 试题一、填空题1.设X1,X2, ,X16是来自总体 XN（4, 2）的简单随机样本，2已知，令-1 164X 16X 一 Xi ,则统计量 服从分布为（必须写出分布的参数）。16 i 12 .设X N（ , 2）,而，是从总体X中抽取的样本，则 的矩估计值为 3 .设X Ua,1, X1, ,Xn是从总体X中抽取的样本，求 a的矩估计为 。4 .已知 Fo.1（8,20）2,贝U Fo.9（20,8） 。5 . ?和？都是参数a的无偏估计，如果有 成立，则称？是比？有效的估计。6 .设样本的频数分布为X01234频数13212则样本方差s2=。7 .设总体XN（科，b 2） , X

2、1, %,，Xn为来自总体X的样本，X为样本均值，则 D （X） O8 .设总体X服从正态分布N （科，b2）,其中科未知，X1, X2,，Xn为其样本。若假设检 验问题为H0： 2 = 1H1： 2 1,则采用的检验统计量应 。9 .设某个假设检验问题的拒绝域为W且当原假设 H0成立时，样本值（x,x,，x）落入W的概率为，则犯第一类错误的概率为 。10 .设样本X1,X2,，X来自正态总体 N（g1）,假设检验问题为：H0: =0 H1:0,则在H0成立的条件下，对显著水平a ,拒绝域W应为。11 .设总体服从正态分布，且未知，设为来自该总体的一个样本，记，则的置信水平为的置信区间公式是

3、;若已知，则要使上面这个置信区间长度小于等于，则样本容量n至少要取。12 .设为来自正态总体的一个简单随机样本，其中参数和均未知，记，则假设：的检验使用的统计量是 。(用和表示)13 .设总体，且已知、未知，设是来自该总体的一个样本，则， 中是统计量的有 。14 .设总体的分布函数，设为来自该总体的一个简单随机样本，则的联合分布函数 。15 .设总体服从参数为的两点分布，()未知。设是来自该总体的一个样本，则中是统计量的有 。16 .设总体服从正态分布，且未知，设为来自该总体的一个样本，记，则的置信水平为的置 信区间公式是。17 .设，且与相互独立，设为来自总体的一个样本；设为来自总体的一个样

4、本；和分别是 其无偏样本方差，则服从的分布是 。218 .设X N ,0.3 , 辿n 9,均值X 5,则未知参数的置信度为的置信区间是 ( 查表 Z0.0251.96 )19 .设总体XN( , 2) , Xi, X2,，Xn为来自总体 X的样本，X为样本均值，则 D(X )=20.设总体X服从正态分布N(g b2),其中科未知，X, X，Xn为其样本。若假设检验问题为H。：2= 1 H/2 1 ,则采用的检验统计量应21.设 X1,X2,Xn是来自正态总体2N(,)的简单随机样本,2 ,和2均未知，记1 nXXin i 1n(Xii 1X)2 ,则假设Ho：检验使用统计量T1 m22.设

5、XXinY分别来自两个正态总体i 1N(1,2、.)和N( 2, 2 )的样本均值，参数2未知，两正态总体相互独立，欲检验H。： 12检验法，其检验统计量是23 .设总体XN( , 2) , , 2为未知参数，从X中抽取的容量为n的样本均值记为又， 修正样本标傕差为 Sn,在显著性水平 下，检验假设 H0: 80, H1: 80的拒绝域 为，在显著性水平 下，检验假设Ho： 2 °2 ( 0已知)，Hi： i 02的 拒绝域为。24 .设总体Xb(n,p),0 p 1,Xi,X2, ,Xn为其子样，n及p的矩估计分别25 .设总体 XU 0, ,(Xi,X2, ,Xn)是来自X的样本

6、，则的最大似然估计量是 O26 .设总体X N( ,0.9 2), X1,X2, ,X9是容量为9的简单随机样本，均值 1 5,则未知参数的置信水平为0.95的置信区间是。27 .测得自动车床加工的 10个零件的尺寸与规定尺寸的偏差(微米)如下：+2, +1, -2, +3, +2, +4, -2, +5, +3, +4则零件尺寸偏差的数学期望的无偏估计量是 28 .设 X1,X2,X3,X4 是来自正态总体 N(0,22)的样本，令 Y (X1 X2)2 (X3 X4)2,则当C 时CY2(2)。29 .设容量n = 10的样本的观察值为(8, 7, 6, 9, 8, 7,5, 9, 6),

7、则样本均值=,样本方差=30 .设 X,X2，Xn为来自正态总体：N( , 2)的一个简单随机样本，则样本均值1 n ,1i服从n i 1二、选择题1 . X1,X2, ,X16是来自总体X N(0,1)的一部分样本，设：Z X2x8 Y X2 X26，则 Z ()Y_2 ,(A) N(0,1)(B)t(16)(C)(16)(D)F(8,8)2 .已知Xi, X2 , Xn是来自总体的样本，则下列是统计量的是()1n . - 21 (A)X X +a (B) X.(C) X a +10 (D) X a Xi +5n 1 i 1 i33.设X1, X8和Y1,Y10分别来自两个相互独立的正态总体

8、N(1,22)和N(2,5)的样本,_2_2,S2和S；分别是其样本方差，则下列服从F (7,9)的统计量是()2S；(A)翦(B)筐4s2(C) 4S2(C) 75S；(D)5S22S221 n o .4.设总体XN( , 2), X1, ,Xn为抽取样本，则 一 (Xi X)2是( ) n i 1(A) 的无偏估计(B) 2的无偏估计 (C)的矩估计 (D)2的矩估计5、设X1, ,Xn是来自总体X的样本，且EX ,则下列是 的无偏估计的是(1 n 11 n1 n1 n 1(A)1 Xi (B)， Xi (C)1 Xi (D)Xin i 1n 1 i 1n i 2n 1 i 16.设为来自

9、正态总体的一个样本，若进行假设检验，当时，一般采用统计量(A)(B)(C)(D)7.在单因子方差分析中，设因子A有r个水平，每个水平测得一个容量为的样本，则下列说法正确的是(A)方差分析的目的是检验方差是否相等(B)方差分析中的假设检验是双边检验(C)方差分析中包含了随机误差外，还包含效应间的差异(D)方差分析中包含了随机误差外，还包含效应间的差异8 .在一次假设检验中，下列说法正确的是 (A)既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误(B)如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误(C)增大样本容量，则犯两类错误的概率都不变(D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假

10、设，则犯了第二类错误9 .对总体的均值和作区间估计，得到置信度为95%勺置信区间，意义是指这个区间 (A)平均含总体95%勺值(B)平均含样本95%勺值(C)有95%勺机会含样本的彳t(D)有95%勺机会的机会含的值10 .在假设检验问题中，犯第一类错误的概率”的意义是(A)在H0不成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率(B)在H0不成立的条件下，经检验H)被接受的概率(C)在H00成立的条件下，经检验H)被拒绝的概率(D)在H0成立的条件下，经检验H被接受的概率11.设总体X服从正态分布2 ,X1,X2,L ,Xn 是来自X的样本，则2的最大似然估计为1 n(A) Xin i 1(B)一2Xi

11、 X1 n 2(C) Xi2n i 1(D) X212.服从正态分布,是来自总体的一个样本,则服从的分布为(A) N(,5/n)(B) N(,4/n)(C) N(/n,5/n)(D)N(/n,4/n)13 .设为来自正态总体的一个样本,若进行假设检验，当时，一般采用统计量(A)(B)(C)(D)14 .在单因子方差分析中，设因子A有r个水平，每个水平测得一个容量为的样本，则下列说法正确的是(A)方差分析的目的是检验方差是否相等(B)方差分析中的假设检验是双边检验(C)方差分析中包含了随机误差外，还包含效应间的差异(D)方差分析中包含了随机误差外，还包含效应间的差异15 .在一次假设检验中，下列

12、说法正确的是 (A)第一类错误和第二类错误同时都要犯(B)如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误(C)增大样本容量，则犯两类错误的概率都要变小(D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误16 .设是未知参数的一个估计量，若，则是的(A)极大似然估计(B)矩法估计(C)相合估计(D)有偏估计17 .设某个假设检验问题的拒绝域为W且当原假设 H成立时，样本值(X1,X2,Xn)落入W的概率为，则犯第一类错误的概率为 。(A)(B)(C)(D)18 .在对单个正态总体均值的假设检验中，当总体方差已知时，选用 2(A) t检验法(B) u检验法(C

13、) F检验法(D)检验法19 .在一个确定的假设检验中，与判断结果相关的因素有 (A)样本值与样本容量(B)显著性水平(C)检验统计量(D) A,B,C同时成立20 .对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平0.05下接受H0：0，那么在显著水平下，下列结论中正确的是 (A)必须接受H0(B)可能接受，也可能拒绝H。(C)必才I绝H0(D)不接受，也不拒绝H。21.设X1，X2, ,Xn是取自总体X的一个简单样本，则_2E(X )的矩估计是n n 一S2 工(Xi X)2S2 - (Xi X)2(A) n 1 i 1(B)n i 1o 2o 2(C) § X(D)S2 X22

14、.总体XN( , 2), 2已知，n 时，才能使总体均值的置信水平为0.95的置信区间长不大于L(A) 15 2/ L222_22(B) 15.3664 2/ L2(C) 16 2/ L2(D) 1623.设 X1,X2,Xn为总体X的一个随机样本，E(X),D(X)2 ,2 n 1$ C (Xi 1i 1Xi)2为 2的无偏估计，C=(A) 1/ n(B) 1/ n 1(C) 1/ 2(n 1)(D)1/ n 224.设总体X服从正态分布N2 ,Xi,X2,L,Xn是来自X的样本，则2的最大似然(A) F(m,n) (B) F(n 1,m 1)(C)F(n,m) (D)F (m 1,n 1)

15、估计为1 n (A)n i 1Xi(B)Xi1 n .(C) 1 Xi2n i 1(D) X225.设 X (1,p),Xi,X2, ,Xn,是来自X的样本,那么下列选项中不正确的是(A)当n充分大时，近似有(B)PXkCkpk(1p)n k, k0,1,2,n(C)P(X- nCkpk(1p)n k, k0,1,2,n(D)PXikk k /Cn p (1n k /p) ,126.若Xt(n)那么 2(A) F(1,n)(B ) F(n,1)(C2(n)(D ) t(n)27.设 Xi,X2,Xn为来自正态总体N(,2)简单随机样本，X是样本均值，记Si2小Xi_ 2_ 21 nX) , S

16、2 (Xin i 12 c21 nX) , S3(Xin 1 i 1)2,(A)1 n211 (Xi)2,则服从自由度为nn i 11的t分布的随机变量是Xt (B) ts / . n 1S2 / . n 1(C),X, Xt (D) t S3 /. nS4 /、n28.设 X,X2，X, X+1,Xn+m是来自正态总体N(0,2)的容量为n+m的样本，则统计量n2m iV服从的分布是2n ii n 129 设 X N ,2已知,2未知,Xi,X2 ,X3 ,X4为其样本， 下列各项不是统计量的是，、1 4(A)X - Xi4 i i(B)X1 X4 2(C) K2-212 (XiX)(D)S

17、(XiX)i 13 i 130.设N2，其中 已知，2未知，X1 ,X2 ,X3为其样本， 下列各项不是统计量的是（）(A)工(X12 X2 X；)(B)X1 3(C)maX(X1,X2,X3)3(X1 X2 X3)三、计算题1 .已知某随机变量 X服从参数为的指数分布，设 X1, X2, ,Xn是子样观察值，求 的极大似然估计和矩估计。（10分）2 .某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取6个，测得直径为：已知原来直径服从 N（ ,0.06）,求：该天生产的滚珠直径的置信区间。给定（0.05 ,No.1.645, Z0.0251.96） （8 分）3 .某包装机包装物品重量服从正态分布N（

18、,42）。现在随机抽取16个包装袋，算得平均包装袋重为x 900 ,样本均方差为2S2 2 ,试检查今天包装机所包物品重量的方差是否有变化？（0.05) ( 0.975(15) 6.262,0.025(15)27.488)(8 分)4 .设某随机变量 X的密度函数为f （x）(1)x0其他的极大似然估计。（6分）5 .某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为0.050.04 ,从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平均值为15毫米，试对求出滚珠的平均直径的区间估计。（8分）（Z0.05 1.645 ,Z0.025 1.96）6 .某种动物的体重服从正态分布N（

19、 ,9）,今抽取9个动物考察，测得平均体重为51.3公斤,否认为该动物的体重平均值为52公斤。（0.05 ) ( 8 分)(Z0.051.645 Z0.0251.96)7.设总体X的密度函数为：f（x）(a 1)xa0样本，求a的矩估计量和极大似然估计。(10 分)8.某矿地矿石含少量元素服从正态分布,现在抽样进行调查，共抽取12个子样算得S 0.2,求的置信区间（20.1,2 (11)2219.68,2 (11) 4.57)1 -2(8分)9. 某大学从来自 A, B两市的新生中分别随机抽取 5名与6名新生，测其身高（单位：cm）后算得x=, y = ; s2 11.3, s2 9.1。假设

20、两市新生身高分别服从正态分布X-N（科1, bj,Y-N（科2, b2）其中b 2未知。试求 心科2的置信度为的置信区间。（9）=,（11）=）10. （10分）某出租车公司欲了解：从金沙车站到火车北站乘租车的时间。随机地抽查了 9辆出租车，记录其从金沙车站到火车北站的时间，算得（分钟），无偏方差的标准差。若假设此样本来自正态总体，其中均未知，试求的置信水平为的置信下限。11. （10分）设总体服从正态分布，且与都未知，设为来自总体的一个样本，其观测值为，设，。求和的极大似然估计量。12. （8分）掷一骰子120次，得到数据如下表出现点数123456次数20 20 20 20 40若我们使用检

21、验，则取哪些整数值时，此骰子是均匀的的假设在显著性水平下被接受？13. （14分）机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从正态分布，规定每袋标准重量为 kg,方差。某天开工后，为检验其机器工作是否正常，从装好的食盐中 随机抽取抽取9袋，测得净重（单位：kg）为：，,，算得上述样本相关数据为：均值为,无偏标准差为，。问(1)在显著性水平下，这天生产的食盐的平均净重是否和规定的标准有显著差异?(2)在显著性水平下，这天生产的食盐的净重的方差是否符合规定的标准？(3)你觉得该天包装机工作是否正常?14. (8分)设总体有概率分布取值123概率现在观察到一个容量为 3的样本,。求的极大似然估计值 ？15.

22、(12分)对某种产品进行一项腐蚀加工试验，得到腐蚀时间(秒)和 腐蚀深度(毫米)的数据见下表：5 5 10 20 30 40 50 60 65 90 1204 6 8 13 16 17 19 25 25 29 46假设与之间符合一元线回归模型(1)试建立线性回归方程。(2)在显著性水平下，检验16. (7 分)设有三台机器制造同一种产品，今比较三台机器生产能力，记录其五天的日产 量机器IIIIII138163155日144148144产135152159量149146141143157153现把上述数据汇总成方差分析表如下方差来源平方和自由度均方和比121417. （10分）设总体在上服从均匀

23、分布，为其一个样本，设（1）的概率密度函数(2)求2118. （7分）机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从正态分布，规定每袋标准重量为 kg,方差。某天开工后，为检验其机器工作是否正常， 从装好的食盐中随机抽取抽取9袋，测得净重（单位：kg）为：，,，算得上述样本相关数据为：均值为，无偏标准差为，在显著性水平下, 这天生产的食盐的净重的方差是否符合规定的标准?19. （10分）设总体服从正态分布，是来自该总体的一个样本，记，求统计量的分布。20. 某大学从来自A, B两市的新生中分别随机抽取 5名与6名新生，测其身高（单位：cm）后算得x =, y =；S211.3, S29.1。假设两市新生身

24、高分别服从正态分布X-N（科1,2、),Y-N (12, (T）其中b 2未知。试求科1科2的置信度为的置信区间。(9)=,(11)二)概率论 试题参考答案、填空题(1) ABC ABC ABC(3)BC ACABABC ABC ABC ABC2.7.1011. 5/7,12.F(b,c)-F(a,c)13. F (a,b)151617.1819. 8520.2N(,1),nN(0,1),2N(,)，N(0,1);n2 _23.=7, S=2 ,、选择题11. C 12 , A 13.D 6. C 7.B 8.B 9 5. B 16 . B 17 . C 18 . B 1921. C 22 ,

25、 B 2325三、解答题1. 8/152. (1)1/15 ,(2) 1/210 ,(3)2/21;3. (1)(2) ,(3);4.；5.取出产品是B厂生产的可能性大。6.m/(m+k);k 17.(1)PX K (3/13)(10/13)8.(1) A= 1/2 ,11(12(3) F(x)2e ,1 1ex,2X1234P1 x其他9.f(x)1/3 12/3x3(6)a3,(6)b310.11.Px h0.01 或 Pxh 0.99,利用后式求得h 184.31 （查表(2.33) 0.9901)13.0123Pgj103/83/803/431/8001/81/412. OA=1/2,

26、 B=工； 1/2 ;C3 f(x)=1/(1+x2); f(x,y)2(4A吗14.(1),B 一,C215.(1)12；(2) (1-e16.(1)A 243y417.18.19.20.21.22.)(9y2);(3)独立；-3)(1-e -8) F(x,y)(1)fx(x)(2)不独立fYx(y x)fXY(x y)12E(X) -72丙组10 分25秒平均需赛6场08y3 12(x x2/2)y23y4 8y3 6y24x3 3x4112x2(10,2y2 , x0,2(1x)(1 y)2,0,D(X)x),24490 x 1其他x,0 x其他x 1,0其他22, E(X)寸，D(X)

27、畤/x0 xx 10 xx 1yyyy1fy(y)12y(1 y)2,0,0 y 1其他24. k = 2, E(XY)=1/4, D(XY)=7/14425.26.27. 537 28. t(n 1)29. 1630 .提示：利用条件概率可证得。2e2x x 00 x 0f(x)31 .提示：参数为2的指数函数的密度函数为利用Y 1 e 2x的反函数x1 .ln(1 y)2 ' 二即可证得。0、填空题1. N(0,1),2数理统计 试题参考答案Xi2 n3 .一xi 1 , 4 . , 5 . D(?) D(?)n i 1n_8 . (n-1)s 2或 (xi -x)2 , 9 .

28、, 10i 1|u| u_2,其中ux< n11., 385;12.13.,;14.为，15.;16217.,1819.nn2 ”120. (n-1)s 或 (xi -x)i 121. TX . n(n 1)Q22m一(n 1) 3 X)2i 12(m 1) (Y Y)2i 123.24.X 80*Sn.nt_(n21)(Xi x)2 i 12(n 1)1(x x)2i 1_(n21)26.S225maxX1, X2,Xn4.412,5.58827281/8二7,S2=2,30选择题11. A 12 , B 13 .D 141517181921. D 22 , B 23C 2427282

29、9三、计算题1 . (10分)解：设 X1,X2,X n是子样观察值极大似然估计:L()XilnL()InXilnL(Xi矩估计:E(X) x e0xdx -样本的一阶原点矩为:-1 nX Xin i 1所以有：EX X2. ( 8分)解：这是方差已知，均值的区间估计，所以有:置信区间为：X Z ,X Z ,n 214.9 14.8 15.2 15.1) 14.951由题得：X 1(14.6 15.160.05 Zo.0251.96广0 06代入即得：14.9506"61.96,14.950.06 1.96、6所以为：14.754,15.1463. ( 8分)解：统计量为:(n 1)

30、S2 X 2 (n1)Ho ：22,2,04 , H1 ：n 16, S22,242代入统计量得15 2 1.875161.8752.975(15) 6.262所以Ho不成立,即其方差有变化。L(X1， ,Xn；n1)n( Xi)i 14. (6 分) 解：极大似然估计:n)(1)Xi (i 1nln Xiln L nln( 1) In Xi i 1d ln Ldnn ln Xii 1nln Xii i5. ( 8分)解：这是方差已知均值的区间估计，所以区间为:InZ 2,x .nZ2由题意得:6.1515(8分)解：H 0 :2 0.040.2、91.96,15052,0.050.2、9H1

31、 :9代入计算可得1.96化间彳导:14.869,15.13151.3 52-079_ 1.962| 0.7 | 0.70,0251.96所以接受H。，即可以认为该动物的体重平均值为52。7. (10 分) 解：矩估计为:1a 19E(X) x (a 1)x dx x0a 2样本的一阶原点矩为:1 nxin i 1所以有：_a_Ja 2<?2X 11又极大似然估计:f (X1,X2, Xn)(a1)xai (a1)nax ii 1两边取对数：ln f(x1,Xn)n ln( a1)nln(xi)两边对a求偏导数:ln fln( xi )=0所以有:<?1nnln( xi)8. (8

32、 分)解：由(n1)S22(n1)S22(n 1)S221 - 2所以的置信区间为：(n 1)S22(11)2(胃9.解:将 n 12, S 0.2 代入得0.15,0.31这是两正态总体均值差的区间估计问题。由题设知,n1 5,n2 6,x 175.9,y 172, s2 11.3, s2 9.1,0.05.1(7 -1)s：(n2 -1)s2(2 分)选取(9)=,n 1n2 - 2(4分)则1 2置信度为的置信区间为:x-y-t_(n1 ni -2)Sw1n11 一，x-y n2t_n21n 2 - 2)Sw J (8 分)n1 n2(10分）注：置信区间写为开区间者不扣分。10.解：由于未知，故采用作枢轴量（2分）要求（2分）这等价于要求 ，也即 （2分）而（2分）所以，故 （1分）故的置信水平为的置信下限为由于这里，所以由样本算得（1分）