高考数学总复习第三节　平面向量的数量积及应用

1、必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 第五章第五章 平面向量与复数平面向量与复数第三节第三节平面向量的数量积及应用平面向量的数量积及应用必备知识 整合 关键能力 突破 学习要求学习要求:1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做

2、超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 必备知识 整合 1.平面向量的数量积平面向量的数量积(1)向量a与b的夹角:已知两个非零向量a,b,过O点作=a,=b,则AOB=(0180)叫做向量a与b的夹角.当=90时,a与b相互垂直,记作ab;当=0时,a与b共线且同向;当=180时,a与b共线且反向.OAOB必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 (2)向量数量积的定义:已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,则称|a|b|cos为向量a与b的数量积

3、(或内积),记作ab,即ab=|a|b|cos.OAOB(3)规定0a=0.(4)一个向量在另一个向量方向上的投影的数量:设是向量a与向量b的夹角,则|a|cos叫做向量a在向量b上的投影的数量,|b|cos叫做向量b在向量a上的投影的数量.(5)数量称的几何意义:两个非零向量a、b的数量积ab等于a的长度|a|与b在a上的投影的数量|b|cos的乘积.必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 2.向量的数量积的性质向量的数量积的性质设a、b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角

4、,则(1)ea=ae=|a|cos.(2)abab=0.(3)当a与b同向时,ab=|a|b|;当a与b反向时,ab=-|a|b|.特别地,aa=|a|2.(4)cos=.| |a bab必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 (5)|ab|a|b|.3.平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算律(1)ab=ba.(2)(a)b=(ab)=a(b)(R).(3)(a+b)c=ac+bc.必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一

5、“这种简化标题 学科素养 提升 4.平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.(2)若a=(x,y),则aa=a2=|a|2=x2+y2,|a|=.(3)若A(x1,y1),B(x2,y2),则|=,这就是平面内两点间的距离公式.(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a,b为非零向量,则abx1x2+y1y2=0.22xyAB222121()()xxyy必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 知识拓展知

6、识拓展1.向量a,b的夹角为锐角ab0且a,b不共线;向量a,b的夹角为钝角ab0,则a和b的夹角为锐角;若ab0且k.22必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 考点一平面向量数量积的运算考点一平面向量数量积的运算关键能力 突破 典例典例1(1)已知|a|=|b|=1,若向量a与b的夹角为45,则(a+2b)a=1+.(2)(2020天津,15,5分)如图,在四边形ABCD中,B=60,AB=3,BC=6,且=,=-,则实数的值为,若M,N是线段BC上的动点,且|=1,则的最小值为.2ADBCADAB3216MNDMDN132必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析(

7、1)因为|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为45,所以(a+2b)a=a2+2ab=|a|2+2|a|b|cos45=1+.(2)以B为原点,BC所在直线为x轴,过B且垂直于BC的直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,2必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 则B(0,0),A,C(6,0),则=(6,0)=(6,0),=,=6+0=-9=-,=.=(1,0),D,不妨设M(x,0),N(x+1,0),且x0,5,=,=x-,-.=+=x2-4x+=(x-2)2+,当且仅当x=2时,取最小值.3 3 3,22ADBCAB33 3,22ADAB323 323216AD5 3 3,22

8、DM53 3,22xDN323 32DMDN52x32x23 32154274132DMDN132必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 名师点评名师点评平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即ab=|a|b|cos.(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.(3)对于数量积与线性运算的综合问题,可先运用数量积的运算律,几何意义等化简,再进行运算.必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 1.在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若=2,=-(R),且=-4,则的值

9、为.BDDCAEACABADAE311解析解析由=2得=+,所以=(-)=-+-,又=32cos60=3, =9,=4,所以=-3+-2=-5=-4,解得=.BDDCAD13AB23ACADAE1233ABACACAB13ABAC132AB232AC23ABACABAC2AB2ACADAE83113311必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 2.(2020上海交大附中期末)如图,已知O为矩形ABCD内一点,且OA=2,OC=4,AC=5,则=-.OBOD52必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如

10、图所示,设O(m,n),B(a,0),D(0,b),则C(a,b),OA=2,OC=4,AC=5,22222225,4,()()16,abmnambn必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 整理可得am+bn=.又=(a-m,-n),=(-m,b-n),=m(m-a)+n(n-b)=m2+n2-(am+bn)=4-=-.132OBODOBOD13252必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 考点二平面向量数量积的性质及应用考点二平面向量数量积的性质及应用角度一平面向量的模角度一平面向量的模典例典例2(1)(2020课标理,14,5分)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a

11、-b|=.(2)已知直角梯形ABCD中,ADBC,ADC=90,AD=2,BC=1,P是DC上的动点,则|+3|的最小值为5.3PAPB必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析(1)由|a+b|=1,得|a+b|2=1,即a2+b2+2ab=1,而|a|=|b|=1,故ab=-,|a-b|=.(2)建立平面直角坐标系,如图所示,则A(2,0),设P(0,y),C(0,b),则B(1,b),=(2,-y),=(1,b-y),所以+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),所以|+3|=(0yb),所以当y=b时,|+3|取得最小值5.122|ab22ab2a b1

12、1 1 3PAPBPAPBPAPB225(34 )by34PAPB必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 角度二平面向量的夹角角度二平面向量的夹角典例典例3(1)(2020课标理,6,5分)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,ab=-6,则cos=()A.-B.-C.D.(2)(2020浙江,17,4分)已知平面单位向量e1,e2,满足|2e1-e2|.设a=e1+e2,b=3e1+e2,向量a,b的夹角为,则cos2的最小值是.313519351735193522829D必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析(1)由题意得cos=.故选D.(2)由题可知从而(

13、)| |aabaab222|2aa baaba b25652536 1219351212,3aeebee12,23,2baeabe1,231,23522baabba| 2,|3| 2,|35 | 2 2baabba必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 由可得代入可得a2,从而cos=2=2=22,所以cos2,故cos2的最小值为.22222224,964,253098,aa bbaa bbaa bb 2222,43,a baba 72|a ba b22|aa b|ab22|43|aa2143|a72928292829必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 角度三平面向量的垂

14、直问题角度三平面向量的垂直问题典例典例4(1)已知|=3,|=2,=m+n,若与的夹角为60,且,则实数的值为()A.B.C.6D.4(2)(2020课标,13,5分)已知单位向量a,b的夹角为45,ka-b与a垂直,则k=.OAOBOCOAOBOAOBOCABmn161422A必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析(1)|=3,|=2,=m+n,与的夹角为60,=32cos60=3,=(-)(m+n)=(m-n)-m+n=3(m-n)-9m+4n=-6m+n=0,=,故选A.(2)因为(ka-b)a=ka2-ab=0,且单位向量a,b的夹角为45,所以k-=0,即k=.OA

15、OBOCOAOBOAOBOAOBABOCOBOAOAOBOAOB2OA2OBmn162222必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 名师点评名师点评1.求平面向量的模的方法(1)公式法:利用|a|=及(ab)2=|a|22ab+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算;(2)几何法:利用向量的几何意义,即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量,再利用余弦定理等方法求解.a a必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 2.求平面向量的模的最值(取值范围)的方法(1)代数法:把所求的向量的模表示成关于某个变量的函数,再用求最值的方法求解;(2)几何法(数形结合法)

16、:弄清所求的向量的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 3.求平面向量的夹角的方法(1)定义法:由平面向量数量积的定义可知,cos=,其中两个向量的夹角的范围为0,求解时应求出ab,|a|,|b|的值或找出这三个量之间的关系;(2)坐标法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则cos=.|a ba b121222221122x xy yxyxy4.两个向量垂直的充要条件abab=0|a-b|=|a+b|(其中a0,b0).必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 1.(多选题)(2020青岛高三检测)ABC是边长为2的等边三角形,

17、已知向量a、b满足=a,=a+b,则下列结论正确的是()A.|b|=2B.abC.ab=2D.(2a+b)ABACBCAD必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析因为=a,=a+b,所以=-=a+b-a=b,因为ABC是边长为2的等边三角形,所以|b|=|=2,A正确;因为=a,=b,所以向量a,b之间的夹角为120,B错误;ab=|a|b|cos120=22=-2,C错误;因为(2a+b)=(2a+b)b=2ab+b2=2(-2)+22=0,所以(2a+b),D正确,故选AD.ABACBCACABBCABBC12BCBC必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 2.(2

18、020课标文,14,5分)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若ab,则m=5.解析解析由ab得ab=0,即m+1-(2m-4)=0,解得m=5.必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 3.已知平面向量a,b的夹角为,且|a|=,|b|=2,在ABC中,=2a+2b,=2a-6b,D为BC的中点,则|=2.63ABACAD解析解析因为=(+)=(2a+2b+2a-6b)=2a-2b,所以=4(a-b)2=4(a2-2ab+b2)=4=4,则|=2.AD12ABAC122AD3232 cos46 AD必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 考点三平面向量与三角函数的

19、综合应用考点三平面向量与三角函数的综合应用典例典例5 (2019连云港二模)已知向量a=(1,cos2x-sin2x),b=(-1,f(x),且ab.(1)将f(x)表示成关于x的函数,并求f(x)的单调递增区间;(2)若f()=,求cos2的值.36532必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析(1)向量a=(1,cos2x-sin2x),b=(-1,f(x),且ab,f(x)+(cos2x-sin2x)=0,即f(x)=-cos2x+sin2x=2sin.令2k-2x-2k+,kZ,解得k-xk+,kZ,故函数f(x)的单调递增区间为k-,k+,kZ.(2)若f()=,即f

20、()=2sin=,33326x2626363652665必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 则sin=.,2-,cos=-=-,cos2=cos=coscos-sinsin=-=-.2635,3 2 65,262621 sin2645266266266453235124 3310必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 名师点评名师点评平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)当题中给出的向量坐标中含有三角函数的形式时,先运用向量共线、垂直或等式成立等条件,得到含有三角函数的关系式,然后求解.(2)当给出用三角函数表示的向量坐标,求向量的模或向量的其他表达式时,其解题思路是

21、先通过向量坐标的运算,再利用三角函数的性质求其值域.必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-),x0,.(1)若ab,求x的值;(2)记f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.3必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析(1)因为a=(cosx,sinx),b=(3,-),ab,所以-cosx=3sinx.若cosx=0,则sinx=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cosx0,所以tanx=-.又x0,所以x=.(2)f(x)=ab=(cosx,sinx)(3,-)=3cosx-sinx=2cos

22、.因为x0,所以x+,从而-1cos,所以当x+=,即x=0时,f(x)取得最大值3;当x+=,即x=时,f(x)取得最小3333563336x67,666x3266656值-2.3必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 微微专题专题数量积在平面几何中的应用数量积在平面几何中的应用1.利用平面向量的数量积可以解决很多平面几何问题,如平面几何中的夹角问题可以转化为向量的夹角问题,平面几何中的垂直问题可以转化为向量的垂直问题等.2.用向量方法解决平面几何问题的步骤:平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题.学科素养 提升 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 (1)在ABC中

23、,已知=0,且=,则ABC为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.三边均不相等的三角形(2)在平行四边形ABCD中,AD=1,BAD=60,E为CD的中点,若=1,则AB|ABACABACBC|ABAB|ACAC12ACBE=.12A必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析(1),分别为平行于,的单位向量,由平行四边形法则可知向量+所在的直线为BAC的平分线.因为=0,所以BAC的平分线垂直于BC,所以AB=AC.又= cosBAC=,所以cosBAC=,又0BAC,所以BAC=,所以ABC为等边三角形.|ABAB|ACACABAC|ABAB|ACAC|ABACAB

24、ACBC|ABAB|ACAC|ABAB|ACAC12123必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 (2)在平行四边形ABCD中,取AB的中点F,则=-,=+,=(+)=+-=+|cos60-=1+|-=1,|=0,又|0,|=,即AB=.BEFDAD12ABACADABACBEADAB12ADAB2AD12ADAB122AB2AD12ADAB122AB1212AB122AB1|2ABABABAB1212必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 (1)利用平面向量数量积的几何意义判断三角形的形状,首先要知道,分别为平行于,的单位向量,再利用条件得出向量垂直和向量夹角的大小,即可得到结论.(2)求线段的长度问题可以转