高考数学总复习第四节　二次函数与幂函数

1、必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 第二章第二章 函数函数第四节第四节二次函数与幂函数二次函数与幂函数必备知识 整合 关键能力 突破 学习要求学习要求:1.通过具体实例,结合y=x,y=,y=x2,y=,y=x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数.1xx2.理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 1.二次函数二次函数(1)二次函数的定义形如f(x

2、)=ax2+bx+c(a0)的函数叫做二次函数.必备知识 整合 必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 (2)二次函数的三种表示形式(i)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a0);(ii)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a0);(iii)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0).(3)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 a0a0时,幂函数y=x有下列性质:a

3、.图象都经过点(0,0)、(1,1);b.在第一象限内,函数值随x的增大而增大.(ii)当0时,幂函数y=x有下列性质:必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 a.图象都经过点(1,1);b.在第一象限内,函数值随x的增大而减小.(3)五种常见幂函数的图象必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 函数特征性质y=xy=x2y=x3y=y=x-1定义域RRR0,+)x|xR且x0值域R0,+)R0,+)y|yR且y0奇偶性奇偶奇非奇

4、非偶奇12x(4)五种常见幂函数的性质单调性增x0,+)时,增,x(-,0时,减增在0,+)上增x(0,+)时,减,x(-,0)时,减定点(0,0),(1,1)(1,1)必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)函数y=2是幂函数.()(2)若幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.()(3)当n0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数.()(4)二次函数y=ax2+bx+c(a0),xm,n的最值一定是.()(5)二次函数y=ax2+bx+c(a0),xR不可

5、能是偶函数.()12x244acba必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 2.(新教材人教A版必修第一册P91T1改编)已知幂函数f(x)=kx的图象过点,则k+=()A.B.1C.D.212,221232C3.(新教材人教A版必修第一册P91T2改编)与的大小关系是0对任意实数x都成立,则实数a的取值范围是.1,2必备知识 整合 关键能力 突破 考点一幂函数的图象和性质考点一幂函数的图象和性质关键能力 突破 1.(多选题)已知幂函数y=x(R)的图象过点(2,8),下列说法正确的是()A.函数y=x的图象过

6、原点B.函数y=x是偶函数C.函数y=x是单调减函数D.函数y=x的值域为RAD必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析因为幂函数y=x的图象过点(2,8),所以2=8,解得=3,所以y=x3.函数y=x3的图象过原点,所以A选项中说法正确;函数y=x3是奇函数,所以B选项中说法错误;函数y=x3在R上递增,所以C选项中说法错误;函数y=x3值域为R,所以D选项中说法正确.必备知识 整合 关键能力 突破 2.已知幂函数y=(p,qN*,q1且p,q互质)的图象如图所示,则()A.p,q均为奇数,且1B.q为偶数,p为奇数,且1C.q为奇数,p为偶数,且1pqxpqpqpqD.q为奇数,p为偶数

7、,且01pqD必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析由幂函数的图象关于y轴对称,可知该函数为偶函数,所以p为偶数,则q为奇数.因为幂函数y=的图象在第一象限内向上凸起,且在(0,+)上单调递增,所以01.pqxpq必备知识 整合 关键能力 突破 3.函数y=的大致图象是()23xB必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析 由幂函数的性质可知,函数y=的图象在(0,+)上单调递减,故A、C错误;令f(x)=,所以x(-,0)(0,+).因为f(-x)=f(x),所以函数y=为偶函数,故D错误.故选B.23x23x1321x1321() x1321x23x必备知识 整合 关键能力 突破 4.若a

8、=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是()A.abcB.cabC.bcaD.bab=,因为y=是减函数,所以a=c=,所以bac.23x2312321512x23121312必备知识 整合 关键能力 突破 名师点评名师点评(1)对于幂函数图象的掌握只要掌握住在第一象限内三条线把第一象限划分为六个区域,即x=1,y=1,y=x所分区域.根据0,01确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.(2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.必备知识 整合 关键能力 突破 考点二求二次函数的解析式考点二求二次函数的解析式典例典例1已知二次函数f(x)满足f(2)=-1

9、,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定该二次函数的解析式.必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析解法一:(利用“一般式”解题)设f(x)=ax2+bx+c(a0).由题意得解得所以二次函数f(x)=-4x2+4x+7.解法二:(利用“顶点式”解题)设f(x)=a(x-m)2+n(a0).2421,1,48,4abcabcacba 4,4,7.abc 必备知识 整合 关键能力 突破 因为f(2)=f(-1),所以抛物线的图象的对称轴为x=,所以m=.又函数有最大值8,所以n=8,所以f(x)=a+8.因为f(2)=-1,所以a+8=-1,解得a=-4,所以f(x)=-4+8=-4x

10、2+4x+7.2( 1)2 1212212x2122212x必备知识 整合 关键能力 突破 名师点评名师点评求二次函数的解析式,一般用待定系数法求解,其关键是根据已知条件恰当地选择二次函数解析式的形式,一般选择规律如下:必备知识 整合 关键能力 突破 已知g(x)=-x2-3,f(x)是二次函数,且f(x)+g(x)为奇函数,当x-1,2时,f(x)的最小值为1,则函数f(x)的解析式为f(x)=x2+3x+3或f(x)=x2-2x+3.2必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析易知g(x)=-x2-3是二次函数,且为偶函数.设函数f(x)的解析式为f(x)=ax2+bx+c(a0),则f(x

11、)+g(x)=(a-1)x2+bx+c-3.因为f(x)+g(x)是奇函数,所以a-1=0,c-3=0,解得a=1,c=3,故f(x)=x2+bx+3,函数f(x)图象的对称轴方程为x=-,当x-1,2时,f(x)的最小值为1,则或或解得b=3或b=-2或b=-3(舍去),2b1,2( 1)1bf 12,212bbf 2,2(2)1.bf2故函数的关系式f(x)=x2+3x+3或f(x)=x2-2x+3.2必备知识 整合 关键能力 突破 考点三二次函数的图象和性质考点三二次函数的图象和性质角度一二次函数图象的识别角度一二次函数图象的识别典例典例2一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+

12、c(a0)在同一坐标系中的图象大致是()C必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析 观察A中图象,由一次函数y=ax+b的图象可得a0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上,故A错误;观察B中图象,由一次函数y=ax+b的图象可得a0,b0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上,对称轴x=-0,故B错误;观察C中图象,由一次函数y=ax+b的图象可得a0,b0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下,对称轴x=-0,故C正确;观察D中图象,由一次函数y=ax+b的图象可得a0,b1,即a-时,f(x)max=f(-1)=-2a-1,232x2143221421,154212a212a1213212a12必备知识 整合 关键能力 突破 所以-2a-1=1,即a=-1满足题意.综上,a的值为-或-1.13必备知识 整合 关键能力 突破 名师点评名师点评(1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析.“三点”中有一个点是顶点,另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点,常取与x轴的交点;“一线”是指对称轴这条直线;“一开口”是指抛物线的开口方向.(2)二次函数最值问题的解法:抓住“三点一轴”数形结合.三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,利用函数的单调性及分类讨论的思想求解.必备知识 整合 关键能力 突破 设函数f(x)