随机过程-第二章一.

1、1.1.平稳过程的概念平稳过程的概念 一一. . 引例与概念引例与概念 ( (一一) ) 例例 1 1、飞机控制在高为、飞机控制在高为 h h 的水平面上飞的水平面上飞行，由于大气湍流的影响而产生随机上、行，由于大气湍流的影响而产生随机上、下波动。下波动。 )(1tH 是个随机过程，其特点是：是个随机过程，其特点是： 第二章第二章 平稳过程平稳过程 1 1、有有后后效效性性。由由于于飞飞机机飞飞行行时时有有很很大大惯惯性性，在在 1t点点波波动动情情况况对对2t点点波波动动影影响响大大，且且2t与与 1t越越近近，影影响响越越大大。 2 2、 过程的统计特征不随时间的平移而变化。 （即不随、

2、过程的统计特征不随时间的平移而变化。 （即不随时间原点的选择变化， 如原点左移时间原点的选择变化， 如原点左移 5 5 单位， 仅曲线在单位， 仅曲线在新坐标下向左移新坐标下向左移 5 5，而过程的统计特性不变。 ），而过程的统计特性不变。 ） 例例 1 1、过程、过程 )(tX 满足条件满足条件 1 1，2 2。该类随机过程其统。该类随机过程其统计特征是产生随机现象的主要因素不随时间而变化， 称计特征是产生随机现象的主要因素不随时间而变化， 称为平稳过程。为平稳过程。 例例 2 2飞机升、降飞行时，由于飞机惯性，这个过程同飞机升、降飞行时，由于飞机惯性，这个过程同样有后效性，但它的统计特征随

3、时间的平移而变化样有后效性，但它的统计特征随时间的平移而变化。 例例 3 3、过程、过程 )(tX 统计特征与统计特征与 t t 有关，称为非平稳有关，称为非平稳过程。过程。 （二）定义：设（二）定义：设XX（t t） ，） ，t tTT 如果对任意如果对任意和实数和实数 1t，2t，ntT T 及及 1t+ +，2t+ +，nt+ +T T， 对任意对任意 n n 有有 ),;,(),;,(21212121 nnnnnntttxxxFtttxxxF 则称则称XX（t t） ，） ，t tTT是严（格）平稳过程。是严（格）平稳过程。 （1 1） 如果如果XX（t t） ，） ，t tTT的概率

4、密度函数存在，则严的概率密度函数存在，则严平稳过程条件等价于平稳过程条件等价于 ),;,(),;,(21212121 nnnnnntttxxxftttxxxf （2）当当 T T 是离散集是离散集，如如, 2, 1, 0 T 随机序列随机序列),(TttX ，对任意对任意 m和整数整数Tkkkn ,21及Tmkmkmkn ,21， 对任对任 n有有 )(,)()(,)()(,)()(,)(33,221133,2211mkXxmkXxmkXxmkXPxkXxkXxkXxkXPnnn 则称则称X(t)X(t)，t=0t=0，1 1 平稳（随机）序列平稳（随机）序列。 （1 1）平稳性反映在观测记录

5、（即样本曲线方面的平稳性反映在观测记录（即样本曲线方面的特点是：随机过程所有样本曲线都在某一水平直线上特点是：随机过程所有样本曲线都在某一水平直线上下随机地波动）下随机地波动）。一般来说：任何动力学系统的随机过程，开始是不一般来说：任何动力学系统的随机过程，开始是不平稳的，过一段时间后看作平稳过程。平稳的，过一段时间后看作平稳过程。 二、严平稳过程的数字特征。二、严平稳过程的数字特征。 假设严平稳过程假设严平稳过程XX（t t）,t,tTT，一阶矩，二阶矩是，一阶矩，二阶矩是存在的，若该过程的密度函数存在。存在的，若该过程的密度函数存在。 对一维分布有对一维分布有: :f(x;t)=f(x;t

6、+f(x;t)=f(x;t+) ) t, t+t, t+T T 1 1 均值函数是常数均值函数是常数 XXmtm )( )();();()( tmdxtxxfdxtxxftmXX 若令：若令：- -t=t=，则，则 XXmdxxxftm)0 ;()(常数常数 2 2、 均均方方值值函函数数XXt )(常常数数。 dxtxfxdxtxfxtXEtX);();()()(222 为为常常数数Xdxxfx )0 ,(2 3 3、 方方差差函函数数 D DX X（t t）= =常常数数 常常数数 22)()()(XXXXmtmttDX 对严平稳过程有对严平稳过程有 );(),;,(21212121 tt

7、XXfttXXf ), 0;,(), 0;,(2112211 XXfttXXft 即即 知知二二维维概概率率密密度度函函数数仅仅与与时时间间间间隔隔 t t2 2- -t t1 1= =有有关关。 4 4、自相关函数自相关函数 212121212121),;()(),(),(dxdxttxxfxxtXtXEttRX = = 212121), 0 ;,(dxdxxxfxx = =)( XR 其中其中= = 12tt 5 5、协方差函数、协方差函数 ),(),(1121 ttCttCXX )()(),(1111 tmtmttRXXX= =2)(XXmR 与与 t t 无关与无关与有关有关 说明相关

8、函数仅与说明相关函数仅与= = 12tt 时间间隔长度有时间间隔长度有关关 二宽（弱）平稳过程二宽（弱）平稳过程 1 1定义定义：设随机过程：设随机过程XX（t t）, t, tTT的一、二阶矩存的一、二阶矩存在， 若有在， 若有)()(常常数数XXmtm 和和)(),( XXRttR 与与 t t无关，则称无关，则称XX（t t）, t, tTT是弱（广义、宽）平稳过程。是弱（广义、宽）平稳过程。 2 2一般一般 强平稳过程强平稳过程 ?弱平稳过程弱平稳过程 强平稳过程强平稳过程?弱平稳过程弱平稳过程 加条件一、二阶矩存在加条件一、二阶矩存在 定理（定理（P46P46）：正态过程是强平稳过程

9、的充要条件是它）：正态过程是强平稳过程的充要条件是它是弱平稳过程。即正态过程的强平稳性和弱平稳性是是弱平稳过程。即正态过程的强平稳性和弱平稳性是等价的。等价的。3 3、 举例举例 例例1 1 P18 P18 例例2 2 书书 P49P49 例例 4 4 例例 3 3 书书 P50P50 例例 5 5 公式公式AEDAEA22 例例 4 4、设随机序列、设随机序列XX（n n）,n=0,n=0，1 1，2 2， 其中其中 X X（n n）是两两不相关的随机娈量，）是两两不相关的随机娈量，EXEX（n n）=0,D(X=0,D(Xn n)=)=2 2 由由)(nX的两两不相关性，可知的两两不相关性

10、，可知 时时，时时00, 0),(2mmmnnCX )(),(cov),(mnXnXmnnC )()(),(mnEXnEXmnnRX = = 0),( mnnRX X X（n n）是是平平稳稳随随机机序序列列，称称为为离离散散白白噪噪声声 故故)()(),(mnXnXEmnnRX 0,0, 0),(2mmmnnCX 如果如果 X X（n n）又服从正态分布）又服从正态分布 N N（0,0,2 2） ，那么称） ，那么称 X X（n n）为正态白噪声。为正态白噪声。 例例 5 5. . 设设 X X（n n）, ,n n= =0 0，1 1，2 2， 是是离离散散白白噪噪声声（平平稳稳）序序列列

11、 作作 NkkknXanY0)()( n=0 n=0，1 1， 其中其中 N N 是自然数，而是自然数，而naaa,21是常数。是常数。 称称 Y Y（n n）是离散白噪声）是离散白噪声 X X（n n）的滑动和）的滑动和， 试问试问 Y Y（n n）是否是平稳序列）是否是平稳序列 )()(),(mnYnYEmnnRY = = )()(00 nkNjjkjmnXaknXaE 0)()(0 nkkknEXanEY = = NkNjjkjmnXknXEaa00)()( = = NNkmkkmkaa002 由由于于 E EY Y（n n）是是常常数数，)(mnRY 与与 n n 无无关关，故故 Y

12、Y（n n）是是平平稳稳序序列列。 2 2. . 相相关关函函数数性性质质 一一自自相相关关函函数数的的基基本本性性质质 X X（t t）, ,t tT T 是是平平稳稳过过程程 )(),(XXRttR 1 1 0)()0(2 XXtXER ，所以所以)0(XR表示平表示平稳过程的“平均功率”稳过程的“平均功率” 2 2 )0()(XXRR 由由柯柯西西许许瓦瓦兹兹不不等等式式)()()(22YEXEXYE 可证可证)()(),()(tXtXEttRRXX )0()0()0()()(22XXXRRRtXEtXE 上述两个不等式说明自相关函数和自协方差函数都上述两个不等式说明自相关函数和自协方差

13、函数都在在=0=0 处取得最大值。处取得最大值。 同理可证知自协方差同理可证知自协方差 )0()(XXCC 3 3)(XR是偶函数，即是偶函数，即 )()(XXRR 证明：证明：)()(),()(tXtXEttRRXX = =)(),()()(XXRttRtXtXE 4 4)(XR是非负定的是非负定的 同同 理理 ，可可 证证 协协 方方 差差 函函 数数 也也 有有 以以 上上 四四 条条 性性 质质 ，只只 是是 第第一一 条条 改改 为为)()0(XDCX 例例 5 5 下图是一个随机过程的一个样本函数，它在下图是一个随机过程的一个样本函数，它在 ntt 0时刻具有宽度为时刻具有宽度为

14、b b 的矩形脉冲波，脉冲幅度的矩形脉冲波，脉冲幅度 A A以等概率取以等概率取a a， tb ，0t是在（是在（0 0， t）上服从）上服从均均匀匀分布的随机变量，而且脉冲幅度分布的随机变量，而且脉冲幅度 A A 与与 t相互独立，写相互独立，写出该过程出该过程 X X （t t） 的表达式并判断） 的表达式并判断 X X （t t） 是否是平稳过程。） 是否是平稳过程。 解解：因因为为脉脉冲冲以以t t为为周周期期且且0t在在（0 0， t）上上均均匀匀分分布布，所所以以只只需需要要写写出出一一个个周周期期的的情情况况即即可可。 0000,0,)(tttbtbtttAtX 因为因为 021

15、21)(0 aattXE 对对任任意意的的 t t，有有 t t，t t+ +， 0 0 当当 t时时，X X（t t）与与 X X( (t t+ +) )的的脉脉冲冲处处于于不不同同的的周周期期，由由独独立立性性知知道道 0)()()()(tXEtXEtXtXE 所以所以0)| )()(0 ttXEtEX 当当t时：时： 且且 X X（t t）与）与 X X（t+t+）的脉冲处于不同的周期）的脉冲处于不同的周期时，仍有时，仍有0)()(tXtXE 当当 X X（t t）与与 X X（t t+ +）的的脉脉冲冲处处于于同同一一个个周周期期时时，由由分分析析知知道道，当当0t t t0t+ +b

16、 b 而而 0t+ +b b t t+ + t+ +0t 时时，仍仍有有 E E X X（t t）X X( (t t+ +) ) = =0 0 仅当仅当0tt+t+b+b+0t时有时有 tbatbtttPatXtXERX202)()()( 结结 合合 0 0 有有0lim XXPnn 3、 依依分分布布收收敛敛设设)(xFn与与 F（x）分分别别表表示示 Xn 与与 X 的的分分布布函函数数，若若对对 F 的的每每个个连连续续点点 x 都都有有)()(limxFxFnn ，则则称称 X Xn n 依依分分布布趋趋于于 X X，记记XXdnn 就是说就是说 XnXn 依概率收敛于依概率收敛于 X

17、 X。记为。记为XXpnn 4 4、均均方方收收敛敛 若若0lim2 XXEnn 以上收敛最简单形式是均方收敛，它仅涉及单独一个以上收敛最简单形式是均方收敛，它仅涉及单独一个数列， 而对数列， 而对sa 或或p p收敛是要每一个都有一个序列，收敛是要每一个都有一个序列，故讨论的是一族序列，现在我们用的是均方收敛。故讨论的是一族序列，现在我们用的是均方收敛。 则称则称 nX 在均方意义下趋于在均方意义下趋于 X X 记为：记为：XXmilnn 或或XXsmnn lim 注意符号意义：注意符号意义： nmil是对随机序列而言，是对随机序列而言，nlim是对数是对数列而言列而言 均方极限的性质：均方

18、极限的性质： 1 1 、 若、 若XXmilnn 则则)()(limXEnXEn 即即)(limnnnnXmilEXE 说明极限与数学期望可以互说明极限与数学期望可以互交换次序。交换次序。 2 2、若若XXmilnn 又又YYmilnn 则则)()(limXYEYXEnknk 特特殊殊地地，若若XXmilnn 则则 )()(lim2XEXXEnknk 3 3、若若数数列列 na，n n= =1 1，2 2， 有有极极限限，0lim nna， 又又 X X 是随机变理，则是随机变理，则0 Xamilnn 证明：证明：2XaEn 0)(22 nnXEa其它性质，自己看其它性质，自己看（二）均方连续

19、性（二）均方连续性（三）均方导数（三）均方导数（四）均方积分（四）均方积分 1 1定义：定义：P34P34，设，设X(t)X(t)，t taa，bb是随机过程且是随机过程且f(t)f(t)，t taa，bb是函数是函数 将将aa，bb分成分成 n n 个子区间，个子区间， 分点为分点为 btttan 10 作作和和式式 nkkkkkttuXuf11)()(，),1kkkttu ，k k= =1 1，2 2，n n 取极限（均方极限）取极限（均方极限） nkkkkknttuXufmil110)()(（其中（其中)(max11 kknktt） 存在， 且与子区间的分法和） 存在， 且与子区间的分法

20、和 ku的的取法无关，取法无关， 则称此极限为则称此极限为 f(t)f(t)对对 X X（t t）在）在aa，bb的均方积分。的均方积分。记为记为 badttXtf)()(此时称此时称 f(t)X(t)f(t)X(t)在区间在区间a,ba,b上是上是均方可积的。均方可积的。 说说明明：为为方方便便令令 f f（t t）= =1 1，即即 baYdttX)(),( （1 1）X X（t t，） ，是是定定义义在在 a at tb b 的的随随机机过过程程。 对对给给定定的的0 ，X X（0 ，t t）是是一一普普通通的的时时间间 t t 函函数数。 积积分分 baYdttX)(),(00 其其实

21、实际际意意义义完完全全可可以以确确定定一一般般定定积积分分。 0 任意性，任意性，)(0 Y不同， 故此积分是在上随机变量。不同， 故此积分是在上随机变量。 （2 2）又）又0 不同，上式积分并不是对每个不同，上式积分并不是对每个0 都存在。都存在。 上上式式积积分分可可理理解解为为 Y Y 定定义义为为和和式式的的均均方方极极限限。 0)(lim210 niiitttXYE，即即：YttXmilniiin 1)( badttX)(理理解解为为“均均方方意意义义”下下的的积积分分， Y Y是随机娈量，是随机娈量，故可求均值。故可求均值。 推广至一般：推广至一般：YdttXtfba )()(是是

22、 r.v.r.v.故可求均值故可求均值 性性质质：1 babadttEXdttXEYE)()()(一一般般可可交交换换 2 babaxbadttmtfdttEXtfdttXtfE)()()()()()( 3 若若 X X 是随机变量，则是随机变量，则 babadttfXXdttf)()( 4 若若、是是常常数数，则则 bababadttYdttXdttYtX)()()()( 5 babaXbadsdttsRtfsfdttXtfE),()()()()(2 bbaadttXtfdttXtfmil)()()()(存存在在， 类似可定义类似可定义 dttXtf)()( 推广：若推广：若 baabdtt

23、XtfdttXtfmil)()()()(存存在在 3. 3. 各态历各态历经经性性 一、概念一、概念 1 1引言：平稳过程重要的二个数字特征：期望和相关引言：平稳过程重要的二个数字特征：期望和相关函数怎样通过实验测试来近似地确定呢？函数怎样通过实验测试来近似地确定呢？ 一种想法：进行一种想法：进行 n n 次实验，观察得到次实验，观察得到 n n 条样本曲线条样本曲线)(1tx，)(txn用点估计方法，用点估计方法， 对固定对固定1t niiXtxntEXm111)(1)( nkkkXtxtxntXtXER11111)()(1)()()( 各态历经性定理就是研究平稳过程只要满足一些较各态历经性

24、定理就是研究平稳过程只要满足一些较宽的条件实用上可用一个样本（曲线）函数在整个宽的条件实用上可用一个样本（曲线）函数在整个时间轴上的平均去估计时间轴上的平均去估计)(tEX、)( XR等， 这可大大减等， 这可大大减少工作量。少工作量。 2 2什么是平稳过程的各态历经性？什么是平稳过程的各态历经性？ 设设, 0),( ttX是平稳过程是平稳过程。 （1 1）)(tXEmX 是是)(tX的均值，在数据处理上的均值，在数据处理上叫集合平均值或空间平均值。它是平稳过程所有可叫集合平均值或空间平均值。它是平稳过程所有可能出现的样本函数集的平均值。能出现的样本函数集的平均值。（2 2）)(tX中中一一条

25、条样样本本曲曲线线)(tx，称称 TdttxT0)(1为为)(tx在在区区间间 0 0， T T 上上的的对对时时间间 t t 的的平平均均值值称称为为时时间间平平均均值值， 记记为为Tm。 （3 3）平稳过程）平稳过程),(),( ttX 如果均方极限如果均方极限 TTTtXdttXTmil)()(21存存在在记记称为称为)(tX在在),( 上的时间平均或时间均值。上的时间平均或时间均值。 对固定的，若均方极限对固定的，若均方极限 TTTtXtXdttXtXTmil)()()()(21 存存在在记记 称之为过程在称之为过程在),( 上的时间相关函数。上的时间相关函数。 注意注意： )(tX，

26、 )()( tXtX仍是随机变量仍是随机变量 图图 a a 平平稳稳过过程程)(tX的的每每一一样样本本曲曲线线绕绕同同一一Xm上上下下波波动动，且且这这些些波波动动的的平平均均振振幅幅是是相相等等的的。 图图 b b 虽然每一条样本曲线绕同一虽然每一条样本曲线绕同一Xm上下波动，但每上下波动，但每条曲线都有条曲线都有它自己的平均值，且不相等。它自己的平均值，且不相等。 用用数数学学语语言言来来说说，关关于于（充充分分长长的的）时时间间的的平平均均近近似似地地等等于于观观察察总总体体的的集集合合平平均均。 定义定义：平稳过程：平稳过程),(TttX ，若，若XsamtX )(， 则称平稳过程则

27、称平稳过程)(tX具有数学期望的各态历经性。具有数学期望的各态历经性。 若若)()()( XsaRtXtX ，则，则称平稳过程称平稳过程)(tX具有具有相关函数的各态历相关函数的各态历经经性性。 数学期望的各态历经性和相关系数的各态历数学期望的各态历经性和相关系数的各态历经性统称为平稳过程的各态历经性经性统称为平稳过程的各态历经性所所以以图图 a a 那那类类的的平平稳稳过过程程是是有有各各态态历历经经性性，可可以以理理解解为为随随机机过过程程的的各各个个样样本本曲曲线线都都同同样样经经历历了了随随机机过过程程的的各各 种种可可能能状状态态。因因此此，从从它它任任何何一一个个样样本本函函数数就

28、就可可以以得得到到它它的的全全部部统统计计特特征征。 P57 P57 例例1 1，例，例2 2 二、各态历经性定理。二、各态历经性定理。 定理一定理一（数学期望各态历经性定理）（数学期望各态历经性定理） 设设),( ttX是平稳过程，则是平稳过程，则XsamtX )(的充分的充分必要条件是必要条件是 TXXTdmRTT2020)()21(1lim 分析分析：利用利用0)( XDCXvrsa 从讨论从讨论0)( tXD是否成立入手是否成立入手 又又 )()()(22tXEtXEtXD 故先求故先求?)( tXE，再求再求?)(2 tXE )(21)( TTTdttXTmiLEtXE证明：证明：)

29、(21lim TTTdttXET TTXTmdttEXT)(21lim)(21)(22 TTTdttXTmilEtXE2)(21lim TTTdttXTE)()(41lim22112 TTTTTdttXdttXET TTTTTdtdttXtXET)()(41lim21212 TTTTTdtdttXtEXT21212)()(41lim TTTTXTdtdtttRT21122)(41lim作积分变换：令作积分变换：令121tt ，122tt ，2111111 T TTTTXTdtdtttRT21122)(41lim= = HXTddRT212221)(41lim DXTddRT212221)(44

30、1lim 220112022)(21lim TXTTdRdT= = 222022)2( )(21lim dTRTTXT = = dRTTTXT 202)()2(21lim dRTTTXT 20)()21(1lim又又 TdTT201)21(1 22)()(XmtXEtXD = = TXXTmdRTT202)()21(1lim = = dmRTTTXXT 202)()(21(1lim 下面证明定理，注意下面证明定理，注意 XmtXE是常数是常数 )( 若若 0)()()( tXDtXEtXsa 即是定理结论即是定理结论推论推论：若平稳过程：若平稳过程)(tX满足条件满足条件2)(limXXmR

31、即即0)(limXC 则则 XsamtX)( 例例 书书P62P62例例3 3 定理：定理： 书书P62 P62 四、各态历经定理的应用四、各态历经定理的应用 可以证明：若可以证明：若XXmilnn 是均方收敛，有定理均方收是均方收敛，有定理均方收敛一定依概率收敛，即有敛一定依概率收敛，即有nX依概率收敛到依概率收敛到X X。 即对任即对任00，有，有1lim XXPnn 各态历经定理的重要性是从理论上给了如下保证：各态历经定理的重要性是从理论上给了如下保证： 一个平稳过程一个平稳过程)(tX只要它满足了定理的条件， 可以以只要它满足了定理的条件， 可以以“依概率成立”的一些结论。“依概率成立

32、”的一些结论。 历经性的含义是从一次试验所得到的样本函数历经性的含义是从一次试验所得到的样本函数)(tx来确定出来确定出)(tX的均值和自相关函数， 实际情况如何估的均值和自相关函数， 实际情况如何估计呢？计呢？ 当一个具有各态历当一个具有各态历经经性的平稳过程它的任一样本函性的平稳过程它的任一样本函数经历了足够长的时间，即认为它经历了各种可能数经历了足够长的时间，即认为它经历了各种可能的状态，所以可以从中任取一个样本函数来观察分的状态，所以可以从中任取一个样本函数来观察分析平稳过程的概率特性。析平稳过程的概率特性。 为了获得数据， 必须对所取的样本函数进行采样。 所为了获得数据， 必须对所取

33、的样本函数进行采样。 所谓谓采采样就是每隔单位时间对所取的样本函数样就是每隔单位时间对所取的样本函数)(tx进进行一次读数（测量）行一次读数（测量） 可将可将00，TT区间按等分方式进行，区间按等分方式进行，NTt 称为采样间称为采样间隔隔分点分点 Tttttn 2100，其中，其中)(1 kkkttkNTktkt，k k=1=1，2 2，N N 称称)()(NTkxtxk 为为)(tx在采样点在采样点NTktk （1 1k kN N）是点上函数值叫采样值。是点上函数值叫采样值。 若若), 0(),( ttX是均方连续是均方连续的平稳过程，它满足定理的平稳过程，它满足定理条件，它的一个样本曲线

34、为条件，它的一个样本曲线为)(tx，在，在00，TT区间内获区间内获得了采样值得了采样值)()(ktxNTkx ，k k=0=0，1 1，2 2，N N 由均值各态经历性有：由均值各态经历性有：XTTmdttxTmil 0)(1 即对任即对任00 有有1|)(1|lim0 XTTmdttxT 当当 T T 很大很大 TXdttxTm0)(1 )()()(1)(1)1(200 TNTNNTNTNTTdttxdttxdttxTdttxT )()()(121NtxNTtxNTtxNTT = = NkktxNTT1)(1= = NkNkTxN1 )(1 当当 T T 和和 N N 都很大且都很大且NT

35、很小很小，)(11NkTxNmNkX 2 2相关函数相关函数)( XR的估计值的估计值 令令NT ，其中，其中固定，固定，= =0 0，1 1，2 2，m m（可可以取任意小于以取任意小于 N N 的正整数）的正整数）近似值要求近似值要求 T T 很大很大，N N也很大也很大，且且NT很小很小，通常取通常取25NN 由由 TTXdttXtXTmilR0)()(1)( a.sa.s 知知 1| )()()(1|lim0 TXTRdttXtXTP T T 很大很大 TXdttXtXTR0)()(1)( NTTNTTNTNTNTdtxtxdtxtxdtxtxT )1(20)()()()()()(1

36、)()1()()(1NTNTNxNTNxNTNTxNTxNTT N N1 1k k) )N NT TN Nk kT T( () )N Nk kT T( (N N1 1xx N N1 1k k) )N NT T) )( ( (k k) )N Nk kT T( (N N1 1xx采样定理：西北工大出版采样定理：西北工大出版P266P266一般计算时间相关函数近似值，可用计算机进行计一般计算时间相关函数近似值，可用计算机进行计算， 在实际处理同时也用仪器算， 在实际处理同时也用仪器相关分析仪获得时相关分析仪获得时间相关函数。间相关函数。 习题：习题：P103 P103 1 1、2 2、4 4、6 6

37、、7 7、9 9、1010、1313、1515 复变函数复习复变函数复习 一、基本概念一、基本概念 1 1奇点：使奇点：使f(z)f(z)不解析的点叫奇点不解析的点叫奇点。 孤立奇点：孤立奇点：)(zf在在0z不解析，但在不解析，但在 0z的某一邻域的某一邻域 |00zz内处处解析。内处处解析。 2 2极点：极点： （1 1） 定义： 如果） 定义： 如果)(zf罗纶级数中只有有限个罗纶级数中只有有限个0zz 的的负幂项，且其中负幂最高项负幂项，且其中负幂最高项mzz )(0则则0z是是)(zf的的 m m级极点级极点。 如：如： 200102030)(3)()(3)(2)()(zzzzzzz

38、zzzzf （2 2）如果）如果 )(lim0zfzz，则，则 0z是是)(zf的极点。这时的极点。这时)()(1)(0zgzzzfm 形形如如 其其中中g g( (z z) )在在0z处处解解析析，且且0)(0 zg，m m为为正正整整数数。如如果果)(zf满满足足上上式式或或满满足足 )(lim)()(lim000zgzfzzzzmzz（ 为为非非零零常常数数） 。则则称称0z是是)(zf的的m m阶阶极极点点 3零点、极点与零点的关系零点、极点与零点的关系（1 1） 零点： 如果） 零点： 如果)(z 在在0z处有处有)(z =0=0， 则称， 则称0z为为)(z 的的零点，此时零点，此

39、时)()()(0zhzzzm ，其中，其中0)(0 zh，m m 为正整为正整数，称数，称0z是是)(z 的的 m m 阶零点。阶零点。 （2 2）设）设)(z 在在0z解析，如果解析，如果0 0z z是是( (z z) )的的 m m 阶零点，阶零点，那么那么0 0z z必是必是(z)(z)1 1f(z)f(z) 的的 m m 级极点，反之成立。级极点，反之成立。 （ 3 3 ） 设） 设( (z z) )在在0 0z z解 析 ， 且 在解 析 ， 且 在0 0z z满 足满 足0 0) )( (z z) )( (z z) )( (z z0 01 1) )( (m m0 0 0 0 ， 且

40、， 且0 0) )( (z z0 0m m ， 则， 则0 0z z是是( (z z) )的的 m m 阶极点。阶极点。 如如：xxxfsin)(2 0)0( f，0)0( f，0)0( f，0)0( f x x=0=0，是，是)(xf的三级零点的三级零点 通过零点可以判别极点通过零点可以判别极点（4）极点与零点互为倒数关系极点与零点互为倒数关系 如：上例如：上例x=0 x=0是是xx sin12的三级极点，的三级极点， 如：如：32)1)(1(3)( zzzzf， z z=1=1是三级极点，是三级极点， iz 是一级极点是一级极点 二二、留留数数 1 1定定义义：设设0z是是)(zf的的孤孤

41、立立奇奇点点，c c 是是)(zf在在0z的的解解析析邻邻域域Rzz |00内内包包围围0z的的简简单单闭闭曲曲线线，积积分分 cdzzfi)(21 是是与与路路径径 c c 无无关关的的定定值值， 称称为为)(zf在在0z的的留留数数或或残残数数（R Re es si id du ue e）记记为为),(Re0zzfs或或)(Re0zfszz ， 即即 cdtzfizzfs)(21),(Re0 ，其中，其中 c c 是正向闭曲线。是正向闭曲线。 2 2留数计算公式留数计算公式 （ 1 1 ） 设） 设0z是是)(zf的 一 级 极 点 ， 则的 一 级 极 点 ， 则)()(lim),(Re

42、000zfzzzzfszz （2 2）Q Q( (z z) )P P( (z z) )f f( (z z) ) ，0 0z z是是 Q(z)Q(z)的一阶零点，的一阶零点， 而而0)(0 zP，则，则)()(),(Re000zQzPzzfs （3 3）设）设0z是是) (zf的的 m m 级极点，则级极点，则 )()(lim)!1(1),(Re01100zfzzdzdmzzfsmmmzz 例例1 1、2) 1()( zzezfz， z z= =0 0是是 一一 级级 极极 点点 ， z z= =1 1是是 二二 级级 极极 点点 ccdzzzzgidzzfizfs0)(21)(210),(Re

43、 公式公式法一定义法一定义)(2210zigi czczdzzeziidzzzeii22)1(1221)1(221 本例本例1)10(22120 eii 1)1(lim)1(lim2020 zezzezzzzz法二法二1|)1(102 zzzez法三法三)1()1()!12(1lim 1),(Re221 zzezdzdzfszz)(lim1zedzdzz 0lim21 zezezzz例例 2 2 zzzezfzcossin1)( ，z=0z=0 是是)(zf的一级极点，的一级极点，)(zf是分式形式是分式形式 1|)sincos21|)cos(sin10),(Re00 zzzzzzzezzze

44、zfs3 3 留数定理留数定理： 设： 设)(zf在简单闭曲线在简单闭曲线 c c 的每一点都解析，的每一点都解析，而在而在 c c 内除有限个孤立奇点内除有限个孤立奇点0z，1z，nz外也处外也处处解析，处解析， 则则 nkkczzfsidzzf1),(Re2)( 其中其中 c c 是正向闭曲线。是正向闭曲线。 例例 3 3 c c2 2z zd dz z1 1z zz ze e，c c 是是正正向向圆圆周周，c c 内内有有1 1 二二个个一一级级极极点点。 )1),(Re)1),(Re2 zfszfsi 上上式式1)1(lim1)1(lim22121 zzezzzezizzzz 1222

45、21chieei 三、留数在定积分计算上的应用三、留数在定积分计算上的应用 1 1形如形如 dxxR)( 满足：满足：若若 R(R(x x) )是是x x的有的有理函数，而分母理函数，而分母x x的次数的次数 m m 至少比分子至少比分子x x的次数的次数 n n 高二次高二次 R(R(z z) )在实轴上没有奇点在实轴上没有奇点 则此积分存在且为则此积分存在且为 nkkzzRsi1),(Re2 ，其中，其中 kz是是)(zf在上半平面的极点（或仅取下半平面）在上半平面的极点（或仅取下半平面） 2 2形形如如： dxexRaix)(（注注意意条条件件 a a 0 0） 满满足足：若若 R R(

46、 (x x) )是是x x的的有有理理函函数数，m mn n1 1 R R( (z z) )在在实实轴轴上上没没有有奇奇点点 则此积分存在且为则此积分存在且为 nkkiazzezRsi1,)(Re2 ，其中，其中kz是上是上半平面的半平面的)(zR的极点（或下半平面）的极点（或下半平面） 特别特别：)(Recos)(dxexRaxdxxRiax ，a0a0 )(Imsin)(dxexRaxdxxRiax ，a0a0 例例 1 1 dxbxaxxI)(22222， （， （a0a0，b0b0） m=4 m=4，n=2 mn=2 mn n2 2，)(ZR的极点的极点aiai，bibi不在实轴上，不

47、在实轴上， 取上半平面极点，取上半平面极点，a ai iz z1 1 ，b bi iz z2 2 ，均是一，均是一级级极点。极点。 I = I = ),(Re),(Re2bizRsaizRsi )()(lim)()(lim22222222222bzazzbizbzazzaizibizaiz )(2)(22222222bababibabaiai 例例： dxaxxI22cos (a0)(a0) 满足条件：满足条件： )(xR m=2n=0 m=2n=0 )(zR极点极点 z=z=aiai不在实轴上不在实轴上 取上半平面极点取上半平面极点 z=z=aiai 先求先求 a ai i , ,) )e

48、e2 2i iR Re es s R R( (z zd dx xa ax xe ei iz z2 22 2i ix x aeazeaiziaizaiz )(lim222 aedxaxeIaix Re22 （a0a0） 傅氏变换复习傅氏变换复习 一、定义：设时间函数一、定义：设时间函数 x(t)x(t)， （， （- -t+t+）满足狄）满足狄氏氏条件（连续或只有有限个第一类间断点，有有限个极条件（连续或只有有限个第一类间断点，有有限个极值点）且绝对可积值点）且绝对可积，即，即dttx | )(|+00 ） ， 求） ， 求dtetxFti )()( 解：解：)( F= =dteetit | d

49、teedteetittit 00 dtedtetiti 0)(0)( 0)(0)(|1|1titieiei ii 11222 例例 2 2、已知、已知22) 1(1)( XF且原象（函数）且原象（函数）)(tx是偶是偶函数，求函数，求)(tx（原函数）（原函数）= = deFtiX)(21 当当 t0t0 时，时，)(tx= = deti 22)1(121= =,)1(1Re2222iezsiizt ( (iz 时二级极点，取上半平面极点时二级极点，取上半平面极点 iz ） 上式上式= =222)()()(lim22izizeizdzdiiztiz = =)(1)(2(lim23iztizti

50、ziteizeizi = =)482(tteiteii = =)(41tttee = =)1(41tet )(tx是偶函数是偶函数 )(tx= =|)|1(41|tet ，t 二二、傅傅氏氏变变换换的的性性质质 1 1线线性性性性质质 )()()()(22112211tfFctfFctfctfcF 逆变换线性性质逆变换线性性质 )()()()(21211122111tfFctfFctfctfcF 2 2平移性质平移性质 )()(00tfFettfFti 3 3卷积性质卷积性质 )()()()()(*)(tgFtfFduutgufFtgtfF )(*)()()(1tgtftgFtfFF 查表用性

51、质查表用性质P78P78 例例 2 2已知已知9104)(242 ，求求)(1 F )( = =9122 BA= =98518322 91851183)(21211 . 2781 FFFP表表9326851122832121 FF= =| 3|485163ttee = =)59(481| 3|ttee 拉氏变换复习拉氏变换复习 一、由傅氏变换到拉氏变换概念一、由傅氏变换到拉氏变换概念 傅氏变换条件： 傅氏变换条件： )(tf满足狄氏条件， 在满足狄氏条件， 在),( 上上有意义，绝对可积，有意义，绝对可积， 其中绝对可积的条件是要求是比较强的，许多函数其中绝对可积的条件是要求是比较强的，许多函

52、数如：正弦、余弦等也不满足。如：正弦、余弦等也不满足。另外在应用中， 有的函数在另外在应用中， 有的函数在t0t00）使此函数）使此函数的傅氏变换存在。的傅氏变换存在。 对对)0()()( tetut进行傅氏变换，就成了拉氏变换。进行傅氏变换，就成了拉氏变换。 dteetuttit )()(= = 0)()(dtetfti = = 0)(dtetfpt 二二、计计算算 1 1用用定定义义 例例 1 1：求求单单位位阶阶跃跃函函数数 0, 00, 1)(tttu的的拉拉氏氏变变换换 )(tuL = =dtept 0= = 0|1ptep= =p1（R Re eP P 0 0） 当当 R Re e

53、P P 0 0 时时收收敛敛 tpte 例例 2 2 求求ktetf )(的拉氏变换（的拉氏变换（k k 为实数）为实数） )(tfL = =dteeptkt 0= =dtetkp 0)(= =kp 1 （Re(PRe(P- -k)0k)0 或或 Re(P)k Re(P)k ） 2.2.查表法，利用性质查表法，利用性质 三、拉氏变换性质。三、拉氏变换性质。1 线性性质线性性质2 2、 延迟性质延迟性质 若若)(Lf(t)pF ，又，又 t0t0Re(p)0） ptuL1)( 3 3、位移性质、位移性质 若若)()(pFtfL ， 则有则有)()(apFtfeLat （Re(PRe(P- -a)

54、0a)0） 例如：求例如：求matteL 1)1( mmpmtL 1)()1( mmatapmteL (Re(P (Re(P- -a)0)a)0) 4 4、 微微分性质分性质 设设)()(pFtfL 则有则有 )0()()(fppFtfL ( (0 0) )f fp pf f( (0 0) )F F( (p p) )p p( (t t) ) L L f f 2 2 ( (0 0) )f f( (0 0) )f fp pf f( (0 0) )p pF F( (p p) )p p( (t t) ) L L f f1 1) )( (n n 2 2) )( (n n1 1) )( (n n( (n

55、n) )( (n n) ) 特别当初始条件为特别当初始条件为0)0()0()0()0()1( nffff 有有 )()(ppFtfL )()(2 pFptfL )()()(pFptfLnn 用用处处之之一一：可可将将)(tf的的微微分分方方程程化化为为象象函函数数F F( (p p) )的的代代数数方方程程。 例例：求解方程求解方程 0)0()0()0(133yyyyyyy 1 1、取拉氏变换，把微分方程化为象函数的代数方程、取拉氏变换，把微分方程化为象函数的代数方程 设设)()(pYtyL ，则，则)0()()(yppYtyL 原方程变为原方程变为 ppYppYpYppYp1)()(3)(3

56、)(23 即即ppYppp1)()133(23 2 2、解关于解关于)(pY的代数方程，求得的代数方程，求得3)1(1)( pppY 3 3、取取)(pY的变换，得到原方程的解的变换，得到原方程的解)()(1pYLty 四、拉氏变换四、拉氏变换 )()(21)()(0pFdpepFidtetftfiiptpt 求法求法1 1、用定义、用定义 2 2、部分分式法用性质用公式、部分分式法用性质用公式例例 1 1 )3)(2)(1(1)( pPppF 求求)(1pFL 31012151161)( ppppF（1)1(1 pL延迟性质延迟性质 ） 1111 tepL ttteeepFL32110115

57、161)( 例例 2 2 已知已知22222)()(apappF ，求，求)(1pFL 表表 )cos(sin21)(22221tattaappL )cos(sin21)(22221tattaapaL )()()(2222122221222221apaLappLapapL cost 3.3.用留数定理用留数定理 定理：若定理：若 p p1 1,p,p2 2, ,p,pn n是是)(pF的所有奇点，适当选的所有奇点，适当选取取 使这些奇点全在使这些奇点全在 Re(p)Re(p)0t0 条件条件 例例 3 3求求1)(2 pppF的逆变换的逆变换 分分母母12 p有有二二个个单单零零点点，ip 1

58、, ,ip 2即即是是)(pF的的两两个个单单极极点点 tpkkptppkkepBpAepBpAs)()()()(Re 1)(21 ppLtf= =iptppep |)1(2+ +ipptppe |)1(2 = =)(21ititee = =tcos ( (t t 0 0) ) )0(cos121 ttppL（可作为一个公式）（可作为一个公式） 4 4用用卷卷积积定定理理 )()()(*)(2121pFpFtftfL 为为)(*)()()(21211tftfpFpFL 例例：222)1()( pppF，求求)()(1tfpFL 注意注意：例例 3 3 知知tppLcos)1(21 11)(22

59、 pppppF tttfcos*cos)( = = tdt0)cos(cos = = tdtt0)2cos(cos21 = =)sincos(21ttt 4. 4. 平稳过程的（功率）谱密度平稳过程的（功率）谱密度 一、预备知识一、预备知识 1 1 傅立叶变换的定义傅立叶变换的定义 设时间函数设时间函数)(tx, ,)( t满足狄氏条件（连续或满足狄氏条件（连续或只有有限个第一类间断点，有限个极值点）绝对可只有有限个第一类间断点，有限个极值点）绝对可积，即积，即 dttx| )(|，则，则 )(tx t象原函数象原函数 dtetxFtiX )()()( XF 象函数象函数 deFtxiX)(2

60、1)(一般一般)(xF是复函数，如果是复函数，如果)(tX是实函数，则有是实函数，则有)()()(xtiXFdtetxF 2 2、巴巴赛伐公式赛伐公式 称等式称等式dFdttxX22| )(|21)(为巴赛伐等式为巴赛伐等式 证明：证明： )(2tx= = 交换积分次序交换积分次序dtdeFtxtiX)(21)( ddtetxFtiX)()(21 dFFXX)()(21 dFX 2| )(|21称左式称左式 dttx)(2是函数是函数)(tx在在),( 是的总能量，是的总能量， 右边积分中被积函数右边积分中被积函数2| )(| XF相应地称为谱密度，相应地称为谱密度， 该公式可以称理解为总能量