第2章-1 地震作用-单自由度

1、第2章 地震作用内容提要1.单自由度系统方程及其理论求解1.动力特性与阻尼比问题2.自由振动与强迫振动3.共振问题2.利用设计反应谱求最大地震反应地震作用与抗震验算n抗震计算n地震作用计算S 方法：反应谱理论n结构抗震验算SR 小震：线弹性方法验算承载力和变形 大震：用大震参数、验算弹塑性变形地震作用n地震作用是由地震引起的惯性力，属于间接作用。以前还称为地震力。地震是动力作用。n它是一种地震对结构影响的等效力(惯性力惯性力)，并不是直接作用于结构上的荷载。n设计中通过一系列简化，把地震作用简化为一个等效的静力荷载，称为等效地震荷载。n影响地震作用效应的因素：n地震动三要素：地震烈度、持续时间

2、和频率特性n建筑物的动力特性n场地土的特性（场地类别）n同一地点同样的地震烈度时，各种结构所受的地震作用一般是不同的。(结构的动力特性不同)所以本章考虑如何简化这些影响因素，得到地震荷载结构的动力特性n结构的基本动力特性n结构的质量mn结构的阻尼c:n结构的刚度k:n结构的动力特性决定了结构自由振动的周期(频率)固有周期。n固有周期和场地的特征周期决定了结构所受地震力的大小。结构动力计算的计算简图ii+1m1m2mimn多层、高层结构的动力计算简图把结构转化成一个多自由度体系n楼板上下各取层高的一半，这个范围内的全部质量集中到该层对应的质点上。n该层以下的全部抗侧力构件的刚度累加作为多质点体系

3、的刚度。ik2.1.1 单自由度弹性体系的地震反应单自由度弹性体系的地震反应 n单自由度体系（SDF-Single Degree of Freedom）在结构振动中占有极其重要的地位：1.很多结构可以直接简化为单自由度体积来计算。例如：单层厂房、高架桥、水塔等2.单自由度体系的处理方法和基本概念是结构动力计算的基础。3.高层建筑、高耸结构等可以简化为多个自由度体系。而多自由度体系的振动经过振型分解法以后，可以作为分别的单自由度体系来处理。 2.2.1 单自由度体系的单自由度体系的运动方程运动方程n在结构动力学中以上面的点表示导数n圆频率与阻尼无关n园频率与振动频率f 的关系为：)82(2)42

4、()(2gxxxxtPkxxcxm )92(122Tfgx 单自由度体系振动求解结果汇总单自由度体系自由振动（1）无阻尼时02xx mk2)sincos()(00txtxtxmcmk2,2022xxx )sincos()(000txxtxetxt1时（2）有阻尼时dtextxttg)(sin)()()(0 1（3）有阻尼强迫振动时gxxxx 22自由振动解加上：gxxxx 22021无阻尼自由振动：系统只在恢复力作用下维持的振动。其振动的振幅不随时间而改变，振动过程将无限地进行下去。有阻尼自由振动：系统在振动过程中，除受恢复力外，还存在阻尼力，这种阻尼力的存在不断消耗振动的能量，使振幅不断减小

5、。强迫振动：在外激振力作用下的振动称为强迫振动。（工程中的自由振动，都会由于阻尼的存在而逐渐衰减，最后完全停止。但实际上又存在有大量的持续振动，这是由于外界有能量输入以补充阻尼的消耗，一般都承受外加的激振力。）有阻尼受迫振动由两部分组成。第一部分是衰减的自由振动；第二部分是受迫振动。阻尼 P.16 1、阻尼是结构的重要动力特性之一。2、阻尼力是使得结构振动不断衰减的力。这个力与质点的运动速度成正比，但是与速度的方向相反。也就是说，速度越大阻尼越大，如果质点静止，则阻尼也就为零。所以阻尼力是与质点的运动有关的力。而刚度提供的则是与质点位移有关的力(弹性恢复力)。3、阻尼力表达为：其中负号表示与质

6、点的运动方向相反。c称为阻尼系数。4、阻尼的大小在实用中用阻尼比来表示。阻尼比是一个小于1的无量纲数。阻尼比的测定是比较困难的，在实际工程中通常取为0.05确定阻尼比的实验原理参考教材P.5、阻尼比与阻尼系数之间的关系为： xcD)72(2bmc阻尼对单自由度体系振动的影响1.振幅衰减阻尼越大振幅衰减越快2.减小自振频率增大自振周期3.减小最大加速度反应固有周期和固有频率 n这说明在时间T 以后，系统的位移又回到的原来的位置。T 称为自由振动的周期或固有周期固有周期。它的倒数称为固有频率固有频率。f=1/T。n固有频率仅仅与系统本身的特性有关，而与外部激励无关。这也就是“固有”的含义。也就是说

7、，无论初始的外部激励是什么样子的，系统在自由振动的情况下，就是按其固有频率振动的。n考虑自由振动问题时，我们最关心的是系统的固有周期，而振幅是与初始条件有关的量，是非本质的。给时间t一个增量 kmT22)cos()2cos()2(cos()(000trtrtrtx地面运动与建筑物的反应n深圳地王大厦在地震Kobel下的加速度响应和反应功率谱n加速度的衰减是由阻尼决定的，帝王大厦的阻尼比较小，所以衰减比较慢。n地震响应频率主要在0.52Hz左右，远离其基本频率0.17。 自由振动齐次解 n振动方程的解表现为：齐次解特解。其中齐次解的物理意义是质点的自由振动。其方程为： )112(022xxx t

8、BtAtBtAetxtsincos)sincos()(0方程的解为(2-12)： 021可见:如果阻尼比1则振动的频率为0。此时系统不振动。阻尼使得系统的频率变小。 齐次解的另外一种写法 n式中cos的系数称为振动的振幅。振动幅度的大小(振幅)是随时间变化的。如果阻尼比为零时，振幅不变。阻尼比越大振幅衰减得的越快。 n所谓自由振动可以假设为系统在初始时刻有一个初始位移、初始速度或初始的加速度。此后不再受任何其它外部作用，这时方程就是右端项为零的齐次方程。 )cos()cos()(000trtretxt021强迫振动特解 n非齐次微分方程的解是齐次解加上一个特解，此处的特解就是Duhamel 积

9、分n杜哈美积分的物理意义是：初始处于静止状态的单自由度系统，在受地震作用的全部时间内，任意时刻t的位移。n在无阻尼时，该积分简化为比较简单的形式 dtxtxtg)(sin)(1)(0 )172()(sin)(1)()(0dtextxttg Duhamel 积分和时程分析法-逐步积分法n杜哈美积分的特点：以一个含参变量的积分表达的，其中的参变量是时间t。n杜哈美积分的物理意义是：初始处于静止状态的单自由度系统，在受地震作用的全部时间内，任意时刻t的位移。n地震激励的特别困难：在地震问题中，上式中的积分是无法计算的。原因是其中的地面加速度在任何一个时刻都是一个随机量，它本身又是时间的函数所以是随机

10、过程。n时程分析法：用数值积分的方法获得这个积分的近似解n线性加速度法、威尔逊法dtextxttg)(sin)(1)()(0 共振问题 设系统无阻尼，初始时刻为静止，地面加速度为 n当 ，x(t)的振幅为无穷大，这时就是所谓共振 n在两者比较接近时，由于分母中两者之比的平方也十分接近于1，所以振幅也就十分大。此时结构的破坏已经是不可避免的了。n以上结论对于有阻尼的情况也是成立的，所不同的是，在有阻尼的情况下，振幅不会达到无穷大。实际上，可以求出： )sin(tXxgg )sin()1 ()(22tkXtxg利用利用Duhamel 积分得到：可见质点的振幅取决于阻尼比，阻尼比越小，振幅就越大。如

11、果阻尼比为零，则振幅为无穷大。 )sin(2)sin(41)(222222tkXtkXtxgg1.设计的特殊性：不需求任意时刻的位移解(需进行Duhamel积分）。重要的是最大最大地震反应。2.两类方法：1.直接积分获得时程曲线然后再用FFT获得反应谱。2.利用设计反应谱(一条考虑多种因素的简化曲线)。3.目的：把动力问题转化为等效的静力问题。这个等效的静荷载是考虑了地震的动力作用效应后获得的。 eKeqGF2.1.2 地震反应谱单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱 )432()()()()(2maxmaxmaxdvavdgaSSStxStxStxtxmS最大速度反应最大位移反应最大加速度

12、反应 *高频结构主要取决于地面的最大加速度Sa*中频结构主要取决于地面的最大速度Sv*低频结构主要取决于地面的最大位移Sd *三种反应之间存在一定关系，可以从一个求另两个三种最大地震反应反应谱与设计反应谱n时程曲线：变量与时间的关系n谱曲线：变量最大值与频率(周期)的关系n注意区别：地震动的谱曲线和结构地震反应的谱曲线n地震反应谱Sa(T) ：某个SDF体系的最大地震反应与体系自振周期T的关系(与结构特性以及具体具体地震动有关)。P.23n(抗震)设计反应谱：统计得到的、近似的、用于抗震设计的最大地震影响系数(类似加速度)和周期的关系曲线(1/5)0.9=0.235场地土对加速度反应的影响n软

13、土的加速度反应未必最大，但是峰值区域宽阻尼比对最大地震反应的影响n阻尼不仅使振幅虽时间衰减，还使得 max减小。n设计反应谱中， max不仅与烈度有关，还考虑了阻尼比的影响阻尼增大 max减小。最大地震作用计算反应谱法回顾n等效地震荷载是一个静力。作用在质点上。n此地震力放到原静力的计算简图上就可以计算结构中的构件的地震作用效应eKeqGFamF 设计反应谱(P.63)n设计反应谱是地震影响系数的谱曲线。n地震影响系数定义为结构的最大加速度与重力加速度的比（无量纲的”加速度”）：gTSka/ )(n地震反应谱Sa(T)：单自由度体系的地震最大绝对加速度反应a与其自振周期的比值。n设计反应谱：最

14、大地震加速度反应与基本周期的关系用于设计目的。n规范：除有专门规定外钢筋混凝土结构的阻尼比取0.05。此时：)0 . 65()5(02. 002. 0)5()1 . 0() 1 . 00(5 . 545. 09 . 0max9 . 0maxmaxmaxsTTTTTTTTTTTTTgggggg14 . 106. 005. 0102. 08/ )05. 0(02. 09 . 055 . 005. 09 . 005. 0205. 0105. 0Tg值与具体场地有关曲线形状与具体结构有关最大值与烈度有关再论地震作用效应的特点 n结构质量：轻的结构地震作用小，重的结构地震作用大。所以，轻的结构对抗震有利

15、。 n阻尼：阻尼明显降低结构反应(包括峰值)。n结构自振周期：在地震时，结构的基本周期地面不能与运动的周期接近，否则会产生共振。 n场地土：土质越软，反应谱上加速度峰值区域宽度越大说明有更多的结构受较强地震作用。n地震的持时：地震作用是持续时间很短的作用。但结构的破坏与否，与地震的作用时间(称为持时)关系很大。SDF的等效地震力n地震影响系数相当于加速度n与地震三要素有关，所以不能仅仅用烈度来决定，还需要用与地震动频率相关的因素考虑地震是动力作用。n建筑物所感知的地震动频率与场地的频率Tg相关。n与的确定同时考虑最大幅度和共振频率n振幅(烈度) max 取决于烈度n周期(烈度与场地)取决于基本

16、周期与Tg的关系eKeqGFeKeqGF1、求场地的特征周期Tgn规范规定：设计地震烈度共分为三组，在II类场地的设计特征周期分别为0.35、0.4和0.45s(温州属于一组)。n获得了场地类别以后，通过表4-7得到Tg分组场地类别IIIIIIIV第一组0.250.350.450.65第二组0.300.400.550.75第三组0.350.450.650.902、求地震影响系数的最大值n大震和小震的 max相差大约56倍。n表3-3中列出了阻尼比为0.05时的地震影响系数的最大值。其它阻尼比时，应乘以一个调整系数max注：括号中的数值用于设计基本地震加速度为0.15g和0.30g的地区。温州地

17、区为0.05g。不用括号内的数值17 . 106. 005. 0105. 026度不需验算大震阻尼比大于0.05时如何？3、求结构的基本周期n对单自由度体系结构的基本周期为：kmT2nMDF的基本周期另有近似估算方法n注意：抗风和抗震近似计算基本周期的公式不同。4. 计算地震影响系数n注意地震影响系数与T和Tg均有关。要根据这两者的相对大小确定所用的公式。n规范：除有专门规定外建筑结构的阻尼比应取0.05。此时：0 . 102. 09 . 005. 021，)5(/)5(2 . 0)5()1 . 0() 1 . 00(/45. 021maxmaxmax2maxggggggTTTTTTTTTTT

18、T7 . 106. 005. 01805. 002. 02155 . 005. 09 . 0解：（1）求特征周期Tg08. 0max地震影响系数最大值1.400.90(1.20)0.50(0.72)-罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震 9 8 7 6地震影响烈度例: 水塔，质量m10000kg。结构的自振周期为T=1.99s 阻尼比为0.03;已知设防烈度为7度，设计地震分组为二组，II类场地；试求该结构多遇地震时的水平地震作用。 地震特征周期分组的特征周期值（地震特征周期分组的特征周期值（s s）0.90 0.65 0.450.35第三组第三组0.75 0.55 0.400.30第二组第二组0.65 0.45 0.35 0.25第一组第一组 场地类