数学建模集训之运筹学0821

1、 周金明周金明 安徽工程大学安徽工程大学 数理学院数理学院2018.8.21数学建模之运筹学数学建模之运筹学2022年4月28日星期四1时04分33秒运运 筹筹 学学 概概 况况运筹学的定义运筹学简史运筹学的主要内容及应用重点运筹学应用步骤运筹学在数学建模竞赛中的地位2022年4月28日星期四1时04分34秒运筹学是一种给出问题不坏的答案的艺术，否则的运筹学是一种给出问题不坏的答案的艺术，否则的话问题的结果会更坏。话问题的结果会更坏。一、运筹学的定义一、运筹学的定义 运筹学运筹学(辞海辞海)：20世纪世纪40年代开始形成的一年代开始形成的一门学科，主要研究经济活动与军事活动中能用数量门学科，主

2、要研究经济活动与军事活动中能用数量来表达的有关运用、筹划与管理方面的问题，它根来表达的有关运用、筹划与管理方面的问题，它根据问题的要求，通过数学的分析与运算，做出综合据问题的要求，通过数学的分析与运算，做出综合性合理安排，以达到较经济有效地使用人力物力性合理安排，以达到较经济有效地使用人力物力.2022年4月28日星期四1时04分34秒 作为一门定量优化决策科学，起源于第二次世界作为一门定量优化决策科学，起源于第二次世界战，英文原意战，英文原意 Operation OperationResearchResearch；二、运筹学简史二、运筹学简史深水炸弹的释放问题防空系统的预警问题运筹学的一些分

3、支英美海空军作战参谋部组成了运筹学研究小组二战中2022年4月28日星期四1时04分34秒二战后军事工、商业领域存储论、决策科学、预测科学等分支 20世纪世纪50年代中期钱学森和许国志教授引入年代中期钱学森和许国志教授引入 “运用学运用学” 1957年年 取取 “运筹运筹”二字，将二字，将OR正式命名为正式命名为“运筹运筹学学” 开始应用于建筑业和纺织业开始应用于建筑业和纺织业史记中史记中“夫运筹帷幄之中，决胜千里之外夫运筹帷幄之中，决胜千里之外”2022年4月28日星期四1时04分34秒线性规划线性规划数数学学规规划划非线性规划非线性规划整数规划整数规划动态规划动态规划多目标规划多目标规划组

4、组合合优优化化最优计数问题最优计数问题网络优化网络优化排序问题排序问题统筹图统筹图随随机机优优化化对策论对策论排队论排队论库存论库存论决策分析决策分析可靠性分析可靠性分析三、运三、运 筹筹 学学 主主 要要 内内 容容2022年4月28日星期四1时04分34秒数学规划模型的数学描述数学规划模型的数学描述下的最大值或最小值下的最大值或最小值.,.,)(mihi210 x.,.,),)()(piggii2100 xx),.,(nxxxx321x将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数)(xfu 在约束条件在约束条件和和2022年4月28日星期四1时04分34

5、秒数学规划问题的一般形式数学规划问题的一般形式约约束束条条件件决策变量决策变量njiDxljxgmixhtsxf,.,1, 0)(,.,1, 0)(. .)(minnjiDxljxgmixhtsxf,.,1, 0)(,.,1, 0)(. .)(min目标函数目标函数tosubjectts .“受约束于”之意2022年4月28日星期四1时04分35秒网络优化网络优化研究解决生产组织、计划管理中诸如最短路径问研究解决生产组织、计划管理中诸如最短路径问题、最小连接问题、最小费用流问题、最优分派题、最小连接问题、最小费用流问题、最优分派问题及关键线路图等。特别在计划和安排大型复问题及关键线路图等。特别

6、在计划和安排大型复杂工程时，网络技术是重要的工具杂工程时，网络技术是重要的工具2022年4月28日星期四1时04分35秒排队论排队论是是20世纪初由丹麦数学家世纪初由丹麦数学家Erlang应用数学方法在研应用数学方法在研究电话话务理论过程中而发展起来的一门学科，排究电话话务理论过程中而发展起来的一门学科，排队论也称随机服务系统理论，排队论是定量的研究队论也称随机服务系统理论，排队论是定量的研究排队问题，寻找系统内在规律，寻找供求关系平衡排队问题，寻找系统内在规律，寻找供求关系平衡的最优方案。的最优方案。如机器等待修理、船舶等待装卸、顾客等待服务等如机器等待修理、船舶等待装卸、顾客等待服务等20

7、22年4月28日星期四1时04分35秒对策论对策论研究具有利害冲突的各方，如何制定对自己有利研究具有利害冲突的各方，如何制定对自己有利从而战胜对手的斗争策略从而战胜对手的斗争策略田忌赛马田忌赛马2022年4月28日星期四1时04分35秒运筹学的应用重点运筹学的应用重点1.市场销售市场销售在广告预算和媒体的选择、竞争性定价、新产品开发、在广告预算和媒体的选择、竞争性定价、新产品开发、销售计划的制定等方面。如美国杜邦公司在五十年代起销售计划的制定等方面。如美国杜邦公司在五十年代起就非常重视将作业研究用于研究如合做好广告工作、产就非常重视将作业研究用于研究如合做好广告工作、产品定价和新产品的引入。品

8、定价和新产品的引入。2. 生产计划生产计划在总体计划方面主要是从总体确定生产、储存和劳动力在总体计划方面主要是从总体确定生产、储存和劳动力的配合等计划以适应变动的需求计划，主要用线性规划的配合等计划以适应变动的需求计划，主要用线性规划和仿真方法等。此外，还可用于生产作业计划、日程表和仿真方法等。此外，还可用于生产作业计划、日程表的编排等。还有在合理下料、配料问题、物料管理等方的编排等。还有在合理下料、配料问题、物料管理等方面的应用。面的应用。 2022年4月28日星期四1时04分35秒3. 库存管理库存管理存货模型将库存理论与计算器的物料管理信息系统相结存货模型将库存理论与计算器的物料管理信息

9、系统相结合，主要应用于多种物料库存量的管理，确定某些设备合，主要应用于多种物料库存量的管理，确定某些设备的能力或容量，如工厂的库存、停车厂的大小、新增发的能力或容量，如工厂的库存、停车厂的大小、新增发电设备容量大小、计算机的主存储器容量、合理的水库电设备容量大小、计算机的主存储器容量、合理的水库容量等。容量等。 4. 运输问题运输问题这里涉及空运、水运、公路运输、铁路运输、捷运、管这里涉及空运、水运、公路运输、铁路运输、捷运、管道运输和厂内运输等。包括班次调度计划及人员服务时道运输和厂内运输等。包括班次调度计划及人员服务时间安排等问题。间安排等问题。 2022年4月28日星期四1时04分35秒

10、5.财政和会计财政和会计这里涉及预算、贷款、成本分析、定价、投资、证券管这里涉及预算、贷款、成本分析、定价、投资、证券管理、现金管理等。用得较多的方法是：统计分析、数学理、现金管理等。用得较多的方法是：统计分析、数学规划、决策分析。此外，还有盈亏点分析法、价值分析规划、决策分析。此外，还有盈亏点分析法、价值分析法等。法等。 6. 人事管理人事管理这里涉及六方面。这里涉及六方面。(1)人员的获得和需求估计；人员的获得和需求估计；(2)人才人才的开发，即进行教育和训练；的开发，即进行教育和训练；(3)人员的分配，主要是人员的分配，主要是各种指派问题；各种指派问题；(4)各类人员的合理利用问题；各类

11、人员的合理利用问题；(5)人才人才的评价，其中有如何测定一个人对组织、社会的贡献；的评价，其中有如何测定一个人对组织、社会的贡献；(6)薪资和津贴的确定等。薪资和津贴的确定等。 2022年4月28日星期四1时04分35秒7.设备维修、更新和可靠度、项目选择和评价设备维修、更新和可靠度、项目选择和评价如电力系统的可靠度分析、核能电厂的可靠度以及风如电力系统的可靠度分析、核能电厂的可靠度以及风险评估等。险评估等。 8.工程的最佳化设计工程的最佳化设计在土木、建筑、水利、信息、电子、电机、光学、机在土木、建筑、水利、信息、电子、电机、光学、机械、环境和化工等领域皆有作业研究的应用。械、环境和化工等领

12、域皆有作业研究的应用。 9.城市管理城市管理包括各种紧急服务救难系统的设计和运用。如消防队救包括各种紧急服务救难系统的设计和运用。如消防队救火站、救护车、警车等分布点的设立。美国曾用等候理火站、救护车、警车等分布点的设立。美国曾用等候理论方法来确定纽约市紧急电话站的值班人数。加拿大亦论方法来确定纽约市紧急电话站的值班人数。加拿大亦曾研究一城市警车的配置和负则范围，事故发生后警车曾研究一城市警车的配置和负则范围，事故发生后警车应走的路线等。应走的路线等。2022年4月28日星期四1时04分35秒分析与表述问题分析与表述问题建立模型建立模型对模型和由模型导出的解进行检验对模型和由模型导出的解进行检

13、验建立起对解的有效控制建立起对解的有效控制对问题求解对问题求解方案实施方案实施不满意不满意满意满意运筹学应用步骤运筹学应用步骤2022年4月28日星期四1时04分35秒五、运筹学在数学建模竞赛中的地位五、运筹学在数学建模竞赛中的地位在全国大学生数学建模竞赛题中有在全国大学生数学建模竞赛题中有40%可以用运筹可以用运筹学中的优化方法解决学中的优化方法解决2022年4月28日星期四1时04分35秒线线 性性 规规 划划问题问题1 ： 任务分配问题：某车间有甲、乙两台机床，任务分配问题：某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件可用于加工三种工件.假定这两台车床的可用台时数假定这两台车床的可用台时数

14、分别为分别为800和和900，三种工件的数量分别为，三种工件的数量分别为400、600和和500，且已知用三种不同车床加工单位数量不同工，且已知用三种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表件所需的台时数和加工费用如下表.问怎样分配车床问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使加的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使加工费用最低？工费用最低？ 单位工件所需加工台时数 单位工件的加工费用 车床类 型 工件1 工件2 工件3 工件1 工件2 工件3 可用台时数 甲 0.4 1.1 1.0 13 9 10 800 乙 0.5 1.2 1.3 11 12 8 900

15、引例引例解解 设在甲车床上加工工件设在甲车床上加工工件1、2、3的数的数量分别为量分别为x1、x2、x3，在乙车床上加工工，在乙车床上加工工件件1、2、3的数量分别为的数量分别为x4、x5、x6,可建可建立以下线性规划模型：立以下线性规划模型： 解答问题问题2： 某厂每日某厂每日8小时的产量不低于小时的产量不低于1800件件.为了进为了进行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员.一级检一级检验员的标准为：速度验员的标准为：速度25件件/小时，正确率小时，正确率98%，计时工，计时工资资4元元/小时；二级检验员的标准为：速度小时；二级检验员的标准为：速度1

16、5件件/小时，小时，正确率正确率95%，计时工资，计时工资3元元/小时小时.检验员每错检一次，检验员每错检一次，工厂要损失工厂要损失2元元.为使总检验费用最省，该工厂应聘一为使总检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各几名？级、二级检验员各几名？解解 设需要一级和二级检验员的人数分别为设需要一级和二级检验员的人数分别为x1、x2人人,则应付检验员的工资为：则应付检验员的工资为：212124323848xxxx因检验员错检而造成的损失为：21211282)%5158%2258(xxxx故目标函数为：故目标函数为：2121213640)128()2432(minxxxxxxz约束条件为：0, 0

17、180015818002581800158258212121xxxxxx线性规划模型：线性规划模型：213640minxxz12121253459s.t. 150,0 xxxxxx 解答返 回线性规划模型的一般形式线性规划模型的一般形式11min,1,2,., .s.t.0,1,2,., .ni iinik kikiucxa xb inxin 目标函数和所有的约束条件都是设计变量目标函数和所有的约束条件都是设计变量的线性函数的线性函数.min. s.tucxAxbvlbxvub矩矩阵阵形形式式：实际问题中实际问题中的优化模型的优化模型T1min(max)( ),(,)s.t.( )0,1,2,

18、nizf xxxxg xim或x是决策变量是决策变量f(x)是目标函数是目标函数gi(x)0是约束条是约束条件件数学规划数学规划线性规划线性规划(LP)二次规划二次规划(QP)非线性规划非线性规划(NLP)纯整数规划纯整数规划(PIP)混合整数规划混合整数规划(MIP)整数规划整数规划(IP)0-1整数规划整数规划一般整数规划一般整数规划连续规划连续规划 优化模型的分类优化模型的分类用用MATLAB优化工具箱解线性规划优化工具箱解线性规划min z=cX s.t.AXb1. 模型：命令：x=linprog（c, A, b） 2. 模型：min z=cX s.t.AXbbeqXAeq命令：x=l

19、inprog（c，A，b，Aeq,beq）注意：若没有不等式： 存在，则令A= ，b= .bAX 3. 模型：min z=cX s.t.AXbbeqXAeqVLBXVUB命令：1 x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB） 2 x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB, X0） 注意：1 若没有等式约束: , 则令Aeq= , beq= . 2其中X0表示初始点 beqXAeq4. 命令：x,fval=linprog()返回最优解及处的目标函数值fval.解解 编写编写M文件文件xxgh1.m如下：如下：c=-0.4 -0.28 -0.32 -0

20、.72 -0.64 -0.6; A=0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08; b=850;700;100;900; Aeq=; beq=; vlb=0;0;0;0;0;0; vub=;x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 解解: 编写编写M文件文件xxgh2.m如下：如下： c=6 3 4; A=0 1 0; b=50; Aeq=1 1 1; beq=120; vlb=30,0,20; vub=; x,fval=linprog(c

21、,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)123m in( 634 )xzxx32120030 xxx1231111 2 0s .t. 0105 0 xxxs.t.Xz8121110913min 9008003 . 12 . 15 . 000000011 . 14 . 0X改写为：例例3 问题问题1的解答的解答 问题编写编写M文件文件xxgh3.m如下如下:f = 13 9 10 11 12 8;A = 0.4 1.1 1 0 0 0 0 0 0 0.5 1.2 1.3;b = 800; 900;Aeq=1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1;beq=400 6

22、00 500;vlb = zeros(6,1);vub=;x,fval = linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)结果结果:x = 0.0000 600.0000 0.0000 400.0000 0.0000 500.0000fval =1.3800e+004 即在甲机床上加工即在甲机床上加工600个工件个工件2,在乙机床上加工在乙机床上加工400个个工件工件1、500个工件个工件3，可在满足条件的情况下使总加工，可在满足条件的情况下使总加工费最小为费最小为13800.例例2 问题问题2的解答的解答 问题 213640minxxz s.t. )45(3521xx改写为：编

23、写编写M文件文件xxgh4.m如下：如下：c = 40;36;A=-5 -3;b=-45;Aeq=;beq=;vlb = zeros(2,1);vub=9;15; %调用调用linprog函数：函数：x,fval = linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)结果为：结果为：x = 9.0000 0.0000fval =360即只需聘用即只需聘用9个一级检验员个一级检验员. 注：本问题应还有一个约束条件：注：本问题应还有一个约束条件：x1、x2取取整数整数.故它是一个整数线性规划问题故它是一个整数线性规划问题.这里把它这里把它当成一个线性规划来解，求得其最优解刚好当成一个线性

24、规划来解，求得其最优解刚好是整数：是整数：x1=9，x2=0，故它就是该整数规划，故它就是该整数规划的最优解的最优解.若用线性规划解法求得的最优解不若用线性规划解法求得的最优解不是整数，将其取整后不一定是相应整数规划是整数，将其取整后不一定是相应整数规划的最优解，这样的整数规划应用专门的方法的最优解，这样的整数规划应用专门的方法求解求解.返 回 投资的收益和风险投资的收益和风险二、基本假设和符号规定二、基本假设和符号规定三、模型的建立与分析三、模型的建立与分析1.总体风险用所投资的Si中最大的一个风险来衡量,即max qixi|i=1，2,n4. 模型简化：四、模型四、模型1 1的求解的求解

25、由于a是任意给定的风险度，到底怎样给定没有一个准则，不同的投资者有不同的风险度.我们从a=0开始，以步长a=0.001进行循环搜索，编制程序如下：a=0;while(1.1-a)1 c=-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185; Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065; beq=1; A=0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026; b=a;a;a;a; vlb=0,0,0,0,0;vub=; x,val=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub); a x=x Q=-val plot(a,Q,.)，axis(0 0.1 0 0.5)，hold on a=a+0.001;end xlabel(a),ylabel(Q)计算结果：计算结果：五、五、 结果分析结果分析返 回4.4.在在a=0.006a=0.006附近有一个转折点，在这一点左边，风险增