数学文化十一

1、1 历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大的挫折也可以叫做危机。危机也意味着挑战，的挫折也可以叫做危机。危机也意味着挑战，危机的解决就意味着进步。所以，危机往往危机的解决就意味着进步。所以，危机往往是数学发展的先导。数学发展史上有三次数是数学发展的先导。数学发展史上有三次数学危机。每一次数学危机，都是学危机。每一次数学危机，都是数学的基本数学的基本部分部分受到质疑。实际上，也恰恰是这受到质疑。实际上，也恰恰是这三次危三次危机，引发了数学上的三次思想解放机，引发了数学上的三次思想解放，大大推，大大推动了数学科学的发展。动了数学科学的发展。2 一、第一次数学危机一

2、、第一次数学危机 第一次数学危机是由第一次数学危机是由 不能写成两不能写成两个整数之比引发的，我们以前已经专个整数之比引发的，我们以前已经专门讨论过，现再简要回顾一下。门讨论过，现再简要回顾一下。 23 这一危机发生在公元前这一危机发生在公元前5世纪，危机世纪，危机来源于：当时认为所有的数都能表示为整来源于：当时认为所有的数都能表示为整数比，但突然发现数比，但突然发现 不能表为整数比。不能表为整数比。 其实质是：其实质是： 是无理数，全体整数之比是无理数，全体整数之比构成的是有理数系，有理数系需要扩充，需构成的是有理数系，有理数系需要扩充，需要添加无理数。要添加无理数。2242 当时古希腊的欧

3、多克索斯部分地解决了这一危当时古希腊的欧多克索斯部分地解决了这一危机。他采用了一个十分巧妙的关于机。他采用了一个十分巧妙的关于“两个量之比两个量之比”的新说法，回避了的新说法，回避了 是无理数的实质，而是用几是无理数的实质，而是用几何的方法去处理不可公度比。这样做的结果，使几何的方法去处理不可公度比。这样做的结果，使几何的基础牢靠了，几何从全部数学中脱颖而出。欧何的基础牢靠了，几何从全部数学中脱颖而出。欧几里得的几里得的几何原本几何原本中也采用了这一说法，以致中也采用了这一说法，以致在以后的近二千年中，几何变成了几乎是全部严密在以后的近二千年中，几何变成了几乎是全部严密数学的基础。数学的基础。

4、 但是彻底解决这一危机是在但是彻底解决这一危机是在19世纪，依赖实数世纪，依赖实数理论的建立。理论的建立。5 二、第二次数学危机二、第二次数学危机 第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七世纪。当第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七世纪。当时的背景是：时的背景是：微积分诞生之后，数学迎来一次空前的繁荣微积分诞生之后，数学迎来一次空前的繁荣时期。数学家们把微积分应用于各个领域，并获得了丰硕时期。数学家们把微积分应用于各个领域，并获得了丰硕的成果。在数学本身他们又发展了微分方程的理论，无穷的成果。在数学本身他们又发展了微分方程的理论，无穷级数的理论，大大地扩展了数学研究的范围。这一时期被级数的

5、理论，大大地扩展了数学研究的范围。这一时期被称为英雄世纪。但微积分在基础理论上存在很多缺陷。称为英雄世纪。但微积分在基础理论上存在很多缺陷。第第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的，第二次数一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的，第二次数学危机则是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是学危机则是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿对牛顿 “ “无穷小量无穷小量”说法的质疑引起的。说法的质疑引起的。6 1危机的引发危机的引发 1）牛顿的）牛顿的“无穷小无穷小” 牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。

6、含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。我们来看一个例子。我们来看一个例子。 微积分的一个来源，是想求运动物体在某一微积分的一个来源，是想求运动物体在某一时刻的时刻的瞬时速度瞬时速度。在牛顿之前，只能求一段时间。在牛顿之前，只能求一段时间内的内的平均速度平均速度，无法求某一时刻的瞬时速度。，无法求某一时刻的瞬时速度。7 例如，设自由落体在时间例如，设自由落体在时间 下落的距离为下落的距离为 ，有公式有公式 ，其中，其中 是固定的重力加速度。是固定的重力加速度。我们要求物体在我们要求物体在 的瞬时速度，先求的瞬时速度，先求 。 （*）t)(tS221)(gttSg0ttS22101022200

7、011( )( )2211()2() 22SS tS tgtgtg tttgttt 01()2Sgtgtt8 当当 变成无穷小时，右端的变成无穷小时，右端的 也变成无穷小，因而上式右端就可以认为也变成无穷小，因而上式右端就可以认为是是 ，这就是物体在，这就是物体在 时的瞬时速度，时的瞬时速度，它是两个无穷小之比。它是两个无穷小之比。 牛顿的这一方法很好用，解决了大量过牛顿的这一方法很好用，解决了大量过去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严格，遭到责难。格，遭到责难。t)(21tg0gt0t9 2）贝克莱的发难）贝克莱的发难 英国的贝克莱大主教发表文章猛烈英国的

8、贝克莱大主教发表文章猛烈攻击牛顿的理论。攻击牛顿的理论。 贝克莱问道：贝克莱问道：“无穷小无穷小”作为一个作为一个量，究竟是不是量，究竟是不是0？1001()2Sgtgtt 如果是如果是0，上式左端当，上式左端当 成无穷小后分母为成无穷小后分母为0，就，就没有意义了。如果不是没有意义了。如果不是0，上式右端的，上式右端的 就不能就不能任意去掉。任意去掉。t1()2gt 在推出上式时，假定了在推出上式时，假定了 才能做除法，所以才能做除法，所以上式的成立是以上式的成立是以 为前提的。那么，为什么又为前提的。那么，为什么又可以让可以让 而求得瞬时速度呢？而求得瞬时速度呢？ 因此，牛顿的这一套运算方

9、法，就如同从因此，牛顿的这一套运算方法，就如同从 出发，两端同除以出发，两端同除以0，得出，得出5=3一样一样的荒谬。的荒谬。0t0t0t0305（*）11 贝克莱还讽刺挖苦说：即然贝克莱还讽刺挖苦说：即然 和和 都变都变成成“无穷小无穷小”了，而无穷小作为一个量，既了，而无穷小作为一个量，既不是不是0，又不是非，又不是非0，那它一定是，那它一定是“量的鬼魂量的鬼魂”了。了。 这就是著名的这就是著名的“贝克莱悖论贝克莱悖论”。 对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家提出的，但是，非常击中要害。提出的，但是，非常击中要害。St12贝克莱的质问是击中要害的贝克莱的

10、质问是击中要害的数学家在将近数学家在将近200年的时间里，不能彻底年的时间里，不能彻底反驳贝克莱的责难。反驳贝克莱的责难。直至柯西创立极限理论，才较好地反驳了直至柯西创立极限理论，才较好地反驳了贝克莱的责难。贝克莱的责难。直至魏尔斯特拉斯创立直至魏尔斯特拉斯创立“ ”语言，语言，才彻底地反驳了贝克莱的责难。才彻底地反驳了贝克莱的责难。13 3）实践是检验真理的唯一标准）实践是检验真理的唯一标准 应当承认，贝克莱的责难是有道理的。应当承认，贝克莱的责难是有道理的。“无无穷小穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清顿和

11、当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清“无穷小无穷小”的方法。数学家们相信它，只是由于的方法。数学家们相信它，只是由于它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子，显特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人们示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人们不大相信贝克莱的指责。这表明，在大多数人的不大相信贝克莱的指责。这表明，在大多数人的脑海里，脑海里，“实践是检验真理的唯一标准。实践是检验真理的唯一标准。”14 2危机的实质危机的实质 第一次数学危机的实质是第一次数学危机的实

12、质是 “ 不是有不是有理数，而是无理数理数，而是无理数”。那么第二次数学危机。那么第二次数学危机的实质是什么？应该说，是的实质是什么？应该说，是极限的概念不清极限的概念不清楚，极限的理论基础不牢固。楚，极限的理论基础不牢固。也就是说，微也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。积分理论缺乏逻辑基础。215 其实，在牛顿把瞬时速度说成其实，在牛顿把瞬时速度说成“物体所走的无穷物体所走的无穷小距离与所用的无穷小时间之比小距离与所用的无穷小时间之比”的时候，这种说的时候，这种说法本身就是不明确的，是含糊的。法本身就是不明确的，是含糊的。 当然，牛顿也曾在他的著作中说明，所谓当然，牛顿也曾在他的著作中说明，所

13、谓“最最终的比终的比”，就是分子、分母要成为，就是分子、分母要成为0还不是还不是0时的时的比比例如（例如（*）式中的）式中的gt，它不是，它不是“最终的量的最终的量的比比”，而是，而是“比所趋近的极限比所趋近的极限”。 他这里虽然提出和使用了他这里虽然提出和使用了“极限极限”这个词，但这个词，但并没有明确说清这个词的意思。并没有明确说清这个词的意思。16 德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积分，但是也没有明确给出极限的定义。分，但是也没有明确给出极限的定义。 正因为如此，此后近二百年间的数学家，正因为如此，此后近二百年间的数学家，都不能满意地解释贝克莱提出的悖论

14、。都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。 所以，由所以，由“无穷小无穷小”引发的第二次数学引发的第二次数学危机，危机，实质上是缺少严密的极限概念和极限实质上是缺少严密的极限概念和极限理论作为微积分学的基础。理论作为微积分学的基础。17牛顿莱布尼茨18 3危机的解决危机的解决 1）必要性）必要性 微积分虽然在发展，但微积分逻辑微积分虽然在发展，但微积分逻辑基础上存在的问题是那样明显，这毕竟基础上存在的问题是那样明显，这毕竟是数学家的一块心病。是数学家的一块心病。19 而且，随着时间的推移，研究范围的扩而且，随着时间的推移，研究范围的扩大，类似的悖论日益增多。数学家在研究无大，类似的悖论日益增多。数学

15、家在研究无穷级数的时候，做出许多错误的证明，并由穷级数的时候，做出许多错误的证明，并由此得到许多错误的结论。由于没有严格的极此得到许多错误的结论。由于没有严格的极限理论作为基础。数学家们在有限与无限之限理论作为基础。数学家们在有限与无限之间任意通行（不考虑无穷级数收敛的问题）。间任意通行（不考虑无穷级数收敛的问题）。 20 因此，进入因此，进入19世纪时，一方面微积世纪时，一方面微积分取得的成就超出人们的预料，另一方分取得的成就超出人们的预料，另一方面，大量的数学理论没有正确、牢固的逻面，大量的数学理论没有正确、牢固的逻辑基础，因此不能保证数学结论是正确无辑基础，因此不能保证数学结论是正确无误

16、的。误的。 历史要求为微积分学说奠基。历史要求为微积分学说奠基。21 2）严格的极限理论的建立）严格的极限理论的建立 到到19世纪，一批杰出数学家辛勤、世纪，一批杰出数学家辛勤、天才的工作，终于逐步建立了严格的极限天才的工作，终于逐步建立了严格的极限理论，并把它作为微积分的基础。理论，并把它作为微积分的基础。 应该指出，严格的极限理论的建立应该指出，严格的极限理论的建立是是逐步的、漫长的。逐步的、漫长的。22 在在18世纪时，人们已经建立了极限理论，但世纪时，人们已经建立了极限理论，但那是初步的、粗糙的。那是初步的、粗糙的。 达朗贝尔在达朗贝尔在1754年指出，必须用可靠的理论年指出，必须用可

17、靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但他本人未能去代替当时使用的粗糙的极限理论。但他本人未能提供这样的理论。提供这样的理论。 19世纪初，捷克数学家波尔查诺开始将严格世纪初，捷克数学家波尔查诺开始将严格的论证引入数学分析，他写的的论证引入数学分析，他写的无穷的悖论无穷的悖论一书一书中包含许多真知灼见。中包含许多真知灼见。23 而做出决定性工作、可称为分析学的而做出决定性工作、可称为分析学的奠基人的是奠基人的是法国数学家柯西法国数学家柯西（A.L.Cauchy,17891857）。他在）。他在18211823年间出版的年间出版的分析教程分析教程和和无穷小计无穷小计算讲义算讲义是数学史上划时代

18、的著作。他对极是数学史上划时代的著作。他对极限给出比较精确的定义，然后用它定义连续、限给出比较精确的定义，然后用它定义连续、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性，导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性，已与我们现在教科书上的差不太多了。已与我们现在教科书上的差不太多了。24柯西波尔查诺波尔查诺25 3）严格的实数理论的建立）严格的实数理论的建立 对以往理论的再认识对以往理论的再认识 后来的一些发现，使人们认识到，极限后来的一些发现，使人们认识到，极限理论的进一步严格化，需要实数理论的严格理论的进一步严格化，需要实数理论的严格化。微积分或者说数学分析，是在实数范围化。微积分或者说数学分析，是在实数

19、范围内研究的。但是，下边两件事，表明极限概内研究的。但是，下边两件事，表明极限概念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。赖比人们想象的要深奥得多。26 一件事是，一件事是，1874年年德国数学家魏尔斯特拉斯德国数学家魏尔斯特拉斯（K.T.W.Weirstrass，18151897）构造了一个）构造了一个 “点点连续而点点不可导的函数点点连续而点点不可导的函数”。 “连续函数连续函数”在直观上是在直观上是“函数曲线没有间断，函数曲线没有间断，连在一起连在一起”，而，而“函数在一点可导函数在一点可导”直观上是直观上是“函函数曲线在该点有

20、切线数曲线在该点有切线”。所以，在直观上。所以，在直观上“连续连续”与与“可导可导”有密切的联系。有密切的联系。 这之前甚至有人还证明过：函数在连续点上都这之前甚至有人还证明过：函数在连续点上都可导（当然是错误的）。因此根本不可想象，还会可导（当然是错误的）。因此根本不可想象，还会有有“点点连续而点点不可导的函数点点连续而点点不可导的函数”。 27 魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯(18151897) 德国数学家。1815年10月31日生于威斯特法伦州的奥斯滕费尔德，1897年2月19日卒于柏林。1834年入波恩大学学习法律和财政。1838年转学数学。18421856年，先后在几所中学任教。1854年

21、3月31日获得柯尼斯堡大学名誉博士学位。1856年10月受聘为柏林大学助理教授，同年成为柏林科学院成员，1864年升为教授。 28 魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯 关于关于 “点点连续而点点不可导的函数点点连续而点点不可导的函数”的例子是的例子是 其中其中 是奇数，是奇数， ， 使使 。0( )cos()nnnf xbax) 1 , 0(b231aba29 另一件事是德国数学家黎曼另一件事是德国数学家黎曼（B.Riemann，18261866）发现，）发现，柯西把定积分限制于连续函数是没有必柯西把定积分限制于连续函数是没有必要的。要的。黎曼证明了，被积函数不连续，黎曼证明了，被积函数不连续，其定积分

22、也可能存在。其定积分也可能存在。 黎曼还造出一个函数，当自变量取黎曼还造出一个函数，当自变量取无理数时它是连续的，当自变量取有理无理数时它是连续的，当自变量取有理数时它是不连续的。数时它是不连续的。30 黎曼黎曼 1826年9月17日，黎曼生于德国北部汉诺威的布雷塞伦茨村，父亲是一个乡村的穷苦牧师。他六岁开始上学，14岁进入大学预科学习，19岁按其父亲的意愿进入哥廷根大学攻读哲学和神学， 1847年，黎曼转到柏林大学学习，成为雅可比、狄利克莱、施泰纳、艾森斯坦的学生。1849年重回哥廷根大学攻读博士学位，成为高斯晚年的学生。31 这些例子使数学家们越来越明这些例子使数学家们越来越明白，在为分析

23、建立一个完善的基础白，在为分析建立一个完善的基础方面，还需要再前进一步：即方面，还需要再前进一步：即需要需要理解和阐明实数系的更深刻的性质。理解和阐明实数系的更深刻的性质。32 魏尔斯特拉斯的贡献魏尔斯特拉斯的贡献 德 国 数 学 家 魏 尔 斯 特 拉 斯 （德 国 数 学 家 魏 尔 斯 特 拉 斯 （ K a r l Weierstrass，18151897）的努力，终于使）的努力，终于使分析学从完全依靠运动学、直观理解和几何概分析学从完全依靠运动学、直观理解和几何概念中解放出来。他的成功产生了深远的影响，念中解放出来。他的成功产生了深远的影响，主要表现在两方面，主要表现在两方面，一方面

24、是建立了实数系，一方面是建立了实数系，另一方面是创造了精确的另一方面是创造了精确的“ ”语言。语言。33柯西的贡献柯西的贡献柯西柯西（A.L.Cauchy,1789-A.L.Cauchy,1789-18571857），法国数学家，），法国数学家，在数学分析和置换群在数学分析和置换群理论方面做了开拓性理论方面做了开拓性的工作，是最伟大的的工作，是最伟大的近代数学家之一。他近代数学家之一。他在在1821-18231821-1823年出版年出版的的分析教程分析教程和和无穷小计算讲义无穷小计算讲义是数学史主划时代的是数学史主划时代的著作。著作。34魏尔斯特拉斯的规划魏尔斯特拉斯的规划魏尔斯特拉斯提出一

25、个规划：魏尔斯特拉斯提出一个规划：1)1)逻辑地构造实数系；逻辑地构造实数系；2)2)从实数系出发去定义极限概念、连从实数系出发去定义极限概念、连续性、可微性、收敛和发散。续性、可微性、收敛和发散。这一规划被称为这一规划被称为分析的算术化分析的算术化。35魏尔斯特拉斯的规划魏尔斯特拉斯的规划魏尔斯特拉斯规划成功的影响：魏尔斯特拉斯规划成功的影响：q既然分析能从实数系导出，所以，如果实既然分析能从实数系导出，所以，如果实数系是相容的，那么全部分析是相容的。数系是相容的，那么全部分析是相容的。q欧氏几何通过笛卡尔坐标系也能奠基于实欧氏几何通过笛卡尔坐标系也能奠基于实数系上。所以，如果实数系是相容的

26、，那么数系上。所以，如果实数系是相容的，那么欧氏几何也是相容的，几何学的其它分支也欧氏几何也是相容的，几何学的其它分支也是相容的。是相容的。q实数系可用来解释代数的许多分支，所以实数系可用来解释代数的许多分支，所以许多代数的相容性也依赖于实数系的相容性。许多代数的相容性也依赖于实数系的相容性。36魏尔斯特拉斯的规划魏尔斯特拉斯的规划总之，第二次数学危机的核心是微积总之，第二次数学危机的核心是微积分的基础不稳固。分的基础不稳固。柯西的贡献在于将微积分建立在极限柯西的贡献在于将微积分建立在极限论的基础上，遗留的问题是，任何实论的基础上，遗留的问题是，任何实数列的极限存在吗？数列的极限存在吗？魏尔斯

27、特拉斯的贡献在于，先逻辑地魏尔斯特拉斯的贡献在于，先逻辑地构造实数系，因而建立分析基础的逻构造实数系，因而建立分析基础的逻辑顺序是实数系辑顺序是实数系极限论极限论微积分。微积分。37从有理数谈起从有理数谈起有理数系是稠密的，并且四则运算封有理数系是稠密的，并且四则运算封闭，是我们遇到的第一个比较完美的闭，是我们遇到的第一个比较完美的数系。但它仍存在严重的缺陷。数系。但它仍存在严重的缺陷。q从几何角度，有理数没有填满整个数从几何角度，有理数没有填满整个数轴。轴。q从代数角度，有理数系对开方运算不从代数角度，有理数系对开方运算不封闭。封闭。q从变量角度考虑，有理数在极限运算从变量角度考虑，有理数在

28、极限运算下不封闭。下不封闭。38从有理数谈起从有理数谈起 11111 (1,2,)1!2!3!.nnnSSnnS例例 有有理理数数序序列列可可证证的的极极限限不不是是有有理理数数39戴德金分割戴德金分割戴德金关于分划的定义：q定义 把全体有理数的集合分成两个集合A和A，满足下面三个条件：v集合A和A都是非空的（不空）；v每一个有理数在而且只在A与A两个集合的一个之中（不漏）；v集合A中的每一个数a都小于集合A中的每一个数a(不乱)40戴德金分割戴德金分割q命题命题 不存在不存在Q Q的这样的分划的这样的分划A|AA|A，使使A A中有最大数，中有最大数，AA中有最小数。中有最小数。分划有三种类

29、型：分划有三种类型：1)1)在上类中没有最小数，而在下类中有最在上类中没有最小数，而在下类中有最大数大数r r；2)2)在上类中有最小数在上类中有最小数r, r,而在下类中没有最而在下类中没有最大数；大数；3)3)在上类中没有最小数，在下类中也没有在上类中没有最小数，在下类中也没有最大数。最大数。41戴德金分割戴德金分割q定义定义任何属于类型任何属于类型3 3）的分划定义）的分划定义了一个无理数了一个无理数a. a.对于每个有理数对于每个有理数r r，存在两个定义它的分，存在两个定义它的分划，定义其归入上类，则下类划，定义其归入上类，则下类A A中没最大中没最大数。数。42实数的性质实数的性质

30、实数有三种基本性质：实数有三种基本性质：q实数的有序性实数的有序性q实数的连续性实数的连续性q实数的代数结构实数的代数结构43实数集合的有序化实数集合的有序化v定义定义由分划由分划A|AA|A和和B|BB|B分别定义分别定义的两个实数的两个实数 , ,当且仅当这两个分划当且仅当这两个分划相同时才相等。相同时才相等。v定义定义若若A A类完全包含类完全包含B B类，且不与类，且不与B B类相同，则称类相同，则称 或或v定理定理1 1任何两个实数和之间必有下列任何两个实数和之间必有下列三种关系之一：三种关系之一：和 , 其次,蕴含44实数集合的有序化实数集合的有序化v引理引理1 1设设 是两个任意

31、的实数。若是两个任意的实数。若 v 则总可以找到有理数则总可以找到有理数r r，使之介，使之介于于 之间：之间：v引理引理2 2设设 是两个给定的实数，是两个给定的实数，如果对无论怎样小的有理数如果对无论怎样小的有理数e0e0，总能使，总能使 夹在两个同样的有理数中间：夹在两个同样的有理数中间： 和 和, 与,.sas sssse其中则数 与 一定相等45实数集合的连续性实数集合的连续性v定理定理2 2（戴德金）（戴德金） 对实数集合的任何对实数集合的任何分划分划A|AA|A，都存在产生这个分划的实数，都存在产生这个分划的实数a a，这个数这个数 或者是下类或者是下类A A中的最大数，或者是中

32、的最大数，或者是上类上类AA中的最小数。中的最小数。这个定理是实数理论的第一个重要定理，这个定理是实数理论的第一个重要定理，又称为戴德金基本定理。又称为戴德金基本定理。46确界存在定理确界存在定理几个基本概念：几个基本概念：设设E E是一个实数集合，如果存在数是一个实数集合，如果存在数M M，使得对所有的使得对所有的 都有都有 我们就说集合我们就说集合E E是是有界集有界集如果如果E E不满足上述条件，即对任意的正不满足上述条件，即对任意的正数数M M，不管它多大，总有，不管它多大，总有 ，使，使得得 ，我们就称，我们就称E E为为无界集无界集xE,xMMxM或0 xE0 xM47确界存在定理

33、确界存在定理几个基本概念：几个基本概念：对于集合对于集合E E来说，如果存在数来说，如果存在数K K（或（或k k），），使得对所有数使得对所有数 都都有有 ，我们就称集合，我们就称集合E E有有上界上界（或者有（或者有下界下界）。数）。数K(K(或或k) k)称为集合称为集合E E的的一个上界（或下界）。一个上界（或下界）。xE()xKxk或48确界存在定理确界存在定理几个基本概念：几个基本概念：000,():1),();2)0,(),()().AMmxA xMxmxAMxxmMmA考虑数集如果常数或具有下列性质对于所有的或者不管是多么小的数 总可以找到使得或者那么就称数或是数集 的上确界

34、或者下确界49确界存在定理确界存在定理v定理定理3 3如果如果H=xH=x是有上（下）界的集是有上（下）界的集合，则它一定有上（下）确界。合，则它一定有上（下）确界。 证明略证明略50根的存在性根的存在性v单调序列必有极限单调序列必有极限v区间套定理区间套定理: :一定能套住一个点一定能套住一个点v从任何有界的序列中总能选出收敛于有限极限的子序从任何有界的序列中总能选出收敛于有限极限的子序列列. .v v （柯西准则）（柯西准则） 00,nnmaNm nNaa 收敛的使当时有 123:, , .na ba b 有限覆盖定理 或有闭区间由开区间的无限集合覆盖 则从中可以取出有限子集也覆盖51 “

35、 ”语言的成功，表现在：语言的成功，表现在： 这 一 语 言 给 出 极 限 的 准 确 描 述 ， 消 除这 一 语 言 给 出 极 限 的 准 确 描 述 ， 消 除了 历 史 上 各 种 模 糊 的 用 语 ， 诸 如了 历 史 上 各 种 模 糊 的 用 语 ， 诸 如 “ 最 终最 终比比”、“无限地趋近于无限地趋近于”，等等。，等等。 这 样 一 来 ， 分 析 中 的 所 有 基 本 概 念 都这 样 一 来 ， 分 析 中 的 所 有 基 本 概 念 都可 以 通 过 实 数 和 它 们 的 基 本 运 算 和 关 系 精可 以 通 过 实 数 和 它 们 的 基 本 运 算

36、和 关 系 精确地表述出来。确地表述出来。52 4）极限的）极限的“ ”定义及定义及“贝克莱贝克莱悖悖论论” 的消除的消除 极限的极限的“ ”定义定义53 定义：设函数定义：设函数 在在 的附近都有定的附近都有定义，如果有一个确定的实数义，如果有一个确定的实数 （无论多无论多么小的正数么小的正数 ）。）。 都都 （都能找到一个正数都能找到一个正数 ，依赖，依赖于于 ），使当），使当 时（时（满足不等满足不等式式 的所有不等于的所有不等于 的的 ），有），有 （这些这些 对应的函数值对应的函数值与与 的差小于预先给定的任意小的的差小于预先给定的任意小的 ）我们就）我们就说说“函数函数 在在 趋近

37、于趋近于 时，有极限时，有极限 ” 。 记为记为 。 1x)(xf1x,0a0|01xx|1xx1xxxa|)(|axf)(xf)(xfxaaxfxx)(lim154 由极限的这个由极限的这个 “ ”定义，可以求定义，可以求出一些基本的极限，并严格地建立一整套出一些基本的极限，并严格地建立一整套丰富的极限理论。简单说，例如有丰富的极限理论。简单说，例如有 两个相等的函数，取极限后仍相等；两个相等的函数，取极限后仍相等； 两个函数，和的极限等于极限的和。两个函数，和的极限等于极限的和。 等等。等等。 由此再建立严格的微积分理论。由此再建立严格的微积分理论。55 “贝克莱悖论贝克莱悖论”的消除的消

38、除 回到牛顿的（回到牛顿的（*）式上：）式上： （*） 这是在这是在 （即（即 ）条件下，得到的等式；）条件下，得到的等式；它表明它表明 时间内物体的平均速度为时间内物体的平均速度为 。（*）式等号两边都是的函数。然后，我们把物体在）式等号两边都是的函数。然后，我们把物体在 时刻的瞬时速度定义为：上述平均速度当时刻的瞬时速度定义为：上述平均速度当 趋于趋于0时的极限，即时的极限，即 物体在物体在 时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度= 。)0)(210ttggttS0t01tt t)(210tggt0tt0ttSt0lim56 下边我们对（下边我们对（*）式的等号两边同时取）式的等号两边同时取极限极限

39、 ，根据，根据“两个相等的函数取两个相等的函数取极极限后仍相等限后仍相等”，得，得 瞬时速度瞬时速度=再根据再根据“两个函数和的极限等于极限的两个函数和的极限等于极限的和和”，得，得然后再求极限得然后再求极限得 0t)(21(lim00tggtt)(21limlim)(21(lim00000tggttggtttt000gtgt57 上述过程所得结论与牛顿原先的结论上述过程所得结论与牛顿原先的结论是一样的，但每一步都有了严格的逻辑基是一样的，但每一步都有了严格的逻辑基础。础。“贝克莱悖论贝克莱悖论”的焦点的焦点“无穷小量无穷小量 是是不是不是0？”，在这里给出了明确的回答：，在这里给出了明确的回

40、答： 。 这里也没有这里也没有“最终比最终比”或或“无限趋近无限趋近于于”那样含糊不清的说法。那样含糊不清的说法。0tt58 总之，第二次数学危机的核心是微积分的基础总之，第二次数学危机的核心是微积分的基础不稳固。柯西的贡献在于，将微积分建立在极限论不稳固。柯西的贡献在于，将微积分建立在极限论的基础。魏尔斯特拉斯的贡献在于，逻辑地构造了的基础。魏尔斯特拉斯的贡献在于，逻辑地构造了实数系，建立了严格的实数理论，使之成为极限理实数系，建立了严格的实数理论，使之成为极限理论的基础。所以，论的基础。所以，建立数学分析（或者说微积分）建立数学分析（或者说微积分）基础的基础的“逻辑顺序逻辑顺序”是：是：

41、实数理论实数理论极限理论极限理论微积分。微积分。 而而“历史顺序历史顺序”则正好相反。则正好相反。59知识的知识的逻辑顺序逻辑顺序与与历史顺序历史顺序有时是有时是不同不同的的.60 三、第三次数学危机三、第三次数学危机 1“数学基础数学基础”的曙光的曙光集合论集合论 到到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何的出现使几何理论更加扩展和完善；实数理论（和的出现使几何理论更加扩展和完善；实数理论（和极限理论）的出现使微积分有了牢靠的基础；群的极限理论）的出现使微积分有了牢靠的基础；群的理论、算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更理论、算术公理的出现使算术、代数

42、的逻辑基础更为明晰，等等。人们水到渠成地思索：整个数学的为明晰，等等。人们水到渠成地思索：整个数学的基础在哪里？正在这时，基础在哪里？正在这时，19世纪末，集合论出现了。世纪末，集合论出现了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。61 其理由是：算术以整数、分数等为对象，微积分其理由是：算术以整数、分数等为对象，微积分以变数、函数为对象，几何以点、线、面及其组成以变数、函数为对象，几何以点、线、面及其组成的图形为对象。同时，用集合论的语言，算术的对的图形为对象。同时，用集合论的语言，算术的对象可说成是象可说成是“以整数、分数等组成的以整数、分数

43、等组成的集合集合”；微积；微积分的对象可说成是分的对象可说成是“以函数等组成的以函数等组成的集合集合”；几何；几何的对象可说成是的对象可说成是“以点、线、面等组成的以点、线、面等组成的集合集合”。这样一来，这样一来，都是以集合为对象都是以集合为对象了。了。集合成了更基本集合成了更基本的概念。的概念。62 于是，集合论似乎给数学家带来了曙光：于是，集合论似乎给数学家带来了曙光：可能会一劳永逸地摆脱可能会一劳永逸地摆脱“数学基础数学基础”的危机。的危机。尽管集合论自身的相容性尚未证明，但许多尽管集合论自身的相容性尚未证明，但许多人认为这只是时间问题。庞加莱甚至在人认为这只是时间问题。庞加莱甚至在1

44、900年巴黎国际数学家大会上宣称：年巴黎国际数学家大会上宣称：“现在现在 我们可以说，完全的严格性已经达到了！我们可以说，完全的严格性已经达到了！”63 2算术的集合论基础算术的集合论基础 1）人们按下列逻辑顺序把全部数学的基）人们按下列逻辑顺序把全部数学的基础归结为算术，即归结为非负整数，即自然数础归结为算术，即归结为非负整数，即自然数集合加上集合加上0现在我国中小学就把这一集合现在我国中小学就把这一集合称为自然数集合。称为自然数集合。（算术）非负整数（算术）非负整数n有理数有理数 实数实数 复数复数 图形图形()nm 取极限11 ba 解析几何64 因此，全部数学似乎都可归结为非负整数了，

45、因此，全部数学似乎都可归结为非负整数了，或者说，或者说，全部数学都可以归结为算术了。全部数学都可以归结为算术了。 这样，如果能把算术建立在集合论的基础上，这样，如果能把算术建立在集合论的基础上，就相当于解决了整个就相当于解决了整个“数学基础数学基础”的问题。的问题。 法国数学家、数理逻辑先驱法国数学家、数理逻辑先驱弗雷格弗雷格（G.Frege,18481925）就做了这样的工作。他写）就做了这样的工作。他写了一本名叫了一本名叫算术基础算术基础的书。的书。65弗雷格弗雷格算术基础算术基础66 2) 弗雷格的弗雷格的算术基础算术基础 为了使算术建立在集合论的基础上，所为了使算术建立在集合论的基础上

46、，所有的非负整数，都需要用集合论的观点和语有的非负整数，都需要用集合论的观点和语言重新定义。言重新定义。 首先从首先从0说起。说起。0是什么？是什么？ 应当先回答应当先回答0是什么，然后才有表示是什么，然后才有表示“0”的符号。的符号。67 为此，先定义为此，先定义“空集空集”。空集是。空集是“不含元不含元素的集合素的集合”。例如，。例如，“ 方程方程 在实在实数集中的根的集合数集中的根的集合 ”就是一个空集，再例就是一个空集，再例如如“由最大的正整数组成的集合由最大的正整数组成的集合”也是一个也是一个空集。空集。210 x 68 所有的空集放在一起，作成一个集合的所有的空集放在一起，作成一个

47、集合的集合集合，（为说话简单我们把，（为说话简单我们把“集合的集合集合的集合”称作类），这个类，就可以给它一个符号：称作类），这个类，就可以给它一个符号：0，中国人念中国人念“ling”，英国人念，英国人念“Zero”。 空集是空的，但由所有空集组成的类，空集是空的，但由所有空集组成的类，它本身却是一个元素了，即，它本身却是一个元素了，即，0是一个元素了。是一个元素了。由它再作成一个集合由它再作成一个集合0，则不是空集了。，则不是空集了。69 弗雷格再定义两个集合间的弗雷格再定义两个集合间的双射双射：既是满射又是：既是满射又是单射的映射叫作双射，也称单射的映射叫作双射，也称可逆映射可逆映射；通

48、俗地说，；通俗地说，就是存在逆映射的映射。它可以在两个集合间来回就是存在逆映射的映射。它可以在两个集合间来回地映射，所以一般称为地映射，所以一般称为“双射双射”。 弗雷格再定义弗雷格再定义两个集合的两个集合的“等价等价”： ， 能够在其间建立双射的两个集合能够在其间建立双射的两个集合A、B称为称为“等等价价”。AB 可逆映射70 下边可以定义下边可以定义“1”了。把了。把与集合与集合0等价等价的所有集合放在一起，作成一个集合的集合。的所有集合放在一起，作成一个集合的集合。这个类，就可以给它一个符号：这个类，就可以给它一个符号：1。 再定义再定义“2”。把。把与集合与集合0，1等价的所有等价的所

49、有集合放在一起，作成一个集合的集合。这个集合放在一起，作成一个集合的集合。这个类，就叫：类，就叫：2。 然后，把然后，把与与0，1，2等价的集合作成的等价的集合作成的类，叫：类，叫：3。71 一般地，在有了一般地，在有了0，1，2，n的的定义后，就把所有定义后，就把所有与集合与集合0，1，2，n 等 价 的 集 合 放 在 一 起 ， 作 成 集 合 的 集等 价 的 集 合 放 在 一 起 ， 作 成 集 合 的 集合，这样的类，定义为：合，这样的类，定义为：n+1。 这种定义概念的方法，叫作这种定义概念的方法，叫作“归纳定归纳定义义”的方法。的方法。72 这样，弗雷格就这样，弗雷格就从空集

50、出发，而仅仅从空集出发，而仅仅用到用到集合集合及及集合等价集合等价的概念的概念，把全部非负，把全部非负整数定义出来了。于是根据上边说的整数定义出来了。于是根据上边说的“可可以把全部数学归结为非负整数以把全部数学归结为非负整数”，就可以，就可以说，说，全部数学可以建立在集合论的基础上全部数学可以建立在集合论的基础上了。了。73 3 罗素的罗素的“集合论悖论集合论悖论”引发危机引发危机 1） 悖论引起震憾和危机悖论引起震憾和危机 正 当 弗 雷 格 即 将 出 版 他 的正 当 弗 雷 格 即 将 出 版 他 的 算 术 基算 术 基础础一书的时候，罗素的集合论悖论出来一书的时候，罗素的集合论悖论

51、出来了。这也是庞加莱宣布了。这也是庞加莱宣布“完全严格的数学完全严格的数学已经建立起来！已经建立起来！”之后刚刚两年，即之后刚刚两年，即1902年。年。74 伯特兰伯特兰罗素（罗素（1872-1970）Russell, Bertrand Arthur William(Third Earl Russell)出生年月：1872-1970 国籍：英国学科成就：学科成就：英国著名哲学家、数学家、逻辑学家，分析学的主要创始人，世界和平运动的倡导者和组织者。所获奖项：1950年诺贝尔文学奖。罗素罗素75 集合论中居然有逻辑上的矛盾！集合论中居然有逻辑上的矛盾！ 倾 刻 之 间 ， 算 术 的 基 础 动

52、摇 了 ， 整 个倾 刻 之 间 ， 算 术 的 基 础 动 摇 了 ， 整 个数 学 的 基 础 似 乎 也 动 摇 了 。 这 一 动 摇 所 带数 学 的 基 础 似 乎 也 动 摇 了 。 这 一 动 摇 所 带来 的 震 憾 是 空 前 的 。 许 多 原 先 为 集 合 论 兴来 的 震 憾 是 空 前 的 。 许 多 原 先 为 集 合 论 兴高 采 烈 的 数 学 家 发 出 哀 叹 ： 我 们 的 数 学 就高 采 烈 的 数 学 家 发 出 哀 叹 ： 我 们 的 数 学 就是建立在这样的基础上的吗？是建立在这样的基础上的吗？ 罗 素 悖 论 引 发 的 危 机 ， 就 称

53、 为 第 三 次罗 素 悖 论 引 发 的 危 机 ， 就 称 为 第 三 次数学危机。数学危机。76 罗 素 把 他 发 现 的 悖 论 写 信 告 诉 弗 雷罗 素 把 他 发 现 的 悖 论 写 信 告 诉 弗 雷格。弗雷格在他的格。弗雷格在他的算术基础算术基础一书的末一书的末尾无可奈何地写道：尾无可奈何地写道：“一个科学家遇到的一个科学家遇到的最 不 愉 快 的 事 莫 过 于 ， 当 他 的 工 作 完 成最 不 愉 快 的 事 莫 过 于 ， 当 他 的 工 作 完 成时，基础崩塌了。当本书即将印刷时，罗时，基础崩塌了。当本书即将印刷时，罗素先生的一封信就使我陷入这样的尴尬境素先生

54、的一封信就使我陷入这样的尴尬境地。地。”77 2） 罗素悖论罗素悖论 在 叙 述 罗 素 悖 论 之 前在 叙 述 罗 素 悖 论 之 前 , 我 们 先 注 意 到我 们 先 注 意 到下边的事实：一个集合或者是它本身的成下边的事实：一个集合或者是它本身的成员员(元素元素),或者不是它本身的成员或者不是它本身的成员(元素元素)，两者必居其一。罗素把前者称为两者必居其一。罗素把前者称为“异常集异常集合合”，把后者称为，把后者称为“正常集合正常集合”。78 例如例如,所有抽象概念的集合，本身还是抽象概念。所有抽象概念的集合，本身还是抽象概念。即，它是这一集合本身的元素，所以是即，它是这一集合本身

55、的元素，所以是“异常集合异常集合”。但是，所有人的集合，不是人，即，它不是这一集合但是，所有人的集合，不是人，即，它不是这一集合本身的元素，所以是本身的元素，所以是“正常集合正常集合”。 再例如，所有集合的集合，本身还是集合，即，再例如，所有集合的集合，本身还是集合，即，它是这一集合本身的元素，所以是它是这一集合本身的元素，所以是“异常集合异常集合”。但。但是，所有星星的集合不是星星，即，它不是这一集合是，所有星星的集合不是星星，即，它不是这一集合本身的元素，所以是本身的元素，所以是“正常集合正常集合”。79罗素当年的例子罗素当年的例子“异常集合异常集合” 1： 不多于不多于29个字母表达的句

56、子所构成的集合个字母表达的句子所构成的集合“异常集合异常集合” 2： 不是麻雀的东西所构成的集合不是麻雀的东西所构成的集合80 罗素悖论是：罗素悖论是：以以 表示表示“是其本身成员的是其本身成员的所有集合的集合所有集合的集合”（所有异常集合的集合），（所有异常集合的集合），而以而以 表示表示“不是它本身成员的所有集合的集不是它本身成员的所有集合的集合合”（所有正常集合的集合），于是任一集合（所有正常集合的集合），于是任一集合或者属于或者属于 ，或者属于，或者属于 ，两者必居其一，且，两者必居其一，且只居其一。然后问：集合只居其一。然后问：集合 是否是它本身的是否是它本身的成员？（集合成员？（集

57、合 是否是异常集合？）是否是异常集合？）MMNNNN81 如果如果 是它本身的成员，则按是它本身的成员，则按 及及 的的定定义，义， 是是 的成员，而不是的成员，而不是 的成员，即的成员，即 不不是它本身的成员，这与假设矛盾。即是它本身的成员，这与假设矛盾。即 如果如果 不是它本身的成员，则按不是它本身的成员，则按 及及 的定义，的定义， 是是 的成员，而不是的成员，而不是 的成员，即的成员，即 是它本身的成员，这又与假设矛盾。即是它本身的成员，这又与假设矛盾。即 悖论在于：悖论在于：无论哪一种情况，都得出矛盾。无论哪一种情况，都得出矛盾。NMNNMNNNNNMNNNMNNNMN()NNNNN

58、M82 罗素悖论的通俗化罗素悖论的通俗化“理发师悖论理发师悖论”：某村的一：某村的一个理发师宣称，他给且只给村里自己不给自己刮脸的个理发师宣称，他给且只给村里自己不给自己刮脸的人刮脸。问：理发师是否给自己刮脸？人刮脸。问：理发师是否给自己刮脸？ 如果他给自己刮脸，他就属于自己给自己刮脸的如果他给自己刮脸，他就属于自己给自己刮脸的人，按宣称的原则，理发师不应该给他自己刮脸，这人，按宣称的原则，理发师不应该给他自己刮脸，这与假设矛盾。如果他不给自己刮脸，他就属于自己不与假设矛盾。如果他不给自己刮脸，他就属于自己不给自己刮脸的，按宣称的原则，理发师应该给他自己给自己刮脸的，按宣称的原则，理发师应该给

59、他自己刮脸，这又与假设矛盾。刮脸，这又与假设矛盾。83 4 危机的消除危机的消除 危机出现以后，包括罗素本人在内的许多数学危机出现以后，包括罗素本人在内的许多数学家作了巨大的努力来消除悖论。当时消除悖论的选家作了巨大的努力来消除悖论。当时消除悖论的选择有两种，一种是抛弃集合论，再寻找新的理论基择有两种，一种是抛弃集合论，再寻找新的理论基础，另一种是分析悖论产生的原因，改造集合论，础，另一种是分析悖论产生的原因，改造集合论，探讨消除悖论的可能。探讨消除悖论的可能。 人们选择了后一条路，希望在消除悖论的同人们选择了后一条路，希望在消除悖论的同时，尽量把原有理论中有价值的东西保留下来。时，尽量把原有理论中有价值的东西保留下来。84 这种选择的理由是，原有的康托集合论虽然简这种选择的理由是，原有的康托集合论虽然简明，但