有理函数积分.

1、第四节第四节 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ;分部积分法 初等函数求导初等函数积分一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例有理函数的积分本节内容: 第四四章 一、 有理函数的积分)()()(xQxPxR nnnaxaxa110mmmbxbxb110有理函数:nm 时,)(xR为假分式;nm 时,)(xR为真分式有理函数相除多项式 + 真分 式分解其中部分分式的形式为kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,N(2qpk若干部分分式之和1. 有理函数的分解（1）分母中若有因式 ，则分解后为()kxa 122,()()kkAAAxaxaxa有理函数化为部分分式之和的一般规律：

2、特殊地：1,k 分解后为.Axa 其中 都是常数12,kA AA注注:关于部分分式分解如对1()kxa 进行分解时1()kxa 122,()()kkAAAxaxaxa例如221(1)1ABCxxxxx一项也不能少，因为通分后分子上是 的 次多项式，可得到 个方程，定出 个系数，否则x1k kk将可能会得到矛盾的结果.2(1)(1)1Ax xB xCx001ACABB 111ABC 但若221(1)1ABxxxx2(1)1A xBx0,1AA矛盾（2）分母中若有因式 ，其中2()kxpxq则分解后为240,pq 11222222()()kkkM xNM xNM xNxpxqxpxqxpxq 特殊

3、地：1,k 分解后为2.MxNxpxq 其中 都是常数,iiMN(1,2, )ik 例例1. 将下列真分式分解为部分分式 :;) 1(1) 1 (2xx;653)2(2xxx.)1)(21 (1)3(2xx解解: (1) 用拼凑法22) 1() 1(1xxxx2) 1(1x) 1(1xx2) 1(1x) 1( xx2) 1(1x11xx1) 1( xx) 1( xx(2) 用赋值法6532xxx)3)(2(3xxx2xA3xB故25x原式36x3(3)(2)xA xB x 223(3)(2)xxxA xB x 5A 333(3)(2)xxxA xB x 6B (3) 比较系数法)1)(21 (

4、12xx xA2121xCBx20AB20BC52B51C原式 =x214512112xx2221(2 )(2 )()(12 )(1)(12 )(1)AB xBC xACxxxx 1AC45A 2. 有理函数的积分 CaxAln) 1( nCaxnAn1)(1xaxAd. 1xaxAnd)(. 2xqxpxNxMd. 32xqxpxNxMnd)(. 42) 1,04(2nqp变分子为 )2(2pxM2pMN 再分项积分 四种典型部分分式的积分:讨论积分2,()nMxNdxxpxq 222,24ppxpxqxq令2pxt22,4paq,2MpbN则2()nMxNdxxpxq 22()nMtdtt

5、a 22()nbdtta 222,xpxqta,M xNM tb记(2)1,n 2()nMxNdxxpxq 2212(1)()nMnta 221.()nbdtta 这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数.结论结论有理函数的原函数都是初等函数.(1)1,n 2MxNdxxpxq 2ln()2Mxpxq2arctan;pxbCaa 22(,)42pMpaqbN递推公式注意注意 以上介绍的虽是有理函数积分的普遍方法，但对一个具体问题而言，未必是最简捷的方法，应首先考虑用其它的简便方法.如231xdxx 使用凑微分法比较简单基本思路基本思路尽量使分母简单降幂、拆项、同乘等化部分分式，写成分项积分可

6、考虑引入变量代换例例2. 求积分 21.(1)dxx x 21(1)dxx x 2111(1)1dxxxx 2111(1)1dxdxdxxxx1lnln(1).1xxCx 解：解：例例3. 求.)1)(21 (d2xxx解解: 已知)1)(21 (12xx51x214212xx211xxx21)21 ( d52原式221)1 ( d51xx21d51xxx21ln52)1 (ln512xCxarctan51例例4. 求.d3222xxxx解解: 原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2() 1() 1d(3xxCx21arctan23思考思考:

7、 如何求?d)32(222xxxx提示提示: 变形方法同例4 xxxd)4)(1(22)4() 1(22xx例例5. 求.d4555222423xxxxxxIxxxxxId4552243xxxxd455224245)55d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xCxarctan解解:说明说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法. 例例6. 求.d)22(222xxxx解解: 原式xxxd)22(22)22(2 xx)22(x1) 1(d2xx222)22()22d(xxxx) 1arctan( x2212

8、xxC例例7. 求解解: 原式xxd14) 1(2x) 1(2 x211d4xx2arctan2211xx21221 ln21xx21xxCxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx 2)(2121xx)d(1xx 注意本题技巧注意本题技巧xx21arctan2212Cxxxx1212ln24122)0( x按常规方法较繁按常规方法较繁按常规方法解:1d4xx第一步 令)(1224dxcxbxaxx比较系数定 a , b , c , d . 得) 12)(12(1224xxxxx第二步 化为部分分式 . 即令) 12)(12(111224xxxxx121

9、222xxDxCxxBxA比较系数定 A , B , C , D .第三步 分项积分 .此解法较繁 !二二 、可化为有理函数的积分举例、可化为有理函数的积分举例设)cos,(sinxxR表示三角函数有理式 ,xxxRd)cos,(sin令2tanxt 万能代换t 的有理函数的积分1. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分则sin2sincos22xxx 22tan2sec2xx 22tan2,1tan2xx 22coscossin22xxx 221tan2sec2xx 221tan2,1tan2xx 令tan2xu 22sin,1uxu 221cos,1uxu 2arctanxu 221d

10、xduu (sin ,cos )Rxx dx 2222212,.111uuRduuuu （万能置换公式）例例8. 求.d)cos1 (sinsin1xxxx解解: 令,2tanxt 则222222cossincossin2sinxxxxx222tan1tan2xx212tt22222222cossinsincoscosxxxxx2222tan1tan1xx2211ttxdttd122xxxxd)cos1 (sinsin1 2121tt212tt)1 (2211ttttd212tttd122121221tt 2tlnC2tan412x2tanxCx2tanln21例例9. 求.)0(cossin

11、d2222baxbxax解解: 原式xxd2cos1222tanbxa222)(tantand1abxxa)tanarctan(1xbabaC说明说明: 通常求含xxxxcossincos,sin22及的积分时,xttan往往更方便 .的有理式用代换例例10. 求积分41.sindxx 解法解法 1：tan,2xu 41sindxx 24641338uuuduu 331133833uuCuu331331tantan.822428tan24 tan22xxCxx 解法解法 2：tanux 令2sin,1uxu 21,1dxduu 41sindxx 4221111duuuu 241uduu 311

12、3Cuu 31cotcot.3xxC 解法解法 3：可以不用万能置换公式.41sindxx 22csc(1cot)xx dx 222csccotcscxdxxxdx)(cot xd 31cotcot.3xxC 结论结论比较以上三种解法, 便知万能置换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能置换.如cos1sinxdxx 若用万能代换，则222cos121sin(1) (1)xtdxdtxtt 化部分分式比较困难但若是凑微分，则比较简单cos1sinxdxx 1(1sin )1sindxx ln(1sin )xC基本思路基本思路2. 简单无理函数的积分简单无理函数

13、的积分,d),(xbaxxRn令nbxat,d),(xxRndxcbxa令ndxcbxat被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:,d),(xbaxbaxxRmn,pbxat令., 的最小公倍数为nmp例例13. 求.21d3xx解解: 令,23xu则,23 uxuuxd3d2原式u123uuduuud11) 1(32uuud)111(33221uuu1lnC3223)2( x323x321ln3xC例例14. 求.d3xxx解解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的最小公倍数 6 ,6tx 则有原式23tttt d65ttttd)11

14、1(626331t221ttt1lnCCxxxx)1(ln6632663令例例15. 求.d11xxxx解解: 令,1xxt则,112tx22) 1(d2dtttx原式原式tt) 1(2tttd) 1(222tttd1222t211lnttCxx12Cxxx1122ln例例16. 求积分.3121xdxxx 解：解：先对分母进行有理化原式( 3121)( 3121)( 3121)xxxdxxxxx ( 3121)xxdx 131 (31)3xdx 121 (21)2xdx 332221(31)(21).93xxC内容小结内容小结1. 可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2. 特殊类型的积分按上述方法虽然