第二讲模糊控制的理论基础

1、第第2章章 模糊控制的理论基础模糊控制的理论基础第二节第二节 模糊集合模糊集合(1)列举法：将集合的元素全部列出的方法。列举法：将集合的元素全部列出的方法。(2)定义法：用集合中元素的共性来描述集定义法：用集合中元素的共性来描述集 合的方法。合的方法。(3)归纳法：通过一个递推公式来描述一个归纳法：通过一个递推公式来描述一个集合的方法。集合的方法。(4)特征函数表示法：利用经典集合论非此特征函数表示法：利用经典集合论非此即彼的明晰性来表示集合。因为某一集合即彼的明晰性来表示集合。因为某一集合中的元素要么属于这个集合，要么就不属中的元素要么属于这个集合，要么就不属于这个集合。于这个集合。例例1

2、设集合设集合U由由1到到5的五个自然数组成，的五个自然数组成，用上述前三种方法写出该集合的表达式。用上述前三种方法写出该集合的表达式。解：解：(1)列举法列举法 U=1,2,3,4,5(2)定义法定义法 U=u|u为自然数且为自然数且1 u 5(3)归纳法归纳法 U=ui+1=ui+1, i=1,2,3, 4, u1=11( )0UuUTuuU特征函数表示法：集合特征函数表示法：集合U通过特征函数来通过特征函数来TU(u)表示表示 经典集合论中任意一个元素与任意一经典集合论中任意一个元素与任意一个集合之间的关系，只是个集合之间的关系，只是“属于属于”或或“不不属于属于”两种，两者必居其一而且只

3、居其一。两种，两者必居其一而且只居其一。它描述的是有明确分界线的元素的组合。它描述的是有明确分界线的元素的组合。 用经典集合来处理模糊性概念时，就不行。用经典集合来处理模糊性概念时，就不行。模糊集合的模糊概念模糊集合的模糊概念天气冷热天气冷热雨的大小雨的大小风的强弱风的强弱人的胖瘦人的胖瘦年龄大小年龄大小个子高低个子高低经典集合对事物只用经典集合对事物只用1、0简简单地表示单地表示“属于属于”或或“不属于不属于”的分的分类；而模糊集合则用类；而模糊集合则用“隶属度隶属度(Degree of membership)”来描述元素的隶属程来描述元素的隶属程度，隶属度是度，隶属度是0到到1之间连续变化

4、的值。之间连续变化的值。模糊集合模糊集合特征函数特征函数隶属度函数（隶属度函数（01连续变连续变化值）化值）模糊集定义模糊集定义。0 .100 . 1 ,xRxxA)(xAAxAxxA01)(AxAxAxxA0)1 , 0(1)(的程度属于)(xA)(xA)(xA模糊集概念模糊集概念 举例举例经典集合经典集合模糊集合模糊集合(1) U为离为离散的散的(1) U为离为离散的散的 8 7 6 5 4 3 2 14cmCA长度大于长度大于4cm的线段的线段 则：则： CA =8,7,6,5 即：即： A长线段长线段 则：则： A=?根据线段根据线段越短属于长线段的隶属度递减可越短属于长线段的隶属度递

5、减可以以设：设：othersuuCA05 , 6 , 7 , 81)(71181)(iiuAi 8 7 6 5 4 3 2 14cm 1 2 3 4 5 6 7 81 1 2 3 4 5 6 7 81iixxxA/2211),( ,),(),(2211iixxxAxxAA/ )(AAuCA学习差学习好01)(,0.850.95,0.90A 100/)(xxA1002552512500)(12xxxxY200, 0X02040608010012000.10.20.30.40.50.60.70.80.91X YearsDegree of membership0)(uAA1)(uEAA)()(uuB

6、ABA)(1)(uuAAAA2 . 08 . 01)(0uA0u8 . 0)(0uA0u)()(uuABAB)()()(),(max()(uuuuuBABABABA)()()(),(min()(uuuuuBABABABAAABABABABA43215 .08 .02 .09 .0uuuuA43216 .04 .01 .03 .0uuuuB43216 . 08 . 02 . 09 . 0uuuuBA43215 .04 .01 .03 .0uuuuBA1)()(uuAA0)()(uuAA4 .0)(uA6 . 04 . 01)(uA16 . 06 . 04 . 0)()(uuAA04 . 06 .

7、 04 . 0)()(uuAA)(),()(xxMinxBAc)()()(xxxBAc1)()(, 0)(xxMaxxBAc)(),()(xxMaxxBAc)()()()()(xxxxxBABAc)()(, 1)(xxMinxBAc)(1 ()(1 (1)()()(1xxxxxBABAc)()()(xxxBAc)()()()()(xxxxxBABAc第三节第三节 隶属函数隶属函数222)(),(cxecxfc), gaussmf(x,bacxcbaxf211),(c)b,a,gbellmf(x,)(11),(cxaecaxfdxdxccdxdcxbbxaabaxaxdcbaxf010),(d)

8、c,b,a,trapmf(x,cxcxbbcxcbxaabaxaxcbaxf00),(c)b,a,trimf(x,b)a,zmf(x,01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91trimf,P=3 6 801234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91trimf,P=2 4 601234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91trimf,P=2 401234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91trimf,P=1 5 7 801234567891000.10

9、.20.30.40.50.60.70.80.91trimf,P=3 6 801234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91trimf,P=3 7-3-2-1012300.20.40.60.81xDegree of membership010203040506070809010000.20.40.60.81gradeDegree of membershipEDCBA隶属度函数是模糊隶属度函数是模糊控制的应用基础控制的应用基础如何确定如何确定隶属函数隶属函数?初步确定隶属初步确定隶属函数函数自学习修改和自学习修改和完善完善隶属函数的选择方法隶属函数的选择方法模糊统

10、模糊统计法计法例证法例证法专家经专家经验法验法二元对比二元对比排序法排序法NAu试验总次数的次数00u模糊与概率 Fuzzy systems and probability operate over the same numeric range. 0，1.0. both describe uncertainty The probabilistic approach yields(描述) the natural-language statement, “There is an 80% chance that John is balding.” The fuzzy terminology(术语)

11、corresponds to “Johns degree of membership within the set of balding people is 0.80.” 模糊和概率 是否不确定性就是随机性？概率的概念是否包含了所有的不确定性的概念？ Bayesian camp：概率是一种主观的先验知识，不是一种频率 和客观测量值(赌博为例，赌徒总认为他所认为事件概率大) Lindley：概率是对不确定性唯一有效并充分的描述，所有其 他方法都是不充分的(直接指向模糊理论) 随机和模糊在概念和理论上都是有区别的 相似：通过单位间隔0,1间的数来表述不确定性，都兼有集 合和命题的结合律、交换律、分

12、配律 区别：对待 。经典集合论， 代表概率上不可能的事件。而模糊建立在, ()( )0ccAAP AAPcAAcAA第四节第四节 模糊关系模糊关系 功功课课 姓姓名名英英语语数数学学物物理理化化学学张三70908065李四90857670王五50958580100)(uu 功功 课课 姓姓 名名英英 语语数数 学学物物 理理化化 学学张 三0.700.900.800.65李 四0.900.850.760.70王 五0.500.950.850.8080.085.095.050.070.076.085.090.065.080.090.070.0R)(ijaA )(ijbB nji, 2 , 1,（

13、1）相等若ijijba ，则A=B。（2）包含若ijijba ，则AB。例例3-10 设设9 . 03 . 01 . 07 . 0A1 . 02 . 09 . 04 . 0B（3）并运算若ijijijbac，则)(ijcC为A和B的并，记为C=AB。（4）交运算若ijijijbac，则)(ijcC为A和B的交，记为C=AB。（5）补运算若ijijac1，则)(ijcC为A的补，记为C=A。9 . 03 . 09 . 07 . 01 . 09 . 02 . 03 . 09 . 01 . 04 . 07 . 0BA1 . 02 . 01 . 04 . 01 . 09 . 02 . 03 . 09

14、. 01 . 04 . 07 . 0BA1 . 07 . 09 . 03 . 09 . 013 . 011 . 017 . 01Akjikkijbac例例 3-11 设，设， ，22211211aaaaA22211211bbbbB22211211ccccBAC)b(a)ba (c2112111111)b(a)ba (c2212121112)b(a)ba (c2122112121)b(a)ba (c2222122122当3 . 05 . 07 . 08 . 0A，9 . 06 . 04 . 02 . 0B时，有 4 . 03 . 07 . 06 . 0BA 6 . 06 . 03 . 04 .

15、0AB 可见，ABBA。 第五节第五节 模糊推理模糊推理语言变量 语言变量。 可可用一个有五个元素的集合(x,T(x),X,G,M)来表征，其中x是语言变量名；T(x)为语言变量x的语言值或语言术语集合；X为语言变量x的论域；G为产生T(x)中术语的句法规则，用于产生语言变量值的；M是赋予每个语言值A以含义M(A)的语法规则，即隶属度函数。 T(年纪）=年轻，不年轻，不很年轻, 中年，不是中年, 年老，非常年老, 不年轻也不老,.模糊语言变量的取值是模糊集合语言变量 T（年纪）中的每一个术语可表征为论域X=0，100上的模糊集合，通常我们用“年纪是青的”来表示给语言变量“年纪”赋以语言值“年轻

16、“。相反，当将年纪作为一个数值变量，使用表达式”年纪=20”来赋予数值变量“年纪”以数值20。语言变量010203040506070809010000.51X = ageMembership GradesOldVeryOldYoungVeryYoungMiddle Aged句法规则：通过否定词（不）或程度词（非常、或多或少）来修饰句法规则：通过否定词（不）或程度词（非常、或多或少）来修饰几个基本术语（年轻，年老，中年）来产生句法规则。几个基本术语（年轻，年老，中年）来产生句法规则。压缩与扩张算子压缩与扩张算子 XkAkxxA/K1,压缩（很）；压缩（很）；kB表示X*Y上的模糊关系R，则由“x

17、是A/”和模糊规则“如果X是A，则Y是B”导出的模糊集合B/定义为： ),(),(minmax)(yxxyRAxB对于单一前件的单一规则ByBythenAxifAx是结果（结论）是是（规则）前提是（事实）前提 , 2 1复合运算）（minmax )( )()()( )()()()(yyxxyxxyBBAAxBAAxB模糊推理 对于多个前件的单一规则 具有两个前件的模糊if-then规则通常写为“如果x是A，y是B，则z是C”，GMP（广义假言推理）相应的问题为： 前提1（事实）x是A/，y是B/ 前提2（规则）如果x是A，y是B，则z是C 后件（结论）z是C/。)()()()()()(zyyx

18、xycBByAAxB2. 多前提单规则多前提单规则)()( )()()()()( )()()()()( )()()()()()(21,zzyyxxzyxyxzyxyxycCBByAAxCBABAyxCBABAyxB，上式的前半部分称为上式的前半部分称为激励程度或满足度激励程度或满足度，表示前件部分被满足的程度。，表示前件部分被满足的程度。CzCthenByAxifCthenByAxifByAx是结果（结论）是是和是）（规则前提是是和是）（规则前提是是（事实）前提 Z, 23 Z, 12, 12221113) 多前提多规则多前提多规则1C1C2C2CC )()()()()( )()()()()(

19、)(2122211122211211CCCBABAyxCBABAyxBzyxyxzyxyxy）（）（，212121CC )()( )()(RBARBARRBAC隶属函数的计算：隶属函数的计算：模糊推理 前两部分称为激励强度和饱和度，表示规则前件部分被满足的程度。 模糊推理过程可分为四步 1.计算匹配度 2.计算激励度（某个规则激励程度） 3.对规则的后件作用激励强度，生成有效的后件的MF表示在一个模糊隐含句中 4.综合所有的有效后件，求得总输出MF模糊推理系统 模糊推理系统是建立在模糊集合理论，模糊if-then规则和模糊推理等概念基础之上的先进的计算框架。 模糊推理系统包括三部分：规则库；数

20、据库，所有隶属度函数；推理机制。模糊推理系统规则库推理机去模糊器模糊器精确输入精确输出模糊输入集合模糊输出集合模糊推理系统单点模糊化单点模糊化),()(0)( ; 1)( yxxyxxxxxxABABAA。时，时，即：是单点模糊器，输入模糊集合非单点模糊化非单点模糊化lGplAlAxxXxBpxxApxAxAAxAAAlppXpXxxxxyxxxxpxxxAlxxxxxxxxxxA )()( )()(sup)( )()()( )()()( )( 0)( ; 1)( 211111111简写：的维数）。是（可写出：条规则，模糊集合对第为向量，逐渐减小。考虑），的变化（偏离随，时，时，即：是非单点模糊器，输入模糊集合例例3-9 设论域设论域x=a1，a2，a3，y=b1，b2，b3，z=c1，c2，c3，已知，已知 。试确定试确定“If A AND B then C”所决定的模糊关系所决定的模糊关系R，以及输，以及输入为入为 ,时的输出时的输出C1