直线、平面垂直的判定与性质知识点与题型归纳

1、直线、平面垂直的判定与性质知识点与题型归纳知识点精讲：1、定义：如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平而相 互垂直.2.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-13）表 8-13文字语言图形语言符号语言判断定理一条直线与一个平面 内的两条相交直线都 垂直，则该直线与此 平而垂直1ci.b u a all= I la bll aCb = P3%而，面=两个平面垂直，则在 一个平面内垂直于交LaLp a c 0 = a= b La线，而线的直线与另一个平 面垂直bu0 b La平行与垂直的关系1一条直线与两平行平 面中的一个平面垂 直，则该直线与另一 个平面也

2、垂直Z= a 1. J3/平行与垂直的关系2两平行直线中有一条 与平面垂直，则另一 条直线与该平面也垂 直?/aballb a Lab la3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8.14）表 8-14文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一平面的两 条直线平行g 二ba Ha a u 0a c = b =allb文字语言图形语言符号语言垂直与平行的关系垂直于同一直线 的两个平而平行aa a = all B 小句/i/aJ如果一条直线垂 直于一个平而，则 该直线与平面内 所有直线都垂直I _La,aua = /a线垂直于而的性质ZJ二、斜线在平面内的射影1 .斜线的定义一条直线与一

3、个平面相交，但不和这个平而垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和这个平面的交 点叫做斜足.2 .射影的定义过斜线上斜足以外的一点向平而引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.3 .直线与平而所成的角平而内的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.特别地，一条直线垂直于平而，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平而平行，或在平面内，我们 说它们所成的角是。的角，故直线与平面所成的角的范用是如图8-122所示，Q4是平面a的斜线，A为斜足；尸。是平面a的垂线，。为垂足：A是丛 在平而 a的射影，/尸4的大小即为直线PA与平面a所成的角的大小.三、平而与

4、平而垂直L二而角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平而叫做二面角的而；如图8.123所示，在二面角。一/一夕的棱/上任取一点,以点。为垂足，在半平面a和夕内分别作垂直于棱/的射线04和8,则射线0A和构 成的NA8叫做二面角的平面角，二面角的范围是0句,平而角是直角的二而角叫做直二面角.图 8-1232 .平面与平而垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平而垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直. （如图 8-124 所示，若&np = 8, 8_L,且 aDy = A5,=AB工BE,则c)图 8-124一般地，两个平

5、面相交，如果它们所成的二面角是直二而角，就说这两个平面互相垂直.3.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一 个平面的垂线，则 这两个平面垂直ba U句4.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则 一个平面内垂直 于交线的直线与 另一个平面垂直0aJ3 a r p = a buB = _L a/7b LaJa题型归纳及思路提示题型115证明空间中直线、平而的垂直关系 思路提示判定定理）判定定理）线_1线 件舫定理线_1而,。）： 而而垂直的性质（C/，用,7,2n尸=/=/,/）.（3）证明而面垂直的

6、方法而而垂直的定义：而而垂直的判定定理（aLAua=a_LZ7）空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图8-125所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心 位置.图 8-125题型讲解题型一、线线垂直证明线线垂直常用线而垂直的性质（线而垂直二线线垂直）.例 设凡”是两条直线，是两个平而，则人的一个充分条件是（）A. aa，b p , aLpB aLc力 j_ 2，a PC aua,b P a f/PD aua,b p aLp解析：举例排除法如图8-126所示，以正方体力用GR为模型，构造相应的直线和平而，利用排除法，选c.评注：此类问题可以转化为一个正方体的棱、而等, 进而进行判断.小P

7、A = AB变式L在正四棱锥P-ABCO中，2, M是中点，G是的重心，则在平面240中经过点G且与直线PM垂直的直线有多少条变式2：已知以户是两个不同的平而，是平而a及尸之外的两条不同直线，给出四个论断：团,”； a_L#：，:团工。.以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确 的一个命题变式3：在棱长为i的正方体力8c。一A4GR中，点F是棱,G的中点，点尸是正方体表面上的一点, 若则线段,的长度的取值范围是.例如图8-127所示，在直棱柱A8cO - A5GQ中，AClBDt垂足为E.求证：BD 1 A。分析：线而垂直的判定及性质进行转化.解析：在直棱柱一44GA中，

8、因为A4_L底而488,所以A4】_L8,又AC上BD .AC?nA4|=A,9，4Cu平面4c4内，所以3Z）_L平面力0儿，又平面内，故BD 1 4。评注：证明线线垂直的方法很多，除了平而几何（等腰三角形底边上的中线是高，勾股定理逆定理，菱 形对角线互相垂直等）中的，空间几何中的方法是线垂直于面的定义，三垂线定理及其逆定理，空间向量 等，究竟选用哪个，如果是平而垂直考虑前者，如果是异而垂直考虑后者，对于由线面垂直推导线线垂直, 如何确定线与而，这要求根据图形结构及条件选择一直线垂直于经过另一直线的平面.变式1：如图8-128所示，四棱锥S A3CQ的底而是正方形，SQJ_平而ABCD,点七

9、是SQ上异于。变式2：如图8-129所示，已知三棱锥P ABC中，P4_L平而ABC, AB_LAC, 2, N为A8上一点，AB = 4ANt加，分别为总和的中点.求证：CM ISN.图 8-129变式 3：如图 8-130 所示，在四而体48 中，0cl.OA, OCLOB9 NAO8 = 120。,AB且。4 = 8 = = 1,点P为AC的中点.求证：在A8上存在一点,使并计算AQ的值.例如图8-131所示，在长方形A8CO中，H8 = 2,8C = 1, E为CQ的中点，尸为线段七。上（端点除 外）一动点.现将沿4E折起，使平面A3。_L平面433,在平面内过点。作。K_L A8,

10、K为垂足,设4K = f,贝M的取值范围是.ffl 8-131分析：对这类动态问题要深入地抓住其中的定性，掌握变中不变的因素是解题的关键.就本题而言，在矩形 48CD中，引。K_LAE于M交48于K,在折起的过程中，DM,MK始终保持与AE垂直的关系，即0在平面ABC内的射影。始终保持着与M、K共线，所以我们可以把空间问题转化为平面问题，即在点尸的位置确定后，K的位置将固定不动，/值也不会因折起而变化，因 此在平面图形中，利用相似建立/的表达式，求其取值范围.解析：如图8.132 (a)所示，过K作KWLA产于点“，连接。M,易得DM工AF,与折前的图形相比，可知折前的图形中，三点共线，且。(

11、如图8-132(b)所示)，于是的长/,AK _ AD i _ 11所以AO o尸，即i OE,所以f df ,又DFwg),故飞0,1).评注：本题的解法为借助平而解决空间问题的典范，抓住面面垂直、线面垂直等空间问题的核心内容是解 答各种立体几何问题的基本思路.立体几何问题的基本思路.变式1如图8-133所示，正四而体A8CO中，棱长为5 例是8c的中点，尸在线段AM上运动(尸不与4M重合)，过点尸作直线平面A8C, /与平面8co交于点Q,给出下列命题：8C_L平而AMD；点。一定在直线。/上：-am。=40,其中正确的是().A B C 0图 8-133例如图8-134所示，在直三棱柱B

12、O A4G中，平面A/C_L侧而AABB求证：A8_L8C. 分析通过线而垂直，证明线线垂直.解析如图8-135所示，过点A在平面内作于点。，连接CO,则由平而AR。,侧面 AA叫则平而A8CA侧而4网=平，得AOL平面ABC,又BC u ABC ,所以AD，BC. 因为三棱柱AB。人蜴G是直三棱柱，故底面ABC,所以A4|_L8C,又441nA0 = A,从而 8CJ_侧面AA85,又A8u侧面故.Be评注垂而里而作垂线，有效地将面面垂直转化为线面垂直.变式1如图8-136所示，在三棱锥P-48C中，AC = BCt尸A = P8.求证：尸C_L48.二、线面垂直垂直关系中线而垂直是重点.垂

13、直两条相交线：垂直里面作垂线；,直（正）棱柱的侧棱是垂线； 线垂面部里找【正棱锥的顶点与底面的中心的连线是垂线（垂直面里所有线（证线线垂直）； 线垂而有何用过垂线作垂面（证面面垂直）.证明线面垂直常用两种方法.方法一：线面垂直的判定.线线垂直二 线面垂直，符号表示为：，山）,ale, bua, cua , bCc = P t那么_La 方法二：而面垂直的性质.面面垂直二 线面垂直，符号表示为：aP , aD/? = , oua, _L，那么”_L/7例 已知直线/和两个不同的平而则下列命题中正确的是（）.A 若/_Ld/_L4,则 aP8.若/&夕，则。/C.若/_La,a_L/?,则/D若/

14、,。,） 贝解析举反例排除法，如图8-137所示在正方体中，48/平面A8A ,AB/平面CD,而平面A8GR与平面相交，故选项8错；，平面从皿牝平面 BCClBl _L平面A8G。，而A。平面8CG5 ,故选项）错.故选A.图 8-137另解：由“垂直于同一条直线的两个平面平行”知选项A正确.变式1已知直线/上平面。，直线?u平面夕，有下而4个命题： a/7 = /J_z 24= /./ 2夕卬/? = a/月其中正确的命题是（）.A8.。变式2设，和是两条不同的直线，夕和夕是两个不同的平而，给出下列4个命题:若，加_La,3沿线段8。折起，使平面A3。，平面8co，构成三棱锥A-8a）,则

15、在三棱锥A 中，下列命题中正确的是（）.图&149A平而ABD L平而ABC8.平面ADC L平面BDCC.平面ABC _L平而BDCD平而A。-L平面ABC6 .在四面体产一 ABC中，D, E,尸分别是43, BC, C4的中点，下面四个结论中不成立的是（）.A BC/平面 PDFB.。尸 _L平面 A4EC平面PDF 平面A3CD.平面PAE 1平而ABC7 .”/表示直线，表示平而.若an4=4,则。, 若oua,。垂直于耳内任意一条直线，则aA；若a_L(, aC/ = at /?A/ = / 则4_1_生若a不垂直于平面夕，则“不可能垂直于平面夕内无数条直线；若 a_l_2, b

16、工。，a1/b,则。/户.上述五个命题中，正确命题的序号是.8 .已知24垂直于平行四边形A8CO所在的平面，若PC人BD ,则平行四边形A8CO一定 是:9 .己知四棱锥PA8C0的底而A8C0是矩形，PA_L底面A8CO,点瓦/分别是棱PC,P0的中点， 则棱A8与夕。所在的直线垂直：平而尸8c与平而A8CD垂直：CD的面积大于APAB的面积：直线AE与直线BF是异面直线.以上结论正确的是.(写出所有正确结论的编号)10 .平面口外有两条直线机和，如果？和在平面夕内的射影分别是和，给出下列四个命题：? _1_ =6_1_：?L = ? L ；相和相交二？和相交或重合：机和平行=？ 和相交或重合.其中不正确的命题个数是个.11 .如图 8-150 (a)所示，等腰梯形 A8CO中，AD/BC t AB = AD, ZABC = 60 ,七是 8c 的中点.将二钻石沿AE折起后如图8-150