大学物理第10章 稳恒磁场

1、110.1 电流电流密度电流电流密度10.2 磁场磁场 磁感应强度磁感应强度 磁场中的高斯定律磁场中的高斯定律10.3 毕奥毕奥萨伐尔定律及其应用萨伐尔定律及其应用10.4 安培环路定理安培环路定理 10.5 磁场对运动电荷和载流导线的作用磁场对运动电荷和载流导线的作用10.6 磁力的功磁力的功第第10章稳章稳 恒恒 磁磁 场场2 相对于观察者运动的电荷周围，不仅存相对于观察者运动的电荷周围，不仅存在电场，而且还存在磁场在电场，而且还存在磁场. 磁场的性质用磁感应强度这一物理量来磁场的性质用磁感应强度这一物理量来描述描述.磁感应强度通常随时间而改变磁感应强度通常随时间而改变. 若磁感应强度不随

2、时间而改变，则称为若磁感应强度不随时间而改变，则称为稳恒磁场稳恒磁场.310.1电流电流密度电流电流密度带电粒子的定向运动形成电流。带电粒子的定向运动形成电流。一、电流强度一、电流强度单位时间内通过某截面的电量。单位时间内通过某截面的电量。大小：大小：dtdqI 单位：安培（单位：安培（A）方向：规定为正电荷运动方向。方向：规定为正电荷运动方向。二、电流密度二、电流密度 描述导体内各点的电流分布情况描述导体内各点的电流分布情况电阻法探矿电阻法探矿4I E dSI定义：定义： 电流密度电流密度ndsdI j方向：方向：Ej/单位：单位： Am2若若ds的法线的法线n与与j成角成角,则通过则通过d

3、s的电流的电流n)(EjdS dS jdSdISdjjdS cos sIsdj即电流强度等于电流密度的通量。即电流强度等于电流密度的通量。510.2 磁场磁场 磁感应强度磁感应强度 高斯定律高斯定律 一、磁现象、磁场一、磁现象、磁场 天然磁石天然磁石同极相斥同极相斥,异极相吸异极相吸SNSN电流的磁效应电流的磁效应 18191820年丹麦物理学家年丹麦物理学家奥斯特首先发现奥斯特首先发现ISN6电子束电子束NS+FF I磁现象与运动电荷之间有着密切的联系。磁现象与运动电荷之间有着密切的联系。 1822年安培提出了年安培提出了 用用分子电流分子电流来解释磁性起源来解释磁性起源nINS电荷的运动是

4、一切磁现象的根源。电荷的运动是一切磁现象的根源。7运动电荷运动电荷磁场磁场对运动电荷有磁力作用对运动电荷有磁力作用磁磁 场场二、磁感应强度二、磁感应强度 0qFBmax 大小大小: :定义方法有定义方法有: 电流元、运动电荷、磁矩电流元、运动电荷、磁矩 磁场对运动电荷有磁力作用，该磁力与电荷的磁场对运动电荷有磁力作用，该磁力与电荷的电量、速度的大小及方向都有关电量、速度的大小及方向都有关. 方向方向: 小磁针在该点的小磁针在该点的N极指向极指向BmF 单位单位: T(特斯拉特斯拉) 1T104G (高斯高斯)8三、磁场中的高斯定理三、磁场中的高斯定理1.磁感应线磁感应线(磁力线磁力线) 磁力线

5、切线方向为该点磁场方向。磁力线切线方向为该点磁场方向。BaaBbbBccB 定量地描述磁场强弱定量地描述磁场强弱,B大小定义为：大小定义为： SB dSdBm实验中电流磁力线：实验中电流磁力线：9I直线电流磁力线直线电流磁力线I圆电流磁力线圆电流磁力线I通电螺线通电螺线管磁力线管磁力线(1)磁感应线都是环绕电流的闭合曲线，磁场磁感应线都是环绕电流的闭合曲线，磁场是涡旋场。是涡旋场。(2) 任意两条磁感应线在空间不相交。任意两条磁感应线在空间不相交。(3)磁感应线方向与电流方向遵守右螺旋法则磁感应线方向与电流方向遵守右螺旋法则102. 磁通量磁通量 穿过磁场中任一曲面的磁感应线条数，称为该曲穿过

6、磁场中任一曲面的磁感应线条数，称为该曲面的磁通量，用符号面的磁通量，用符号m表示。表示。 SBn SdBdm smsdB3.3.磁场中的高斯定理磁场中的高斯定理 SB smsdB ssdB0穿过穿过任意任意闭合曲面的磁通量为零闭合曲面的磁通量为零(1) 磁力线是无头无尾的闭合曲线，磁力线是无头无尾的闭合曲线，(2) 磁场是无源场磁场是无源场 (无磁单极存在无磁单极存在) 11*利用矢量分析中的奥利用矢量分析中的奥高定理高定理 0 VSdVBdivSdB磁感应强度的散度磁感应强度的散度BBdiv 00 BBdiv或或高斯定理的微分形式高斯定理的微分形式1210.3毕奥毕奥萨伐尔定律及其应用萨伐尔

7、定律及其应用 一、稳恒电流的磁场一、稳恒电流的磁场 1.电流元电流元lIdIplIdrBd2),sin(rrl dIdlkdB ,104170 AmTk 170104 AmT dB 的方向的方向)/(rl dBd 2004rrlIdBd 毕奥毕奥萨伐尔定律萨伐尔定律132.对一段载流导线对一段载流导线2004rrlIdBl 若若 =0或或 ，则，则dB=0， 即电流元不在自身方向上激发磁场。即电流元不在自身方向上激发磁场。若若 = /2，则，则dB最大最大 (其它因素不变下其它因素不变下)14二、运动电荷二、运动电荷的磁场的磁场在非相对论条件下的电场与磁场在非相对论条件下的电场与磁场电流的微观

8、形式电流的微观形式dtdl I 若载流子的数密度为若载流子的数密度为n，电量为，电量为q，运动速度为，运动速度为 ，则则dt时间内通过时间内通过s截面的电量截面的电量 dtdQI dtdtsnq qns 2004rrl dqnsBd 2004rrqnsdl 15电流元电流元Idl中载流子中载流子(运动电荷运动电荷)有有 dN个个sdlndN dtsn dNBdB 2004rdNrnsdlq )(2004rrqB 毕奥沙伐尔定毕奥沙伐尔定律的微观形式律的微观形式 Bqpr Bpr16磁矩磁矩:nSIpm Ipmn为线圈平面的法向单位矢量，其方为线圈平面的法向单位矢量，其方向与电流的环绕方向构成右

9、手螺旋向与电流的环绕方向构成右手螺旋三、载流线圈的磁矩三、载流线圈的磁矩 nSNIpm 017四、毕奥萨伐尔定律的应用四、毕奥萨伐尔定律的应用 1.载流直导线的磁场载流直导线的磁场 r xyz0Bd2 1 已知：真空中已知：真空中I、 1、 2、a取电流元取电流元Idl, 如图如图lIdP204sinrIdldB 所有电流元在所有电流元在P点产生的磁点产生的磁感应强度的方向相同感应强度的方向相同 204sinrIdldBll B设设0P=a,则则 : cosar cossin atgl 2cosdadl 18 coscoscos42220 LadaIB 120sinsin4 aIB 21cos

10、40 daI关于角的有关规定关于角的有关规定 以以OP为起始线为起始线, 角增加的方向与电流方向相角增加的方向与电流方向相同，则为正，反之，则为负。同，则为正，反之，则为负。 p01 2 p01 2 p01 2 19无限长无限长电流的磁场电流的磁场 2221 aIB 20 半无限长半无限长电流的磁场电流的磁场2021 aIB 40 直导线延长线上直导线延长线上电流的磁场电流的磁场 ? BIB20sin4rIdldB 0 0 dB0 B202.圆形电流轴线上的磁场圆形电流轴线上的磁场xR0yzx lIdrBdxdB dBP已知已知: R、I，求轴线上求轴线上P点的磁感应强度。点的磁感应强度。建立

11、坐标建立坐标, ,如图如图任取电流元任取电流元lId大小大小20042sin42rdlIrdlIdB 方向方向rlId 0cos2 dBdBR RxdBBB 2sindlrRrIR 220421232220320230)(224xRIRrIRdlrIRBR 轴线上任一点轴线上任一点P的磁场的磁场 232220)(2xRIRB 方向：方向： 右手螺旋法则右手螺旋法则圆电流中心的磁场圆电流中心的磁场 RIB20 0 1/n 圆电流的中心的磁场圆电流的中心的磁场RInB210 2004rrlIdBd 204RIdldB 204RIdlBL dRIRdRI 0002044 dRIB 0021222B例

12、例: 如图，如图，求圆心求圆心O点的点的RIB40 O OI IRRIB80 IO RRIRIB 2400 ORI OIR32 )(RIRIB231600 23例例: 相距相距d40 cm的两根平行长直导线的两根平行长直导线1,2放在真空放在真空中，每根导线载有电流中，每根导线载有电流I1=I2=20 A，如图所示，如图所示.求：求：(1) 两导线所在平面内与该两导线等距的点两导线所在平面内与该两导线等距的点A处的磁处的磁感应强度；感应强度；(2) 通过通过图中矩形图中矩形面积面积的的磁通量磁通量 (r1=r3=10 cm，r2=20 cm，l=25 cm).dlAr1r2r3I1I1rdr解

13、解: (1) I1、I2在在A点的磁场点的磁场221021dIBB T51002 .TBBBA5211004 .方向方向 (2) 如图取微元如图取微元BldrSdBdm 24)(rdIrIB 222010方向方向 ldrrdIrIdrrrmm 211222010)( 211201211022rrdrdlIrrrlI lnln wb610262 .25例例: : 氢原子氢原子中电子绕核作圆周运动中电子绕核作圆周运动r 161020 ms. mr1010530 .已知已知求求: : 轨道中心处轨道中心处B电子的磁矩电子的磁矩mp解解: :2004rrqB 0r 又又TreB13420 方向方向nI

14、Spm erI 2 2rS 2231093021AmvreISpm .方向方向 26例例: : 均匀带电圆环均匀带电圆环q qB R R已知：已知：q q、R R、圆环绕轴线匀速旋转。圆环绕轴线匀速旋转。 求圆心处的求圆心处的B解：解： 带电体转动，形成运流电流。带电体转动，形成运流电流。 22qqTqI RqRIB 4200 27例例: : 均匀带电圆盘均匀带电圆盘已知：已知：q、R、 圆盘绕轴线匀速旋转。圆盘绕轴线匀速旋转。解：解：如图取半径为如图取半径为r,宽为宽为dr的环带。的环带。 q Rrdr求圆心处的求圆心处的B及圆盘的磁矩及圆盘的磁矩rdrdI rdrrrdIdB 2200 元

15、电流元电流rdrdsdq 2 其中其中2Rq dqdqTdqdI 22 28 RrdrrrdIdBB00022 B q q R Rr rdrRqR 2200 线圈磁矩线圈磁矩nISpm 如图取微元如图取微元rdrrSdIdpm 2 4402RrdrrdppRmm 方向：方向： 2910.4安培环路定理安培环路定理 一、安培环路定理一、安培环路定理 在静电场中在静电场中 0 l dEl在稳恒磁场中在稳恒磁场中 ? l dBlILl drBdBl dr1. 任意积分回路任意积分回路 cosl dBl dB rdB ll dB rdrI 2002II0022 302. 积分回路不环绕电流积分回路不环

16、绕电流AB BLA11l d1B d dIdrrIldB22011011 BLA2d2l d2B dIdrrIl dB22022022 ABBAldIdIl dB2200 000022dIdI0)(2000 ddI0 ll dB313 . 积分回路环绕多个载流导线积分回路环绕多个载流导线I4I5iBB l dBl dBlli I1I2I3 lil dB iI0 ilIl dB0 若电流流向与积分环路构成右手螺旋，若电流流向与积分环路构成右手螺旋，I取正值；取正值；反之，反之，I取负值取负值.32 在真空中的稳恒磁场中，磁感应强度在真空中的稳恒磁场中，磁感应强度B沿任意沿任意闭合曲线的积分闭合曲

17、线的积分(环流环流)，等于该闭合曲线所环绕的，等于该闭合曲线所环绕的电流的代数和的电流的代数和的 0倍倍. 称为磁场中的安培环路定理称为磁场中的安培环路定理说明：说明：(1) B是是dl处的总磁场处的总磁场(2)只适用于只适用于稳恒电流稳恒电流(闭合或延伸到闭合或延伸到)I1 0I2 RrIB 2外2222RIrrRII rR22RIrB 内37讨论：讨论：分布曲线分布曲线RI 20BRr0 RrrIRrRIrB 22020 长直载流圆柱面。已知：长直载流圆柱面。已知：I、RRIrBl dB 2 RrIRr00 RrrIRrB 200rRORI 20B382.长直载流螺线管内的磁场分布长直载流

18、螺线管内的磁场分布 已知：已知：I、n(单位长度导线匝数单位长度导线匝数)对称性分析：对称性分析： 管内为均匀场管内为均匀场,方向与螺线方向与螺线管轴线平行管轴线平行. 管的外面，磁场强度忽略管的外面，磁场强度忽略不计不计.BB的大小的计算的大小的计算:作矩形环路作矩形环路a b c d,如图如图abcdnIabBabBlBL0d外内0 外BnIB0 内393202rdlnIRdB 解：在距轴上任一点解：在距轴上任一点P P为为l l 处处, ,取长度为取长度为 d dl l 的一元段，的一元段，将其看成是一个圆电流将其看成是一个圆电流, ,其其大小为：大小为： dI=nIdldI=nIdl载

19、流直螺线管轴线上的磁场。载流直螺线管轴线上的磁场。求半径为求半径为R ，总长度为，总长度为L，单位长度上的匝数为单位长度上的匝数为 n ，通以电流为通以电流为 I 的螺线管在的螺线管在其轴线上一点的磁场其轴线上一点的磁场.其磁矩为：其磁矩为：nIdlRdIRSdIdpm22302 rpBm21plRoIdl403202rdlnIRdBsinrR dRdlRctgl2sin,又因为：又因为：dnIdBsin2021plRoIdl由于各元段在点产生的磁场方向相同由于各元段在点产生的磁场方向相同,所以将上式积分得：所以将上式积分得：21sin20dnIdBB)cos(cos2120nIB41B5R5

20、Rx0.439载流螺旋管在其轴上的磁场，载流螺旋管在其轴上的磁场，磁场方向与电流满足右手螺磁场方向与电流满足右手螺旋法则旋法则。42BIIB5R5Rx0.439nIB021, 0在管端口处，磁场等在管端口处，磁场等于中心处的一半。于中心处的一半。2/, 021nIB021无限长直螺线管（或无限长直螺线管（或长直螺线管中部附近）长直螺线管中部附近）的磁场的磁场半无限长直螺线管端口处半无限长直螺线管端口处的磁场的磁场433.载流环形螺线管内的磁场分布载流环形螺线管内的磁场分布 已知：已知：I 、R1、R2, N导线总匝数导线总匝数分析对称性分析对称性磁力线分布如图磁力线分布如图0作积分回路如图作积

21、分回路如图方向方向右手螺旋右手螺旋计算环流计算环流利用安培环路定理求利用安培环路定理求BrBBdll dB 2 NIl dB0 外内020rNIB 44BrO2R1R2121RRRR 、nIB0 12 RNn 说明：说明：B是所有电流共同产生的是所有电流共同产生的 环路外部的电流只是对积分环路外部的电流只是对积分LBdl无贡献无贡献. 当当B无对称性时，安培环路定理仍成立无对称性时，安培环路定理仍成立 只是此时因只是此时因B不能提出积分号外，利用安培环不能提出积分号外，利用安培环路定理已不能求解路定理已不能求解B，必须利用毕奥萨伐尔，必须利用毕奥萨伐尔定律及叠加原理求解定律及叠加原理求解.45

22、 例 设电流均匀流过无限大导电平面，其电流密度 。求导电平面两则的磁感应强度。jdl dl BdBdBdpo解：视为无限多平行长直电流的场。分析求场点p的对称性做 po 垂线，取对称的长直电流元，其合磁场方向平行于电流平面。因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的各点B的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。无数对称元在 p点的总磁场方向平行于电流平面。46dl dl BdBdBdpoabcd作一安培回路如图：bc和 da两边被电流平面等分。ab和cd 与电流平面平行,则有jllBldBoL2l2jBo在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。方向如图所示。47

23、10.5 磁场对运动电荷和载流导线的作用磁场对运动电荷和载流导线的作用运动电荷所受到的磁场力称为洛伦兹力；运动电荷所受到的磁场力称为洛伦兹力；电流所受到的磁场力称为安培力电流所受到的磁场力称为安培力.一、洛伦兹力一、洛伦兹力 荷兰物理学家洛仑兹从实验总结出运动电荷荷兰物理学家洛仑兹从实验总结出运动电荷所受到的磁场力其大小和方向可用下式表示所受到的磁场力其大小和方向可用下式表示BqFm 1.粒子速度粒子速度B/0 B 00 mF0 2.粒子速度粒子速度B 0 48mf 0Fm=q 0 BBqRm020 回转半径回转半径 qBmR0 0 R回转周期回转周期 qBmRT 220 回转频率回转频率 m

24、qBT 21 T和和 与与R及速度无关及速度无关3.粒子速度粒子速度 与与 成成角角0 BB / cos0/ sin0 回转半径回转半径 qBmR 49回转周期回转周期 qBmT 2 螺距螺距 /2/ qBmTh 505152二、霍耳效应霍耳效应1879年，年仅年，年仅24岁的美国物理学家霍耳首先发现，岁的美国物理学家霍耳首先发现， 在匀强磁场中，宽度为在匀强磁场中，宽度为a，厚度为，厚度为b片状金属导片状金属导体，当通有与磁感应强度体，当通有与磁感应强度B的方向垂直的电流的方向垂直的电流I时，时，在金属片两侧出现电势差在金属片两侧出现电势差UH，如图示，此种效应，如图示，此种效应称为霍耳效应

25、，电势差称为霍耳效应，电势差UH称为霍耳电势差称为霍耳电势差BIU1U2babIBRUHH RH-霍耳系数霍耳系数实验表明：实验表明：UH与导体块的宽度与导体块的宽度a无关无关53带负电的载流子的金属导体为例带负电的载流子的金属导体为例BeFm IMN霍耳系数的微观解释霍耳系数的微观解释 mfHEef附加电场附加电场 EH:HeEeF 平衡时平衡时HeEBe BEH HHaEU Ba 电流强度为电流强度为abnesneI abneI BabneIaUH bIBne 154nekH1 dIBkUHH 说明说明:(1) e0时，时，kH0时，时，kH0,0 HU(3) kH与载流子浓度与载流子浓度

26、n成反比：成反比：半导体中霍耳效应比金属中显著。半导体中霍耳效应比金属中显著。55三、洛伦兹力在科学与工程技术中的应用实例三、洛伦兹力在科学与工程技术中的应用实例 1. 磁场与粒子加速器磁场与粒子加速器 回旋加速器回旋加速器 B B562. 磁流体发电磁流体发电 原理：导电的原理：导电的气体（气体（液体）有霍尔效应。液体）有霍尔效应。 等离子气体等离子气体发电通道发电通道 B磁流体发电原理图磁流体发电原理图 573. 离子荷质比的测定、质谱仪离子荷质比的测定、质谱仪 测定离子荷质比的仪器称为质谱仪。测定离子荷质比的仪器称为质谱仪。 形成按离子质量排列的线系形成按离子质量排列的线系 58四、安培

27、定律四、安培定律 安培首先通过实验发现：在磁场中任一点处，电安培首先通过实验发现：在磁场中任一点处，电流元流元Idl所受的磁力为所受的磁力为l lIdB BB Bl lIddfBlIdfd 大小大小:),sin(Bl dBIdldf 方向方向:BlIdfd /df积分形式积分形式 LBlIdf59比较两组公式比较两组公式 电电 流流 运动电荷运动电荷204rrlIdBd 204rrqdNBdB BlIdfdm BqdNfdFmm 1.载流直导线在均匀磁场中所受的安培力载流直导线在均匀磁场中所受的安培力B 取电流元取电流元lIdlIdBlIdfd 受力方向受力方向 Fd力大小力大小 sinBId

28、ldf 60积分积分 LBIdlf sin LdlBI sin sinBLIf BI 00 fIBBLIf max 232 612.两根平行的无限长载流直导线间的相互作用力两根平行的无限长载流直导线间的相互作用力 C、D两导线的距离为两导线的距离为a。电流方向相同。电流方向相同I1I2aCDI2dl2I1dl1B2df1B1df2BlIdfd aIB 2101 2212dlIBdf 221022dlaIIdf aIB 2202 1121dlIBdf 121012dlaIIdf aIIdldf 221022 aIIdldf 221011 单位长度载流导线所受力为单位长度载流导线所受力为 aIId

29、ldf21024 62电流的单位安培可定义如下：电流的单位安培可定义如下： 在真空中相距在真空中相距1 m的两条无限长平行导线中通以的两条无限长平行导线中通以相等的电流，若每米长度导线受到的磁力为相等的电流，若每米长度导线受到的磁力为2107 N，则导线中的电流定义为，则导线中的电流定义为1 A. 02112 dldfaIII )(1104102277A 63例例:垂直于均匀磁场垂直于均匀磁场(B)的平面内的平面内,任意形状的通电导线任意形状的通电导线所受的安培力所受的安培力.abc解：解：lId取电流元取电流元BlIdfd fdBlId BIdldf yxdfxdfyBIdxBIdldfdf

30、y coscosBIdyBIdldfdFx sinsinabBIBIdxfbay 0 BIdyfbaxLfBLIf 64 平行于均匀磁场平行于均匀磁场 (B)的平面内任意形状的通电导的平面内任意形状的通电导线所受的安培力线所受的安培力.abILB bafdfBl dIba )(Lldba BLIf 由于由于 baBlIdf sinILBf 结论结论: 均匀磁场中曲线电流受的安培力，等于从均匀磁场中曲线电流受的安培力，等于从起点到终点的直线电流所受的安培力。起点到终点的直线电流所受的安培力。65xy fBI（2R） 方向沿方向沿y方向方向F 推论：任意推论：任意闭合载流线圈闭合载流线圈在在匀匀强

31、场强场中所受安培力的中所受安培力的合力必定为零合力必定为零 B I66解：解：dlBIdf2 LdffdxxII 2210 dLdII ln2210 例：求一无限长直载流导线的磁场对另一直载流例：求一无限长直载流导线的磁场对另一直载流 导线导线ab的作用力。的作用力。 已知：已知：I1、I2、d、L LdddxxII 2210Lxdba1I2Ifdl dI2672.磁场对载流线圈的作用磁场对载流线圈的作用 匀强磁场对平面载流线圈的作用匀强磁场对平面载流线圈的作用dabcmp设设 ab=cd= l2 , ad=bc =l1 pm与与B夹角为夹角为 da边边:BdaIf 11f sin11IBlf

32、 bc边边:BbcIf /1/1f sin)sin(11/1IBlIBlf ab边边:BabIf 2/2f2fIBlf22 cd边边:BcdIf /2IBlf2/2 68线圈在均匀磁场受合力线圈在均匀磁场受合力0/22/11 fffff f2 和和 f /2产生一力偶矩产生一力偶矩mp f2f2 /)cos(2212 lfM 2sin12lfM sin12lIBl sinBIS sinBPMm BpMm 69说明说明:(1)0 Bpm/1f 1f2f 2f M0 稳定平衡稳定平衡 (2) Bpm /1f 1f2f 2fM0 非稳定平衡非稳定平衡 (3)2 Bpm B 2f 2fBpMm maxmpMBmax 70f在非匀强磁场中的载流线圈在非匀强磁场中的载流线圈B1f2f一般线圈受的合力一般线圈受的合力 f0合力指向磁场