对数的运算法则

1、?底数?对数?真数?幂?指数?底数?log?a?Nb?a?b?=N一般地，如果一般地，如果 1, 0aaa的的b次幂等于次幂等于N, 就是就是 Nab，那么数，那么数 b叫做叫做以以a为底为底 N的的对数对数，记作，记作 bNaloga叫做对数的叫做对数的底数底数，N叫做叫做真数真数。定义定义：有关性质有关性质： 负数与零没有对数（负数与零没有对数（在指数式中在指数式中 N 0 ） , 01loga1logaa对数恒等式对数恒等式NaNalogbabalog常用对数：常用对数： 我们通常将以我们通常将以10为底的对数叫做为底的对数叫做常用对数常用对数。 为了简便为了简便,N的常用对数的常用对数

2、 N10log简记作简记作lgN。 自然对数：自然对数： 在科学技术中常常使用以无理数在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828为底的对数，以为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。为底的对数叫自然对数。 为了简便，为了简便，N的自然对数的自然对数 Nelog简记作简记作lnN。 （6）底数）底数a的取值范围：的取值范围： ), 1 () 1 , 0(真数真数N的取值范围的取值范围 :), 0( )()(),()(),(RnbaabRnmaaRnmaaannnmnnmnmnm积、商、幂的对数运算法则：积、商、幂的对数运算法则：如果如果 a 0，a 1，M 0， N 0 有：有：)()()(3

3、R)M(nnlogMlog2NlogMlogNMlog1NlogMlog(MN)loganaaaaaaa为了证明以上公式，请回顾一下为了证明以上公式，请回顾一下指数运算法则指数运算法则 ：证明：证明：设设 ,logpMa,logqNa由对数的定义可以得：由对数的定义可以得： ,paM qaN MN= paqaqpaqpMNa log即证得即证得 ?底数?对数?真数?幂?指数?底数?log?a?Nb?a?b?=N)(1NlogMlog(MN)logaaa证明：证明：设设 ,logpMa,logqNa由对数的定义可以得：由对数的定义可以得： ,paM qaN qpaaqpaqpNMa log即证得

4、即证得 ?底数?对数?真数?幂?指数?底数?log?a?Nb?a?b?=NNM)(2NlogMlogNMlogaaa证明：证明：设设 ,logpMa由对数的定义可以得：由对数的定义可以得： ,paM npnaMnpMna log即证得即证得 ?底数?对数?真数?幂?指数?底数?log?a?Nb?a?b?=N)(3R)M(nnlogMlogana上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式。然后再根据对数定义将指数式化成对数式

5、。)()()(3R)M(nnlogMlog2NlogMlogNMlog1NlogMlog(MN)loganaaaaaaa简易语言表达：简易语言表达：“积的对数积的对数 = 对数的和对数的和”有时逆向运用公式有时逆向运用公式 真数的取值范围必须是真数的取值范围必须是 ), 0( 对公式容易错误记忆，要特别注意：对公式容易错误记忆，要特别注意：,loglog)(logNMMNaaaNMNMaaaloglog)(log例例1 计算计算（1） )42(log752（2） （3） 7log 23log27+lg25+lg4+7662log 3+log 4（1） 18lg7lg37lg214lg例例2 2

6、计算：计算： 解法一：解法一： 18lg7lg37lg214lg18lg7lg)37lg(14lg218)37(714lg201lg )32lg(7lg37lg2)72lg(2)3lg22(lg7lg)3lg7(lg27lg2lg018lg7lg37lg214lg解法二：解法二： 其他重要公式其他重要公式1:aNNccalogloglog)0), 1 () 1 , 0(,(Nca这个公式叫做这个公式叫做换底公式换底公式证明：证明：设设 由对数的定义可以得：由对数的定义可以得： ,paN 即证得即证得 pNalog,loglogpccaN ,loglogapNccaNpccloglogaNNcc

7、alogloglog其他重要公式其他重要公式2:abbalog1log), 1 () 1 , 0(,ba其他重要公式其他重要公式3:NmnNanamloglog例例1 计算计算（1） （2） 27log9（3） 272log2log98log7log3log732（4） （5） 483log 3+log 3 log 24839log 3+log 3log 2+log 2例例2 2 已知已知 ， ，求，求 的值的值. .18log 9a36log45185ba+b2-a积、商、幂的对数运算法则：积、商、幂的对数运算法则：如果 a 0，a 1，M 0， N 0 有：)()()(3R)M(nnlogMlog2NlogMlogNMlog1Nlog