一元二次方程概念及解法讲义

1、海豚教育个性化简案海豚教育错题汇编学生姓名：年级：科目：授课日期： 月日上课时间： 时 分 一 时 分 合计： 小时教学目标1 .理解并掌握一元二次方程的一般形式：2 .会用直接开平方法、配方法、公式法解一元二次方程：3,能根据方程特征，灵活选择解方程的方法。重难点导航lo 一元二次方程的解法；2。 根据方程特征，灵活选择适当的方法解方程.教学简案:一无二次方程的概念及解法知识点一：一元二次方程的概念知识点二：一元二次方程的解知识点三：解一元二次方程授课教师评价：（今日学生课堂表准时上课:无迟到和早退现象今天所学知识点全部掌握:教师任意抽查一知识点，学生能完全掌握审核人签字：现符合共_项）上课

2、态度认真：上课期间认真听讲，无任何不配合老师的情况学生签字：（大写）O海豚作业完成达标:全部按时按量完成所布置的作业,无少做漏做现象教师签字：大写：壹贰叁肆 签章:备注：靖交至行政前台处登记、存档保留，隔日无效 （可另附教案内页）1.已知关于X的一元二次方程4+ " + C = 0(“00)的系数满足。+ C = ,则此方程必有一根为海豚教育个性化教案一元二次方程的概念及解法知识点一：一元二次方程的概念(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程就是一元二次方程。(2)一般表达式:ax1 + bx + c = 0(“ W 0)(3)四个特点：(1)只含有一个

3、未知数；(2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。要判断一个 方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理.如果能整理为 "/+以+。= 0(¥0)的形式，则这个方程就为一元二次方程.(4)将方程化为一般形式：+Z?x + c = 0时，应满足(a/0)例 1：下列方程 X 2+1=0；2y ( 3y-5) = 6y2+4;© a x2+b x +c=0 ; 1 - 5x - 3 = 0 ,其中是一元二次方程的 x有。12变式：方程：2/_一 = 12/_5» +/=。7/+1 =。二=0中一元二次程的3x2是.例2： 一

4、元二次方程(1 + 3x)(x 3) = 2/ + 1化为一般形式为：，二次项系数为:, 一次项系数为：,常数项为：.变式1： 一元二次方程3(X2) 2=5x-l的一般形式是,二次项系数是, 一次项系数是，常数项是 o变式2：有一个一元二次方程，未知数为y,二次项的系数为一1, 一次项的系数为3,常数项为-6,请你写出 它的一般形式 o例3：在关于x的方程(m-5)x"7+ (m+3)x3=O中:当m=时，它是一元二次方程；当m=时, 它是一元一次方程。变式1：已知关于x的方程(m+1) x?m x+1=0.它是()Ao 一元二次方程B.一元一次方程C. 一元一次方程或一元二次方程

5、 D.以上答案都不对变式2：当m 时，关于x的方程(m3次'/-7-犬=5是一元二次方程知识点二：一元二次方程的解(1)概念：使方程两边相等的未知数的值.就是方程的解。(2)应用:利用根的概念求代数式的值：【典型例题】1.已知x = 2是一元二次方程/+a+ 2 =。的一个解，则加的值是()A. 一3» oBo 3。£ 0。 *D. 0或32o已知2y2 + y -3的值为2,则4y2 +2y + l的值为。3.若x=a是方程x2x2015=0的根，则代数式2a?2 a 20 1 5值为4. 关于x的一元二次方程（a- 2卜2 +x + a2-4 = 0的一个根为0

6、.则a的值为.5.已知关于x的一元二次方程。/+6；+。= 0（"。0）的系数满足4-6 +。= 0,则此方程必有一根为 o【举一反三】1 .已知关于x的方程/丘 6 = 0的一个根为x = 3,则实数的值为（）A. 1 -B. -BC. 2。D. -22 . 若 m25m+2=O,则 2 m10m+201 6 =.3 .若关于x的方程（a+3） x22x+a?9=0有一个根为0,则 =.40 一元二次方程ax?+bx+c=0,若4a-2b+c=0,则它的一个根是.5.若x=l是关于x的一元二次方程 x2+/» + c = 0（a/0）一个根求代数式2007 （a+b+c）

7、的值知识点三:解一元二次方程一:直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如“+ ?）2 = 的一元二次方程。根据平方根的定义可知，x +m是n的平方根，当 N0时,*+加=±而，X = T土而，当n0时.方程没有实数根.用直接开平方法解一元二次方程的理论根据是平方根的定义，达到降次转化之目的。（1）形如M = p（NO）的方程的解是x=±而。当 p=o 时，x1 = x2=0（2）形如（优+）=（之0）的方程的解为x= ±g二形如加（工一。） + /2 = 0的方程可先化成“一=一!的形式，再用直接开平

8、方法解.【例题讲解】1、方程（x-2） 2=9的解是（）A o x i = 5,X2=_ 1 B. Xi = 5, x 2=1 C. X= 1 1,X2=_7Do x j = _ 11, x 2=72、若方程乂2=11的解是有理数，则实数m不能取下列四个数中的（）A. 1B. 4C. Do 423、对于形如X，= 的一元二次方程.能直接开平方的条件是.4、方程1216 = 0的根是5、用直接开平方法解下列方程： 222（1）16（ = 81（2）巾=24(3)92-25 = 0(4)4(2xI)? 36=0【同步训练】1、用直接开平方法解方程(x-3)2=8 .得方程的根为()A.x=3+2C

9、o x = 3 2 >/22、方程一(x3) 2=0的根是()2A. x=3B. x=03、方程(2x+6) = 900的根是一4、方程一2)，= 169的根是5、用直接开平方法解下列方程：(d(x-7)2 = o(3) 4(3x-1)2-9 = 0Bo xi=3+2y/2 , x?=3 2 y/2D.Xi=3+ 2 6,x?=3-2Co x i = x2=3D.Xi=3, x 2=-3(2)l(y+l)2 = 128(4) 4x?+16x + 16 = 9二:配方法配方法的理论根据是完全平方公式/±2H，+ 2=(a + »2,把公式中的a看做未知数x,并用x代替，

10、则有 x2 ±2bx + b2 = (x±b)2 o配方法的步骤：(1)把常数项移到方程的右边(2)把二次项系数化为1(3 )等式的两边同时加上一次项系数一半的平方(4)配成完全平方式(5运用开平方法求解。ax2 +bx + c = 0(1)(2)(4)【例题讲解】 1、用配方法解关于x的一元二次方程x22x3=0.配方后的方程可以是()A.(X- 1 )Bo ( x+1) 2=4 C. (x-1) 2=16D.(x+1) 2 = 162、若一元二次方程式X? 2x-3599=0的两根为a、b,且心人 则2a-b之值为何？()A.-57Bo 63Co 179D. 1813、

11、用适当的数填空：、x2+6x+= (x+_) 2、X25x+= ( x_L；、X2+ X+=(x+_) 2、x2-9x+=(x-)24、将二次三项式2x23x-5进行配方，其结果为.5、已知4x?ax+1可变为(2x-b)"的形式,则ab=。6、将X22x-4=0用配方法化成(x+a'b的形式为 所以方程的根为7、若x2+6x+m?是一个完全平方式.则m的值是8、用配方法解下列方程：(1) x2+12a-15 = 0(2) x2+8x = 9(3) 3x2-5x = 2(4) -x2-4x-4 = 0(5) x2 -4x-3 = 0(6) 2x2 -4 = 7x49、用配方法

12、求解下列问题(1 )求2x27 x +2的最小值；(2 )求-3乂2+5 x +1的最大值.【举一反三】lo把方程x+3=4x配方，得()A. (x-2) 2=7 Bo (x+2户=2 1Co (x-2尸=1D. (x+2) 2=22。用配方法解方程x 2+4 x =10的根为()A.2±VfO Bo 2±V14C. 2 + 回D. 2710 3.用配方法解下列一元二次方程(l)x2 -4x = 96(2) x2-4x-5 = 0(3)2x2+3x-1 = 0(4)3x2 +2x-7 = 0三:公式法(1)公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法.它是解一元二次方程的一般

13、方法。由配方法得 = l-f 2a a 2a化简：(x +上( b Y b2 -4«cX+ =52ay4a.b , bX H 土' I2a V 4c/b , yJb - 4ac-h±Jlr -4acx =-±= x =2a 2a2a一元二次方程ax2 +bx + c = 0(6/工0)的求根公式:-b± lb2 -4ac 2 A 、八、=(b - 4ac > 0)2a-b + y/b? - 4ac-b-yjb2 -4ac公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里a为一次项系数，b为二次项系数，c为常数项。【典型例题】例1：一般地，

14、对于一元二次方程ax?+bx+c =0( a/O ) .当b'-4a c NO时，它的根是,当b4ac<0时,方程例2：用公式法解方程X?一8x-15,其中b?4ac=, x尸, x2=.例3:一元二次方程1-2xm=0可以用公式法解.则m=().A. 0Bo 1 Co -1D. ±1例4：不解方程，判断所给方程：®x2+3x+7=0;®x2+4=0；x2+x-l=0中，有实数根的方程有()A0个 B1个 C. 2个 D. 3个例5：方程(x+1) (x3)=5的解是()A . Xj = l, x2=3Bo Xj=4, x 2=-2C . x =-1

15、 f x2=3D. x i=-4, x2=2例6:一元二次方程/+2亿 6 = 0的根是()A. x= x2= /2B . Xj = 0,x2 = 2<2C .司=&,占=-3&D.,A =-V2,x2 =3尬例7： 一元二次方程x?3x-l = 0的解是。例8：用公式法解下列方(l)-3x2 -5x + 2 = 0 ；(2) 2x2 +3x+3 = O; (3 ) x2 -2x + l = 0 ；例 9：若 x?-xy-3yJO (y> 0 ),求二的值.【举一反三】1.用公式法解方程x，=-8x-1 5,其中b?-4ac=, Xi=,x?=.2.用公式法解方程4

16、y2=12y+3,得到().-3±氓c 3土般c 3±26n -3±2有Ao y=-B.y = Coy =-D.y=-22223。 不解方程，判断所给方程：/+3乂+7=0；x，4=0;x2+x-l=0中，有实数根的方程有()Ao 0个B.1个C。2个D. 3个4.用公式法解方程(l)x?+15 x =3x；(2)x2+ x6=0;(3)3 x 2-6x2=0;(4)4 x 2-6x=0四：因式分解法(1*+12x=0; 。(2)41=0;(3) (x + 2)?+2x + 4 = 0；(4) x2-4x-21=0；(5) ( x1 )(x+3)=12；o(6)3

17、 x2+2¥-1=0;(7) 1 Ox2-x3=0;(8) (x- 1 ) 2-4(x1)-21 =0.用适当方法解下列方程：(l)x2-4x+3=0；(2) (x2/=256； 33)x23x+ 1 =0;(4)x22x-3=0；。(5)+3)2=3(2/+3)；(6) (3-y)2+/=9:(7)7 2x2=-15(8) 2x2 -V2x-30 = 0(9)45 x2 (5+ I)x+Vi0=O；(10) 2炉-847；(1 1 ) G+5)22 (x+5)-8=0.海豚教育个性化教案（真题演练）Do年 月 日 周）年级1.（2014甘孜州）一元二次方程x?+px2=0的一个根为

18、2 ,则p的值为（A. 12海豚教育1对1出门考，学生姓名 学校 第1、下列方程中，常数项为零的是()Av x2+x =1B、2 x2-x12=12C、2(x2-l)=3 ( x- 1 )D、2(x2+l)=x + 22、已知m是方程x2-x-l = 0的一个根.则代数m?m的值等于()A% 1 aB、 1C、0。 D % 2i2工33、下歹ij方程:乂2=0,-2= 0,(3)2x2 +3x=(14-2x) (2+x) , (4)3x2 4x =0,-8x+1=0中，一 元 二 次 方 程 的 个 数是( )A、1个B、2个 C、3个D、4个4、方程x (x+1) =3(x+1)的解的情况是()A、x=-lB、x=3C、/=-1,=3D、以上答案都不对5、把方程4 x2 =3x化为ax" +bx + c =0(aM)形式为.则该方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为.6、在关于x的方程(m5) x-7+(m+3)