(完整版)“费马点”与中考试题

1、“费马点”与中考试题费马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一.费马点一一就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点.费尔马的结论：对于一个各角不超过120的三角形，费马点是对各边的张角都是 120。的点，对于有一个角超过120的三角 形，费马点就是这个内角的顶点.下面简单说明如何找点P使它到 ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？这就 是所 谓的费马问题.图1解析：如图1,把a APC绕A点逆时针旋转60。得到 APC,连接PP.则Zx APP为等边三角形，AP= PP P C=PC,所以 PA+PB+PC= PP + PB+ PC.点C可看成是线段AC绕A

2、点逆时针旋转60。而得的定点，BC为定长，所以当B、P、P、C 四点在同一直线上时，FA+PB+PC最小.这时/ BPA=180-/ APP=180-60 =120,/ APC= /APC=180-ZAP P=180-60 =120,/ BPC=360-Z BPA- Z APC=360-120o -120 =120因此，当A ABC的每一个内角都小于120。时，所求的点P对三角形每边的张角都是120可在AB、BC边上分别作120的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120。时，所求的P点就是钝角的顶点.费尔马问题告诉我们， 存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题

3、的方法是运用旋转变换.本文列举近年“费马点”走进中考试卷的实例，供同学们学习参考.例1（2008年广东中考题）已知正方形 ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离 之和的最小值为2-.6,求此正方形的边长.1分析：连接AC,发现点E到A、B、C三点的距离之和就是到/ ABC三个顶点的距离 之和， 这实际是费尔马问题的变形，只是背景不同.解 如图2,连接人6把公AEC绕点C顺时针旋转60。得到 GFC,连接EF、BG、AG,可 知 EFC、 AGC都是等边三角形，则EF=CE.又 FG =AE, AE+BE+CE = BE+EF+FG （图 4）. 点B、点G为定点（G为点A绕C点顺时针旋转60

4、。所得）. 线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值，此时E、F两点都在BG上（图3）.设正方形的边长为a,那么BO=CO= GC= 2a , GO=BG=BO+GO =a +2点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为.2,6.正a二5 -6,解得 a =2.2注本题旋转AAEB、 BEC也都可以，但都必须绕着定点旋转，读者不妨一试.例2（2009年北京中考题） 如图4,在平面直角坐标系xOy中， ABC三个顶点的坐标分别为A 6,0, B 6,0 , C 0,4- 3,延长AC到点D,使CD=1 AC ,过点D作2DE/ AB交BC的延长线于点E.（1）求D点的坐标；（2）作C点关

5、于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF,若过B点的直线ykxb将 四边形 CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G为y轴上一点，点P从直线ykxb与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿 GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位 置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短.分析和解：（1）D点的坐标（3,3 ）（过程略）.（2）直线BM的解析式为y ,3x 6.3 （过程略）.7（3）如何确定点G的位置是本题的难点也是关健所在设Q点为y轴上一点，P在y轴上运动的速度为 v,则P沿MtQt A运动的时间为MQ2vAQ,使P点

6、到达A点所用的V时间最短，就是1mQ + AQ最小，或MQ+ 2AQ最小.解法1/ BQ=AQ, MQ+ 2AQ最小就是MQ + AQ+ BQ最小，就是在直线MO上找点G使他到A、B、M三点的距离和最小至此，再次发现这又是一个费尔马问题的变 形，注意 到题目中等边三角形的信息，考虑作旋转变换.把ZnMQB绕点B顺时针旋转60o ,得到ZxMQB,连接QQ、MM（图5），可知QCTB、AMM、都是等边三角形，贝ij QQ=BQ.又 M Q =MQ , MQ+ AQ+ BQ= M Q + QQ +AQ.点A、M为定点，所以当Q、Q两点在线段AM上时，MQ+ AQ+ BQ最小.由条件1可证明Q点总在

7、AM上，所以AM与0M的交点就是所要的G点（图6）.可证0G=, MG .FO/A OB*图5MiGA OE芝图71解法2考虑一MQ+ AQ最小，过Q作BM的垂线交BM于K,由0B=6QM = 6-3,21可得/ BMO = 30 所以 QK = MQ21要使一MQ+ AQ最小，只需使AQ+ QK最小，根据“垂线段最短”，可推出当点A、2Q、K在一条直线上时，AQ+QK最小，并且此时的QK垂直于BM,此时的点Q即为所求的点G （图7）.过A点作AH _L BM于H,则AH与y轴的交点为所求的G点.由 0B=6, 0M = 6,3,可得OBM=60,/ BAH=30 0在 RtA OAG 中，O

8、G=AO tan / BAH =2 3例3(2009年湖州中考题)若点PABC所在平面上一点，且/ APB=/ BPC= G点的坐标为(0, 23) (G点为线段OC的中点)./ CPA=120。,则点P叫做 ABC的费马点.(1)若P为锐角 ABC的费马点，且/ ABC=60 PA=3,PC=4,则PB的值为(2)如图8,在锐角Zx ABC的外侧作等边 ACB连结BB求证：BB 过Zx ABC的费马点 P,且 BB=FA+PB+PC.图8解：(1)利用相似三角形可求PB的值为2 3.设点P为锐角 ABC的费马点，即/ APB=/ BPC=/ CPA=120如图8,把Zx ACP绕点C顺时针旋转60到Zx BCE,连结PE,则Zs EPC为正三角形./ BEC = / APC =120 ,/ PEC=60 / B,EC+/PEC=180即P、E、B三点在同一直线上/ BPC=120 0 / CPE=60 0 ,/ BPC + /CPE=180 ；即B、P、E三点在同一直线上 B、P、E、B四点在同一直线上，即88过4 ABC的费马点P. 又 PE=PC, BE= FA, BB =EB +PB + PE=FA+PB+PC.注 通过旋转变换，可以改变线段的位置，优化图形的结构.在使用这一方法解题时需注意图形旋转