第1讲流体的运动

1、123怎样学好怎样考好451.掌握理想流体的稳定流动、连续性方程、伯努利方掌握理想流体的稳定流动、连续性方程、伯努利方程及伯努利方程一些应用实例程及伯努利方程一些应用实例2.掌握粘性流体的粘滞性，掌握泊肃叶定律、流阻、掌握粘性流体的粘滞性，掌握泊肃叶定律、流阻、雷诺数、斯托克斯公式雷诺数、斯托克斯公式61. 拉格朗日法：以质点为对象并利用牛顿定律进行研究；因流体质元的大量性及运动情况的复杂性，此方法比较繁琐。2. 欧拉法：研究各个时刻在空间各点上流体质元的运动速度的分布。 = f (x,y,z,t) 781.1.流体的几个重要概念流体的几个重要概念理想流体理想流体：绝对不可以压缩的、完全没有粘

2、滞性的流体。：绝对不可以压缩的、完全没有粘滞性的流体。不不可压缩性：可压缩性：V V（体积）（体积） - P - P（压强）（压强）黏性：液体内部各层之间作相对运动时产生的内摩擦现象黏性：液体内部各层之间作相对运动时产生的内摩擦现象。 糖浆，水糖浆，水流体流体: :流动性：流体各部分之间很容易产生相对运动流动性：流体各部分之间很容易产生相对运动液体（血液循环）液体（血液循环）气体（呼吸过程）气体（呼吸过程）无固定形状，无固定形状，容易流动容易流动。92.2.流体的描述流体的描述流场：在流体中的每一点（流体质点）在任一时刻都有各自流场：在流体中的每一点（流体质点）在任一时刻都有各自的速度的速度v

3、, ,它是空间坐标和时间的函数，即它是空间坐标和时间的函数，即 v(x,y,z,t)，它们组成一它们组成一个流体速度矢量场。个流体速度矢量场。流线：在流体中流线：在流体中画线画线（这些（这些线上的每一点的切线方向与流体线上的每一点的切线方向与流体质元在该点的速度方向一致质元在该点的速度方向一致）描述）描述某一时刻某一时刻流体质元的速度方流体质元的速度方向和空间的分布情况。向和空间的分布情况。 规定：流线密的地方流速大，疏小规定：流线密的地方流速大，疏小 流线是假想的曲线，流线是假想的曲线，任意两条流线不相交任意两条流线不相交 （？）（？）。10稳定流动：流体中流线上各点的速度不随时间变化稳定流

4、动：流体中流线上各点的速度不随时间变化v(x,y,z)即：稳定流动时流线的分布不变。即：稳定流动时流线的分布不变。流管：在流场中某点处有一垂直于流线的面积元流管：在流场中某点处有一垂直于流线的面积元S，过过S周边周边各点的流线围成一个管状区域。（也是假想的）各点的流线围成一个管状区域。（也是假想的）S1S2v1v2ABC11 * *在稳定流动的流体中，每点都有确定的流速，因此流线是不在稳定流动的流体中，每点都有确定的流速，因此流线是不可以相交的，流管内外的流体不能互相流动。即：流管内的流可以相交的，流管内外的流体不能互相流动。即：流管内的流体体质量守恒质量守恒。 * *处理问题时，选择流管可以

5、是流体流过的整个管道截面，也处理问题时，选择流管可以是流体流过的整个管道截面，也可以是截面中的一部分。可以是截面中的一部分。SS2v1v2S1v12 S1S2 V1 V21.1.质量流量表达式质量流量表达式：可压缩流体作稳定流动的连可压缩流体作稳定流动的连续性方程续性方程（由质量守恒决定）（由质量守恒决定） 或：或：Sv 常量11 1222s vts vt 不可压缩流体作稳定流动的连续性方程不可压缩流体作稳定流动的连续性方程 （体积流量守恒）（体积流量守恒） Sv 常量稳定流动的流体中任意取一流管，设横截面积分别是S1,S2；流体在两处的平均速度和平均密度分别是1,1; 2,2; 则再t时间内

6、，流入S1的流体质量=流出S2的流体质量 （质量流量 s守恒）132.2.体积流量（流量体积流量（流量）：）：在理想流体作定常流动时，在理想流体作定常流动时，通过同一流管各截面的流量不变。通过同一流管各截面的流量不变。3.3.连续性方程的体积流量表述：连续性方程的体积流量表述：单位时间通过流管某一横截面的流体的体积。单位时间通过流管某一横截面的流体的体积。表达式：表达式：QSv31ms单位：单位：12QQ14SS2v1v2S1vS1S2v1v2管道有分支时管道有分支时, ,应有应有即：即：1 122S vS v1 122SvS vS v连续性方程的实质是质量守恒。连续性方程的实质是质量守恒。1

7、5* *人体主动脉的横截面人体主动脉的横截面积为积为3 35 5cm2 2 ; ;毛细血毛细血管的直径为管的直径为8 81010- -4 4cm, ,但总面积可达但总面积可达900900cm2 2 ; ;腔静脉横截面积为腔静脉横截面积为1818cm2 2 。* *主动脉血流的最高速主动脉血流的最高速度为度为7070cm/s；毛细血管；毛细血管的流速为的流速为0.10.1cm/s16不存在保守内力，外力做功为不存在保守内力，外力做功为功能原理导出：取功能原理导出：取XY段流体经时间段流体经时间t（0）移到移到X Y 11 1222Ap S vtp S vt 12pVp V机械能变化：机械能变化：

8、22221111()22Emvmghmvmgh：理想流体：理想流体在在重力场中重力场中做做稳定流动稳定流动,P, h之间的关系之间的关系在稳定流体中取一足够细流管在稳定流体中取一足够细流管17221112221122vghpvghp即：理想流体在即：理想流体在流管流管中作稳定流动时，流管各处单位体中作稳定流动时，流管各处单位体积流体的动能、势能（积流体的动能、势能（动能密度、势能密度动能密度、势能密度 ）及该处的）及该处的压强（压强（压强能密度压强能密度 ）之和为常数。）之和为常数。根据功能原理得根据功能原理得18* *上式中的三项都具有压强的量纲，其中前一项称为动压强，后上式中的三项都具有压

9、强的量纲，其中前一项称为动压强，后两项为静压强。两项为静压强。适用条件：适用条件：理想流体，重力场下稳定流动。理想流体，重力场下稳定流动。伯努利方程：伯努利方程：212vghp 常量19 设有流量为设有流量为0.120.12m3 3s-1-1的水流通过如图所示的管子，的水流通过如图所示的管子，A点的压强点的压强为为2 210105 5Nm-2-2，截面积为截面积为100100cm2 2, ,B点的截面积为点的截面积为6060cm2 2，B点点相对相对A点的高度为点的高度为2 2m, ,假设水的内摩擦力可以忽略不计假设水的内摩擦力可以忽略不计, ,求求A、B点的流速和点的流速和B点的压强。点的压

10、强。AvAPAPBBvBhB20解：由流量定义可得解：由流量定义可得112AAQvm sS120BBQvm sS221122AAABBBpvghpvghAvAPAPBBvBhB代入伯努利方程中代入伯努利方程中45.24 10394BpPammHg可得可得21伯努利方程的实际应用（水平流管）伯努利方程的实际应用（水平流管） 2211221122pvpv1 122S vS v21ppgh1222212 ghvSSS联立可得联立可得1222212ghQS SSS1.1.流量计（汾丘里流量计）流量计（汾丘里流量计）伯努利方程得：伯努利方程得：液体静力学得：液体静力学得：连续性方程得：连续性方程得：22

11、BAh1h2v221122AABBPvpv01Appgh2.2.流速计流速计0Bv 212 ()vg hh 2.1 2.1 液体流速测量液体流速测量02Bppgh232.2 2.2 气体流速测量气体流速测量212ABAppvABppgh液皮托管皮托管 hAB2vgh 液240ADpppAD221122ADvghvgh2 ()DADvg hh* *要产生虹吸现象，取液管的流出口必须低于液面要产生虹吸现象，取液管的流出口必须低于液面，且位置越低且位置越低液体的流速就越大。液体的流速就越大。对对A、D两点两点,ADADSSvv2A102v取取1.1.虹吸管虹吸管伯努利方程的实际应用（垂直流管）伯努利

12、方程的实际应用（垂直流管） 25DCCDppgh* *管子的最高位置离出水口的垂直高度不能太大。管子的最高位置离出水口的垂直高度不能太大。对对C、D两点两点011136CDDCmaxh(pp )ghP. mg26SASBSCAABBS vS v* *当当B处的流速很大时处的流速很大时, ,使得使得B处的压强很小处的压强很小, ,以至小于大气压时以至小于大气压时, ,容器中的液体因受到大气压的作用吸到容器中的液体因受到大气压的作用吸到B处被水平管中的流体带处被水平管中的流体带走。走。-空吸作用空吸作用2.2.空吸作用空吸作用221122AABBpvpvBAppABSS由于：由于：* *应用：喷雾

13、器、水流抽气机等。应用：喷雾器、水流抽气机等。15001500，湍流湍流3233牛顿粘滞定律：两流层之间的牛顿粘滞定律：两流层之间的粘滞力粘滞力F F 与与两流层接触面积两流层接触面积S 以及该处的速度梯度以及该处的速度梯度dv/dx成成正比正比 。速度梯度速度梯度:沿着速度垂直方向上速度随着沿着速度垂直方向上速度随着距离的变化率距离的变化率0limxvdvxdx dvFSdx343.3.粘滞系数（或粘度粘滞系数（或粘度）dvFSdx* *单位：帕斯卡单位：帕斯卡秒或泊秒或泊1110aPPs符合牛顿粘滞定律的为牛顿流体（其粘度为常量），符合牛顿粘滞定律的为牛顿流体（其粘度为常量），反之为非牛顿

14、流体（其粘度不是常量）。反之为非牛顿流体（其粘度不是常量）。（正比意味着：粘度是个常数）（正比意味着：粘度是个常数）351.1.血细胞的轴向集中：血细胞的轴向集中：血浆中悬浮着直径为血浆中悬浮着直径为7 71111微米的红细胞微米的红细胞（红血球），血液是不均匀的粘性液体。当血流速度增加时，靠（红血球），血液是不均匀的粘性液体。当血流速度增加时，靠近管子中心轴的血细胞浓度增大，靠近管壁其浓度减小。近管子中心轴的血细胞浓度增大，靠近管壁其浓度减小。* *离管轴越远流速越小离管轴越远流速越小, , 而压强越大。血细胞受到自管壁指向管而压强越大。血细胞受到自管壁指向管轴的附加压力轴的附加压力；在该力

15、作用下，管壁附近血细胞便向；在该力作用下，管壁附近血细胞便向管轴移动。管轴移动。2.2.原因原因212vghp常量伯努利力伯努利力ABvAvB管壁管壁管轴管轴36粘性流体的伯努利方程：粘性流体的伯努利方程：122222111122pVpVAmvmghmvmgh 忽略压缩性，考虑粘滞力作负功忽略压缩性，考虑粘滞力作负功A221112221122pvghpvghw37其中其中w=A/V（表示单位体积的粘性流体在图示的流管表示单位体积的粘性流体在图示的流管中从中从XY运动到运动到XY时，克服内摩擦力所损失的能量）时，克服内摩擦力所损失的能量）221112221122pvghpvghw沿途能量损失：沿

16、途能量损失：123粘性流体在水平粘性流体在水平流管中流动时压流管中流动时压强分布图强分布图粘性流体在均匀的水平流管中粘性流体在均匀的水平流管中12ppwL123ppp1212,vv hh38* *从图中可看出在从图中可看出在1 1、2 2、3 3处处对应的流管中的压强是逐渐对应的流管中的压强是逐渐递减的。递减的。* *要使具有粘滞性的实际流体在要使具有粘滞性的实际流体在水平管中作匀速流动，管的两水平管中作匀速流动，管的两端必须有一定的压强差端必须有一定的压强差p，以以克服流体流动时的内摩擦力。克服流体流动时的内摩擦力。123局部能量损失：发生在局部流段（如弯曲处、阀门等）局部能量损失：发生在局

17、部流段（如弯曲处、阀门等）的额外能量损失。的额外能量损失。39401.1.泊肃叶公式泊肃叶公式（层流时）（层流时）沿管轴取沿管轴取半径为半径为x长为长为L的流体元的流体元前后截面的压力之差前后截面的压力之差212()Fppx流层表面的粘滞力流层表面的粘滞力2dvFxLdx 定常流动时定常流动时FFp1Lvrxdxp241可知可知：随着半径的增大随着半径的增大速度梯度加大速度梯度加大， 而而速度减小速度减小（抛物线关系）（抛物线关系）2212()4ppvrxL积分得积分得122ppdvxdxL即：即：412()8rQdQvdSppL48rpL42* *医学上常通过扩张血管半径来提高血液灌注量医学

18、上常通过扩张血管半径来提高血液灌注量和降低压差；另外在保持一定血液灌注量的情况和降低压差；另外在保持一定血液灌注量的情况下，降低血液的粘度也可减小血流阻力和压差。下，降低血液的粘度也可减小血流阻力和压差。48rpQL泊肃叶定律：泊肃叶定律：令流阻：令流阻：48 LRrpQR43 某人一段某人一段3030cm长的主动脉，平均半径为长的主动脉，平均半径为1.21.2cm，通过的平均血流量为，通过的平均血流量为8080mLs-1-1，血液的，血液的粘度为粘度为3 310103 3Pas, ,求该段主动脉的流阻和求该段主动脉的流阻和压强降落。压强降落。解：根据流阻的定义可得解：根据流阻的定义可得0.067pR QPammHg8.883542288 3.0 100.33.14 (1.2 10 )LRN s mr 551.11 10 N s m 441.1.斯托克司定律：小球在粘性液体中作层流匀斯托克司定律：小球在粘性液体中作层流匀速运动（且运动速度较小）时，小球所受的阻速运动（且运动速度较小）时，小球所受的阻力与速度成正比。力与速度成