应用数理统计—假设检验

1、假设检验 2一、假设检验的步骤一、假设检验的步骤 根据问题的要求给出原假设根据问题的要求给出原假设H0,同时给出同时给出对立假设对立假设H1； 在在H0成立的前提下，选择合适的检验统成立的前提下，选择合适的检验统计量，这个统计量应包含要检验的参数，计量，这个统计量应包含要检验的参数，同时它的分布应该是已知的；同时它的分布应该是已知的； 根据要求给出显著性水平根据要求给出显著性水平 （小概率），（小概率），按照对立假设按照对立假设H1和检验统计量的分布，和检验统计量的分布，写出小概率事件及其概率表达式；写出小概率事件及其概率表达式；3假设检验的步骤假设检验的步骤 由由样本值计算出需要的数值，并查

2、出必样本值计算出需要的数值，并查出必要的常数值；要的常数值； 判断小概率事件是否发生。根据小概率判断小概率事件是否发生。根据小概率原理，若小概率事件在一次试验中发生，原理，若小概率事件在一次试验中发生，就认为原假设就认为原假设H0不合理，就拒绝不合理，就拒绝H0 （接受接受H1），），若小概率事件未发生，就若小概率事件未发生，就认为原假设认为原假设H0合理，接受合理，接受H0 。4二、正态总体的假设检验二、正态总体的假设检验设设X N( , 2)，样本样本X1, X2 , , Xn ,样本均值样本均值样本方差样本方差),(,121nNXXnXnii ),1(11122122nSnnXXnSni

3、i 51.数学期望的假设检验数学期望的假设检验（1 1）方差）方差 2已知，检验已知，检验 给出原假设给出原假设H0: = 0，对立假设对立假设H1: 0 ; 在在H0 : = 0成立的前提下，选统计量成立的前提下，选统计量 对给定的显著性水平对给定的显著性水平 ，按照对立假设，按照对立假设H1和统计量和统计量U的分布，小概率事件的分布，小概率事件|U|Z /2 , 概率表达式概率表达式P|U|Z /2= ) 1 , 0(/0NnXU 6数学期望的假设检验数学期望的假设检验 由样本值算出样本均值由样本值算出样本均值x，从而算出统从而算出统计量计量U的值的值u，并查出并查出Z /2 判断小概率事

4、件判断小概率事件|U|Z /2是否出现，是否出现，若若|U|Z /2 ,即小概率事件出现，就拒绝即小概率事件出现，就拒绝H0；若若|U|t /2(n- -1)概率表达式概率表达式P|T|t /2(n- -1)= ) 1(/0ntnSXT 9数学期望的假设检验数学期望的假设检验 由样本值算出由样本值算出x，s2，从而算出统计量从而算出统计量T的值的值t，并查出并查出t /2(n- -1) 判断小概率事件判断小概率事件|T|t /2(n- -1)是否出现，是否出现，若若|T|t /2(n- -1)，就拒绝就拒绝H0；若若|T| 0 ; 在在H0 : = 0成立的前提下，选统计量成立的前提下，选统计

5、量 对给定的显著性水平对给定的显著性水平 ，按照对立假设，按照对立假设) 1 , 0(/0NnXU 12数学期望的假设检验数学期望的假设检验H1和统计量和统计量U的分布，小概率事件的分布，小概率事件UZ 概率表达式概率表达式PUZ = 算出算出x，u，查出查出Z 判断：判断：若若UZ ,小概率事件出现小概率事件出现,拒绝拒绝H0,接受接受H1 ；若若UZ ,小概率事件没出现，接受小概率事件没出现，接受H0 。拒绝域拒绝域,0nZ 13数学期望的假设检验数学期望的假设检验左侧检验：左侧检验： 假设假设H0: = 0，备择假设备择假设H1: 0 ； 选统计量选统计量 对给定的显著性水平对给定的显著

6、性水平 ，小概率事件，小概率事件U- -Z 概率表达式概率表达式PU- -Z = 算出算出x，u，查出查出Z 判断：判断：) 1 , 0(/0NnXU 14数学期望的假设检验数学期望的假设检验若若U- -Z ,小概率事件没出现，接受小概率事件没出现，接受H0 。拒绝域拒绝域nZ 0,152.方差的假设检验方差的假设检验（1 1）期望）期望 已知，检验已知，检验 2 原假设原假设H0: 2= 02，对立假设对立假设H1: 2 02 ; 在在H0: 2= 02成立的前提下，选统计量成立的前提下，选统计量 对给定的显著性水平对给定的显著性水平 ，按照对立假设，按照对立假设H1和统计量的分布和统计量的

7、分布,小概率事件为小概率事件为)(21202nXKnii 2222)()(0221KnnK 16方差的假设检验方差的假设检验概率表达式为概率表达式为 由样本值算出由样本值算出K2值，值，查表得出查表得出 2 /2(n)， 21- - /2(n) 判断判断若若K2 2 /2(n) ,则拒绝则拒绝H0 ，若若 21- - /2(n)K2 2 /2(n) ，则接受则接受H0 。 22212)()(022KnnKP17方差的假设检验方差的假设检验拒绝域拒绝域接受域接受域 ),()(, 022122nn )(),(22122nn 18方差的假设检验方差的假设检验（2 2）期望）期望 未知，检验未知，检验

8、 2 用用X代替代替 原假设原假设H0: 2= 02，对立假设对立假设H1: 2 02; 在在H0: 2= 02成立的前提下，选统计量成立的前提下，选统计量 对给定的显著性水平对给定的显著性水平 ，小概率事件概，小概率事件概率表达式为率表达式为) 1() 1(22022nSnK 22212) 1() 1(022KnnKP19方差的假设检验方差的假设检验 由样本值算出由样本值算出S2,K2值，值，查表得出查表得出 2 /2(n- -1)， 21- - /2(n - -1) 判断判断若若K2 2 /2(n - -1) ,则拒则拒绝绝H0 ，若若 21- - /2(n - -1)K2 02;统计量统

9、计量对给定的对给定的 ，小概率事件为，小概率事件为 2 2 (n)，查出查出 2 (n)(21202nXnii 21方差的假设检验方差的假设检验拒绝域拒绝域 ( 2 (n)，+ ) ，接受域接受域(0， 2 (n) 左侧检验：左侧检验：H0: 2 = 02 ，H1: 2 02;统计量统计量 2(同上同上)对给定的对给定的 ，小概率事件为，小概率事件为 2Z /2(n) 拒绝域拒绝域:(- - ,-,-Z /2 ) (Z /2 , + ) 接受域接受域:(- -Z /2 , Z /2 ) 考虑考虑x,y，则拒绝域则拒绝域 接受域接受域2221210222121022,nnZnnZ ,222121

10、0222121022nnZnnZ 24期望差的假设检验期望差的假设检验对右侧检验：对右侧检验：H0: 1- - 2= 0， H1: 1- - 2 0拒绝域拒绝域对左侧检验：对左侧检验：H0: 1- - 2= 0， H1: 1- - 2t /2(n1+n2- -2) 拒绝域拒绝域:(- - ,-,-t /2 ) (t /2 , + ) 接受域接受域:(- -t /2 , t /2 ) 考虑考虑x,y，记记 则拒绝域则拒绝域(- - , , 0 - -K /2 ) ( 0 +K /2 , + ) 接受域接受域( 0 - -K /2 , 0 +K /2 ) 212111)2(22nnSnntKw 2

11、7期望差的假设检验期望差的假设检验(3)方差方差 12 , 22未知，未知， 但但n1,n2 都很大都很大 H0: 1- - 2= 0， H1: 1- - 2 0， 选统计量选统计量 对给定的对给定的 ，记，记拒绝域拒绝域(- - , , 0 - -K /2 ) ( 0 +K /2 , + ) 1 , 0(2221210NnSnSYXU 22212122nsnsZK 284. 方差比的假设检验方差比的假设检验XN( 1, 12),YN( 2, 22), X,Y相互独立，相互独立， 12 / 22为为方差比方差比（1） 1 , 2已知已知 H0: 12 / 22 =1,即即 12= 22 ， H

12、1: 12 22 ，)()(221222121211nYnXnjjnii 29方差比的假设检验方差比的假设检验 在在H0成立的条件下，选统计量成立的条件下，选统计量F 对给定的对给定的 ，小概率事件为，小概率事件为),(11211222212111nnFYnXnFnjjnii FnnFnnFF),(),(02121221 30方差比的假设检验方差比的假设检验 拒绝域拒绝域 接受域接受域),(),(, 02121221nnFnnF ),(),(2121221nnFnnF 31方差比的假设检验方差比的假设检验（2） 1 , 2未知未知 H0: 12 / 22 =1,即即 12= 22 ， H1:

13、12 22 ， 在在H0成立的条件下，选统计量成立的条件下，选统计量F 对给定的对给定的 ，拒绝域，拒绝域接受域接受域) 1, 1(212221nnFSSF),1, 1() 1, 1(, 02121221nnFnnF ) 1, 1(),1, 1(2121221nnFnnF 32三、两种类型的错误三、两种类型的错误 第一类错误，弃真：第一类错误，弃真：H0正确，但检验结正确，但检验结果却拒绝果却拒绝H0 ； 第二类错误，取伪：第二类错误，取伪：H0不正确，但检验不正确，但检验结果却接受结果却接受H0 。 正态总体正态总体XN( , 2)，方差方差 2已知，已知，检验期望检验期望 , 原原假设假设

14、H0: = 0 ， 对立假设对立假设H0: 0 ，比如比如 = 1 ， 统计量统计量) 1 , 0(/0NnXU 33两种类型的错误两种类型的错误对给定的显著性水平对给定的显著性水平 ，接受域，接受域拒绝域拒绝域 弃真的概率弃真的概率 P拒绝拒绝H0 | H0: = 0 正确正确 =P x H0拒绝域拒绝域= nZnZ 2200,2200nZnZ 34两种类型的错误两种类型的错误 取伪的概率取伪的概率 = P接受接受H0 | = 1 正确正确 nxnxdtexdennxnxtxxnx1112212112221221212135两种类型的错误两种类型的错误36四、非正态总体参数的假设检验四、非正

15、态总体参数的假设检验 小小样本：样本容量较小样本：样本容量较小(n50甚至甚至100) 假设检验假设检验 正态总体一般采用小样本正态总体一般采用小样本 非正态总体一般采用大样本，由中心极非正态总体一般采用大样本，由中心极限定理，样本均值近似服从正态分布，仍限定理，样本均值近似服从正态分布，仍按正态总体处理按正态总体处理37五、非参数检验五、非参数检验非参数检验非参数检验:对总体分布函数进行假设检验对总体分布函数进行假设检验1.皮尔逊皮尔逊 2检验法检验法 设总体设总体X的实际分布函数为的实际分布函数为F(x)，它是未它是未知的。从样本值推测出的总体知的。从样本值推测出的总体X可能的分可能的分布

16、函数为布函数为F*(x)，称为称为X的理论分布函数。的理论分布函数。对对F*(x)进行检验。进行检验。 将将n个样本值按大小顺序排列并分成个样本值按大小顺序排列并分成k个个组组(每个组内的样本点不要小于每个组内的样本点不要小于5个个)。用。用mi表示在第表示在第i个区间个区间ti- -1,ti上的样本点个上的样本点个38非参数检验非参数检验数，数，mi/n为频率，画出频率的直方图。从为频率，画出频率的直方图。从直方图估计总体直方图估计总体X的分布，定出的分布，定出X的分布的分布函数函数F*(x) 。原假设原假设H0:F(x)=F*(x),设设 ，在，在H0成立的条件成立的条件下，有下，有研究研

17、究mi/n与与 的差异程度，即的差异程度，即mi与与 的差的差异程度。异程度。iiitXtPp1)(*)(*1iiitFtFpip ipn39非参数检验非参数检验 选统计量选统计量皮尔逊证明了皮尔逊证明了,当当n时时, 2 2(k- -r- -1)分布，其中分布，其中r是中待估参数的个数。是中待估参数的个数。当当n充分大时充分大时(50),按按 2(k- -r- -1)分布处理。分布处理。 对给定的对给定的 ，小概率事件，小概率事件 由样本值求出由样本值求出 2值，查出值，查出 值。值。kiiiinpnpm122 1(22rkP) 1(2 rk 40非参数检验非参数检验 判断：判断： 若若 ，

18、小概率事件出现，小概率事件出现，拒绝拒绝H0 ， 若若 ，则接受，则接受H0 。) 1(22rk ) 1(22rk 41非参数检验非参数检验2.科尔莫戈罗夫检验法科尔莫戈罗夫检验法 总体总体X的实际分布函数为的实际分布函数为F(x) ，理论分理论分布函数为布函数为F*(x)，经验分布函数为经验分布函数为Fn(x) 。格列汶科定理格列汶科定理Fn(x) F(x) ，F(x) Fn(x)科尔莫戈罗夫科尔莫戈罗夫D检验：检验： 原假设原假设H0:F(x)=F*(x),利用利用| Fn(x)- -F*(x) |对对H0进行检验，进行检验，42非参数检验非参数检验若若| Fn(x)- -F*(x) |的值不大，则接受的值不大，则接受H0 ，若若| Fn(x)- -F*(x) |的值过大，则拒绝的值过大，则拒绝H0 。 取统计量取统计量称称Dn为为Fn(x)与与F*(x)的差异度。的差异度。科尔