第十二章振动(楼)

1、1第四篇第四篇 振动和波动振动和波动2不同的振动现象具有一些共同的物理特性不同的振动现象具有一些共同的物理特性振动与波动都是自然界最常见的运动形式振动与波动都是自然界最常见的运动形式各种波具有的共同特性称为波动性各种波具有的共同特性称为波动性水面波水面波超声波胎儿图像超声波胎儿图像光导纤维传导光波光导纤维传导光波心电图心电图座钟的钟摆座钟的钟摆卫星绕月周期运动卫星绕月周期运动特征：重复性、周期性特征：重复性、周期性3只要一个物理量在一定的平衡值附近发生周只要一个物理量在一定的平衡值附近发生周期性的变化，都可认为该物理量在作振动期性的变化，都可认为该物理量在作振动振动振动4第十二章第十二章 振动

2、振动5*12-5 两个相互垂直的简谐振动的合成两个相互垂直的简谐振动的合成12-4 一维简谐振动的合成一维简谐振动的合成 拍现象拍现象*12-3 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振12-2 简谐振动的能量简谐振动的能量12-1 简谐振动简谐振动12-6 振荡电路振荡电路 电磁振荡电磁振荡612-1 12-1 简谐振动简谐振动一、谐振动一、谐振动 作简谐振动的物体称为谐振子。作简谐振动的物体称为谐振子。（最典型的例子是弹簧振子的运动）（最典型的例子是弹簧振子的运动） 简谐振动是最基本的振动简谐振动是最基本的振动: 任何复杂的振动都可任何复杂的振动都可认为是由几个或多个简谐振动合成认为是

3、由几个或多个简谐振动合成简谐振动简谐振动最振动最振动基本基本简单简单7弹簧振子系统弹簧振子系统轻弹簧刚性物体轻弹簧刚性物体kmxgmNFOF弹簧劲度系数弹簧劲度系数谐振子谐振子x 胡克定律胡克定律弹性力大小弹性力大小kxF 方向方向始终指向平衡位置始终指向平衡位置O坐标坐标x 为物体相对于平衡位置的位移为物体相对于平衡位置的位移8平衡位置平衡位置物体受合力为的位置物体受合力为的位置平衡位置平衡位置mg谐振动谐振动定义：弹簧振子系统在平衡位置附近位定义：弹簧振子系统在平衡位置附近位移不太大，沿直线周期性来回往复运动。移不太大，沿直线周期性来回往复运动。原长？原长？坚直？坚直？水平弹簧振子水平弹簧

4、振子 弹簧原长（坐标原点）弹簧原长（坐标原点）9用学分析谐振动用学分析谐振动动力动力运动运动kxFmaF xmkmFa谐振动方程谐振动方程xmka0 xmkx 即即令令2mk02xx 受力回复力受力回复力牛顿第二定律牛顿第二定律0,A为积分常数为积分常数)cos(tAx* *求解得运动方程：求解得运动方程：10 物体所受合外力大小物体所受合外力大小F = - -kx 的运动为简谐振动的运动为简谐振动d. 简简谐振动谐振动定义定义令令2 mkxa2 加速度与位移成正比且方向相反的振动为简谐振动加速度与位移成正比且方向相反的振动为简谐振动makx 0dd222 xtx 位移是时间的余弦（正弦）函数

5、的运动为简谐振动位移是时间的余弦（正弦）函数的运动为简谐振动)cos( tAx简谐振动的微分方程简谐振动的微分方程解为解为简谐振动方程简谐振动方程11e谐振动物体的速度及加速度谐振动物体的速度及加速度)cos(tAx)sin(tAxvxtAxa22)cos( A A A2 A2 AA xtavT4T2T43T0 12二二. 简谐振动的振幅、周期及频率简谐振动的振幅、周期及频率振幅振幅 A周期周期 T物体作一次完全振动所需的时间，单位物体作一次完全振动所需的时间，单位 s频率频率 v单位时间内所作完全振动的次数，单位单位时间内所作完全振动的次数，单位 Hz角角(圆圆)频率频率秒内物体作全振动的次

6、数秒内物体作全振动的次数 2Tv22 kmxOAA单位单位 rad/s 或或 s-1物体离开平衡位置的最大位移物体离开平衡位置的最大位移 。13)cos( tAxkmT2 简谐振动方程可以表示为简谐振动方程可以表示为)2cos( tAx)2cos( tTAx 振动周期和频率可以表示为振动周期和频率可以表示为mkv21 固有周期固有周期固有频率固有频率与初始与初始条件无关条件无关伽利略曾观察的伽利略曾观察的比萨教堂的吊灯比萨教堂的吊灯14 符合定义的几种简谐振动模型符合定义的几种简谐振动模型竖直弹簧振子竖直弹簧振子 mk lg OgmFl0弹簧无形弹簧无形变位置变位置平衡位置平衡位置平衡时平衡时

7、00klmg单摆单摆lgmTF 5 sinmgF lgt 22dd振动方程振动方程15三三. 谐振动的相位、初相和振幅的决定谐振动的相位、初相和振幅的决定确定确定 t 时刻振动物体位置和运动方向时刻振动物体位置和运动方向相位相位 tt = 0 时的相位时的相位初相初相 由初始条件确定由初始条件确定A和和 设设 t = 0 时，时，00vv ，xx由由)cos( tAx)sin( tAv sincos00AAx v2020)( v xA振幅振幅16 由由 给出给出 的两个可能值的两个可能值Ax0cos A 0sinv 由由 的正负号，确定的正负号，确定 的值的值 初相初相 的决定的决定 2 0

8、或或17例例12-弹簧振子从平衡位置向正方向运动，振幅为弹簧振子从平衡位置向正方向运动，振幅为，经过，其位移如何？，经过，其位移如何？)cos(tAx时当0tcos0Ax 02sin0Axv 0sin故)2cos(tAx方程为ATTAxT22)2832cos(832解解:18四四.用图示法描述谐振动用图示法描述谐振动1.用曲线用曲线xxx t22402. 0TsTmA2cos000Axt20sin0 x )(22cos(02. 0mtx(m)0.02(s)cos(tAx0119解解：设运动方程：设运动方程：)cos(tAx由图：由图：A=2mA=2mt = 1t = 1：0)4cos(21x0

9、)4sin(21v443)443cos(2txt(s)O2-22x(m)1例例12-2：已知某质点作简谐运动，振动曲线如图，：已知某质点作简谐运动，振动曲线如图， 试根据图中数据写出振动表达式。试根据图中数据写出振动表达式。2cos20 x0sin20v t = 0t = 0：20)cos( tAxPAA振幅振幅 t = 0时，时，A与与x轴夹角轴夹角 t 0时，时， 以以 为角速为角速度逆时针方向旋转，度逆时针方向旋转， 与与 x轴夹角轴夹角A A t 参考圆参考圆旋转矢量旋转矢量 末端的投影点末端的投影点 tt =0 AAxOMMPt AA2.旋转矢量法旋转矢量法(振幅矢量法振幅矢量法)

10、参考圆参考圆:旋转矢量矢端在一旋转矢量矢端在一周期中划过的轨迹。周期中划过的轨迹。21 例例12-3 用旋转矢量法求简谐振动物体在下列情况的初相用旋转矢量法求简谐振动物体在下列情况的初相. (1)起起始时始时, 物体具有负最大位移物体具有负最大位移.(2)t=0时时, 物体在平衡位置且向负向运动物体在平衡位置且向负向运动. (3)t=0时时, 物体的位移为物体的位移为A/2且向正向运动且向正向运动. 解解: sin0cosAAA (1)t=0时时OX A (2)t=0时时0sincos00 AvAAXO2/ 2 (3)t=0时时0sincos20 AvAA XO3 A3 22模模振幅振幅A角速

11、度角速度角频率角频率旋转周期旋转周期振动周期振动周期T=2/ 上的投影在oxA上的投影端点速度在oxA上的投影端点加速度在oxA位移位移速度速度加速度加速度x =Acos(t+)v =- Asin(t+)a =- 2Acos(t+)旋转矢量旋转矢量简谐振动简谐振动符号或表达式符号或表达式A初相初相t=0时，时， 与与ox夹角夹角A相位相位t+t时刻，时刻， 与与ox夹角夹角A旋转矢量旋转矢量 与谐振动的对应关系与谐振动的对应关系A23 例例12-4设质点在设质点在Ox轴上作谐振动，振幅为轴上作谐振动，振幅为A。若某。若某时刻时刻 t 测得质点的位移测得质点的位移 ，向，向Ox轴负方向运动。轴负

12、方向运动。求该时刻质点振动的相位。求该时刻质点振动的相位。2Ax 作旋转矢量图，作旋转矢量图，t 时刻时刻质点振动的相位质点振动的相位 321arccos t 解解1 旋转矢量法旋转矢量法AAxO2A t 解解2 解析法解析法2AA 21)cos( t0 v0)sin( t3 tx= vK原长原长38一一. 阻尼振动阻尼振动能量衰减能量衰减,不等幅的振动不等幅的振动例例:摆动的秋千、单摆摆动的秋千、单摆xtOtA e tA e T阻尼振动的周期阻尼振动的周期谐振动：理想的等幅谐振动：理想的等幅能量不衰减速的振动能量不衰减速的振动。39使振动能量减少的原因：使振动能量减少的原因：1（振动系统所受

13、）摩擦阻力的作用（振动系统所受）摩擦阻力的作用2一部分能量转变为波的能量（由于振动一部分能量转变为波的能量（由于振动系统在弹性媒质中引起波动）向四周辐射系统在弹性媒质中引起波动）向四周辐射二二. 受迫振动受迫振动系统在周期性外力作用下发生的振动系统在周期性外力作用下发生的振动无周期性外力作用下发生的振动无周期性外力作用下发生的振动-自由振动自由振动例：音叉例：音叉敲击之后，音叉发生振动敲击之后，音叉发生振动-自由振动自由振动电磁铁使音叉振动电磁铁使音叉振动-受迫振动受迫振动（电磁周期性变化供给音叉周期性外力（电磁周期性变化供给音叉周期性外力）40三、共振三、共振周期性外力频率周期性外力频率振动

14、系统固有频率振动系统固有频率0受迫振动振幅受迫振动振幅maxA共振共振41 长长850米、宽米、宽12米的美国华盛顿州米的美国华盛顿州Tacoma Narrows 桥，于桥，于1940年，在通车几个月后，由年，在通车几个月后，由凌晨的风引起大幅摆动因共振而垮塌凌晨的风引起大幅摆动因共振而垮塌421AO x2 x1 x xM2AA1 2 )cos(111 tAx)cos(222 tAx振幅振幅)cos(212212221 AAAAA初位相初位相22112211coscossinsintanarc AAAA 一质点同时参与两个同方向、一质点同时参与两个同方向、同频率简谐振动同频率简谐振动合振动位移

15、合振动位移)cos(21 tAxxx21AAA一、两个同方向、同频率简谐振动的合成一、两个同方向、同频率简谐振动的合成431. 相位相同相位相同 ), 2, 1, 0( 212 kk 21maxAAA 2. 相位相反相位相反), 2, 1, 0( )12(12 kk 21minAAA 3. 一般情况下一般情况下2121AAAAA )cos(212212221 AAAAA相位差相位差 的影响的影响 12 44 合振动的强弱与两分振动相位差的关系合振动的强弱与两分振动相位差的关系讨论讨论)cos(212212221AAAAA) 12(k21minAAA12k221maxAAA)2, 1, 0(kx

16、O1A2A21AAAxO1A2A21AAA45 例题例题 12-10 物体同时参与物体同时参与N个同方向、同频率的个同方向、同频率的谐振动，其振幅都等于谐振动，其振幅都等于a，每相邻二振动的相位差都，每相邻二振动的相位差都等于等于 成等差级数成等差级数。求合振动振幅。求合振动振幅。 解解设设N个简谐振动的振动方程为个简谐振动的振动方程为) 1(cos)2cos()cos(cos321NtaxtaxtaxtaxN 2aN1aOM 3aP QA旋转矢量表示旋转矢量表示可以证明可以证明 内接内接于同一圆弧。于同一圆弧。, 3, 2, 1Naaaa46 NOCQ 2sin2 Ra 2sin2 aR 2

17、sin2 NRA 合振动的振幅合振动的振幅2sin2sin NaA 1a2a3aCOMNPQA 222 N个等腰三角形全等，每个三角形底角均个等腰三角形全等，每个三角形底角均= 每个三角形顶角均每个三角形顶角均=其中其中47解：解：作平行四边形如图作平行四边形如图6o1A2AA练习：练习：已知已知: :21AAAcm81Acm10A61相相差差与与 AA求：求：的的相相差差，及及212AAAcm04. 56cos212212AAAAAcos2222221AAAAAoAAAAA47.522arccos222221o47.82648二、两个同方向、不同频率的简谐振动的合成拍现象二、两个同方向、不同

18、频率的简谐振动的合成拍现象 两个同方向、不同频率的简谐振动可表示为两个同方向、不同频率的简谐振动可表示为)cos(11 tAx)cos(22 tAx合振动的位移为合振动的位移为)cos()cos(2121 ttAxxx若若 | 1 - - 2| 1 + 2 合振动可看作角频率为合振动可看作角频率为 212 tA2cos212 振幅为振幅为 ttA2cos2cos2121249合成后振幅时大时合成后振幅时大时小的现象，称为小的现象，称为拍拍 拍频拍频 拍拍 =| 2 1|122 拍拍T拍的周期拍的周期 双簧管的两个簧片的频率相双簧管的两个簧片的频率相差无几，能产生悦耳的拍音差无几，能产生悦耳的拍

19、音 哨片哨片双簧管双簧管50一、两个互相垂直的、同频率的简谐振动的合成一、两个互相垂直的、同频率的简谐振动的合成 两个互相垂直、同频率的简谐振动可表示为两个互相垂直、同频率的简谐振动可表示为)cos(11 tAx)cos(22 tAy合振动的轨道方程合振动的轨道方程)(sin)cos(21221221222212 AAxyAyAx为一椭圆为一椭圆51轨道是过原点斜率为轨道是过原点斜率为 的直线的直线12AA1. 两振动相位差两振动相位差 时，轨道方程为时，轨道方程为012 021 AyAx质点简谐振动振幅为质点简谐振动振幅为 2221AA xyOxy1A2A 522. 两振动相位差两振动相位差

20、 时，轨道方程时，轨道方程 12 021 AyAx质点简谐振动振幅为质点简谐振动振幅为2221AA xOy1A 2A 轨道是过原点斜率为轨道是过原点斜率为 的直线的直线12AA 533. 两振动相位差两振动相位差 时，轨道方程时，轨道方程212 1222212 AyAx 其轨道是一以坐标轴其轨道是一以坐标轴为主轴的椭圆，质点在椭为主轴的椭圆，质点在椭圆上沿顺时针方向运动圆上沿顺时针方向运动xOy1A2A544. 两振动相位差两振动相位差 时，轨道方程时，轨道方程2312 1222212 AyAx 其轨道是一以坐标轴其轨道是一以坐标轴为主轴的椭圆，质点在椭为主轴的椭圆，质点在椭圆上沿逆时针方向运

21、动圆上沿逆时针方向运动xOy1A2A55二、两个互相垂直的、不同频率的简谐振动的合成二、两个互相垂直的、不同频率的简谐振动的合成 李萨如图形李萨如图形 56称为称为电磁振荡电磁振荡最简单的振荡电路最简单的振荡电路 LC 振荡电路振荡电路电容器开始放电电容器开始放电前一瞬间前一瞬间I = 0Wm= 0CqW220e CL+ + + + + +- - - - - - - - - - - -q0 0eWmW一、一、LC 振荡电路振荡过程振荡电路振荡过程 电路中电压和电流（或电荷）的周期性变化电路中电压和电流（或电荷）的周期性变化产生电磁振荡的电路称为产生电磁振荡的电路称为振荡电路振荡电路57LC电路

22、的充电路的充、放电过程、放电过程q0 0+ + + +- - - - - - - - - - - - - - -+ + + +I0 0I0 0q0 0+ +- - - -Iq+ +- - - -Iq+ +- - - -IqI+ +- - - -qeWmWeWmWeWmWeWmWeWmWeWmWeWmWeWmW58当电容器极板上带电量为当电容器极板上带电量为 q，电路中电流为，电路中电流为 I 时时CqVVtIL BAdd线圈的自感电动势为线圈的自感电动势为不计电路中内阻时，有不计电路中内阻时，有二、二、LC 振荡电路振荡过程的定量描述振荡电路振荡过程的定量描述CqVV BAtILdd 电容器两端电势差为电容器两端电势差为CL+ + + + + +- - - - - - - - - - - -qI LC 振荡电路振荡电路AB59tqIdd 代入代入LC12 并令并令0dd222 qtq 所以电磁振荡是所以电磁振荡是简谐振动简谐振动得得简谐振动简谐振动微分方程微分方程解为解为)cos(0 tqq)sin(dd0 tItqI并得并得电流的振幅电流的振幅00qI 601. 电荷和电流都随时间作周期性变化电荷和电流都随时间作周期性变化LC1 LCT2 LC21