等价无穷小量的运用

1、. .无穷观下等价无穷小量的运用摘 要：本文简要介绍了无穷观思想的开展历程及等价无穷小量出现的背景，了解相关的数学史有助于更深入的学习无穷观的思想。掌握等价无穷小量的性质，可以在求解极限和判断正项级数的敛散性中灵活运用。本文通过对不同条件下等价无穷小量的应用的举例，切实体会到运用等价无穷小量是使复杂问题简单化的有效手段。同时还要防止错误的利用等价无穷小量。 关键词：无穷观；等价无穷小；极限Abstract:This paper briefly introduces the development progress of infinite views and the background of

2、equivalence infinitesimal, knowing the relevant math history is beneficial for the deep learning of the infinite views and grasping the qualities of equivalence infinitesimal contributes to the flexible application in solving the limitation and judging the positive series. According to the applied e

3、xamples of infinitesimal in different conditions, we realize that using the equivalence infinitesimal is the equivalence infinitesimal is the effective way to make plex problems simplified.And at the same time we should avoid using the equivalence infinitesimal mistakenly.Key words: the infinite vie

4、w;equivalence infinitesimal;limit史鉴使人明智，诗歌使人巧慧，数学使人精细，博物使人深沉，伦理之学使人庄重，逻辑与修辞使人善变。教育开展至今，数学已经成为必不可少的一门学科就是因为“数学使人精细。由于数学的抽象程度高，因此数学理论并不是一目了然的，需要进展深入的分析论证，经过反复的思考才能得到理解。这种理解要靠学生自己的领悟才能获得，而领悟又靠对思维过程的不断更新才能到达。因此，独立思考，随时对思维过程进展反思，及时地获取新知识和新方法，是学好数学的必要手段，随之形成严密的思维方式。两千年来的三次数学危机都与，如因为无理数的出现在古希腊引起第一次危机，因为 “无

5、穷小悖论 在欧洲引起第二次危机，因为 “罗素悖论而引起第三次危机。可以说，“无穷 是学习数学的必要条件。无穷这个数学中的根本概念，更是高等数学中的一个重要概念。大学数学中高等数学、数学分析的学习中，首先是了解无穷观思想这对于数学相关专业的学生后续课程的学习有着直接的影响。1 无穷思想的出现与开展17世纪下半叶，牛顿、莱布尼茨创立的积分学，用了无穷小量的概念，但因对其解释模糊不清，出现了贝克莱悖论，导致数学史上的第二次数学危机。19世纪，柯西、魏尔斯特拉斯等人引入极限论、实数论，使微积分理论严格化，从而防止了贝克莱悖论，圆满解决了第二次数学危机。然而与此同时，极限方法代替了无限小量方法。无穷小量

6、作为“消失了的幽魂被排斥在了数学殿堂之外。1960年，美国数理逻辑学家A·鲁滨逊指出:现代数理逻辑的概念和方法为“无限小、“无限大作为“数进入微积分提供了适宜的框架，无穷小量堂而皇之地重返数坛，成为逻辑上站得住脚的数学中的一员，被认为是“复活了的无穷小。这样微积分创立300年后，第一个严格的无穷小理论才开展起来。回忆微积分学开展的历史，无穷小分析法极限方法无穷小分析法，否认之否认，微积分学根底获得了进一步开展。认真考察无穷在数学中的开展历程，可以注意到在无穷思想中一直存在着两种观念：实无限思想和潜无限思想。所谓实无限思想是指：把无限的整体本身作为一个现成的单位，是已经构造完成了的东西

7、，换言之，即是把无限对象看成为可以自我完成的过程或无穷整体。所谓潜无限思想是指：把无限看做永远在延伸着的，一种变化着成长着被不断产生出来的东西来解释；它永远处在构造中，永远完成不了，视无限为永远在延伸着的即不断在创造着的永远完成不了的过程。数学中无限的历史实际上是两者在数学中合理性的历史。亚里士多德只成认潜无限，使其在古希腊数学中占统治地位。 集合论是现代数学乃至现代科学的根底，集合论还可以看成是研究无穷的理论。准确把握大学数学极限论及集合论的无穷概念，根本有这三种类型：无穷大、无穷小及无穷多，对应到高等数学、数学分析及集合论中无穷概念为：定义 (1) 设 是一个定数, 是的邻域内有定义的函数

8、. 如果,存在 ,使得当时, 总有, 那么称 是函数 当 时的极限, 记为 . (2) 如果,那么称当是无穷小量. (3) 如果对任意给定的 ,存在,使得当时,总有,那么称函数 当 时是无穷大量,记为.类似还有数列极限相应的无穷大量、无穷小量概念,单侧极限无穷大量、无穷小量,无穷远处的无穷大量、无穷小量等概念。引理 设是一个定数，是在的邻域内有定义的函数.那么： 1如果，那么. 2如果，且在的邻域内，那么. 引理的结论即为：无穷大量的倒数是无穷小量，无穷小量的倒数是无穷大量，无穷大量与无穷小量互为反演关系，从而二者的的关系是：知道了其中一个的性质也就相应的知道了另一个的性质。2 等价无穷小的概

9、念定义在某一极限过程中，以零为极限的变量称为无穷小量。定义 设函数与当都是无穷小，且，假设有，那么称与是等价无穷小，记作假设，那么显然其实所谓“等价就是无穷小和趋于0的速度相当。例如：，称在的过程中与为等价无穷小量，简称等价无穷小。3 等价无穷小的应用3.1 等价无穷小在求函数极限中的应用 极限的方法是数学分析最根本的方法之一，存在性与求法是极限的两大问题。在求极限时，正确使用等价无穷小代换，可以简化计算。约定：以下均假定极限是对同一自变量的变化过程而言，定理及证明中仅以某一类极限过程为代表，其他情况类似可得。当时，有 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10 定理 设在同一

10、极限过程的两个无穷小量的比式中，假设将它们都换以自己的等价无穷小量，那么所得比式的极限值不变。证明： 设在同一极限过程中，均为无穷小量，且，于是，此定理是求极限更加方便，如果把无穷小量换上表达式比较简单的等价无穷小量，就可以简化计算过程。例 求解： 因为当时，所以，= 例求解： 因为当时，所以，=例 求解： 因为当时，所以，=推论在求同一极限过程的两个无穷小量比的极限时，假设将分子或分母一方换以等价无穷小量，那么比的极限值不变。例求解： 错误的解法：当时，所以，=正确的解法：当时，所以，=注意：再利用等价无穷小作代换时，一般只在以乘积形式出现时才进展互换，而以和差出现时，不要轻易代换，否那么可

11、能出现改变了它的无穷小量之比的阶数情况。3.2 等价无穷小在近似计算中的应用利用等价无穷小，在进展近似计算时，有时可以起到意想不到的效果，如:例 求的近似值解： 因为当时，所以，=，而的准确值在保存小数点后6位可得到2.005175,相对误差为0.000016这已经计算精度高了，所以可以用等价无穷小来进展近似计算。3.3 等价无穷小在简化幂指函数的应用 通常把形式为的函数称为幂指函数。利用等价无穷小量简化幂指数，具体做法是先把恒等变形为后，再根据求连续函数的极限时，函数符号与极限可以交换次序的方法来计算，即例 求解： 利用，所以，=例 求解： 当时，所以，=例 求解：当时，=所以，=3.4 等

12、价无穷小在判断级数收敛中的应用定理设为时的同号无穷小量，那么与具有一样的敛散性().例判断以下级数的收敛性并证明（1） ，（2） 解：(1) 由-，因为，因为时，而因为收敛，从而原级数收敛。 = = =,因发散，故原级数发散。 使用等级无穷小应注意的问题 (1)使用等价无穷小代换法那么求极限之前一定要判断所求函数是否符合法那么求。 (2)使用等价无穷小代换求两个无穷小之比极限时，如果所求函数是分式，可用等价无穷小代换整个分子,也可代换整个分母，或整个分子、分母同时代换。(3) 在求有关无穷小极限的过程中，假设无法满足等价无穷小代换法那么要求，就要通过对所求极限函数的转换分解、通分等方法把所求极

13、限函数等价变形为适合满足等价无穷小代换法那么的极限函数。假设在计算推理过程中确实需要其它方法来帮助解决问题，那么可以综合使用其它方法。5 结语无穷小是数学分析的根底概念, 贯穿于数学分析的始终。我们明白极限计算是大学根底数学的一个重要内容，尤其在进一步学习数学中，极限思想广泛应用，而等价无穷小量代换又是极限运算中的一种重要方法。但还是要具体问题具体分析，同时结合洛必达法那么，选择合理恰当的方法进展求解。利用等价无穷小量代换极限，主要是指在求解有关无穷小的极限问题时利用等价无穷小量的性质，进展计算。通常与洛必达法那么一起使用，目的是使解题步骤简化，减少运算错误。进展等价无穷小量的代换原那么是整体代换或对其中的因子进展代换。了解数学史我们发现无穷思想的开展并不是一帆风顺的，也是充满争论的，正是在不断地争论、不断地思考中，我们的数学理论才不断的完善、严谨。参考文献:1 胡作玄第三次数学危机M*：*人民，19852 杨宗文，李有宝大学数学中的无穷观J*大学学报，2021，30(2)：456-4603 陈传璋，金福临，X学炎，等数学分析(上册，第二版M：高等教育，20034 *大学数学系高等数学教研室高等数学(第一册，第三版M：高等