压轴题高中数学高中数学选修2定积分测试包含答案解析

1、、选择题定积分64A.10-M3B,良-In3D.2.定积分(x2）2xdx的值为（）A.D.43.A.曲线y1eeex和直线xB.1围成的图形面积是（C.ee1D.e4.曲线y2x与直线1,x1以及x轴所围图形的面积为（A.8八2BC.3r2D.35.fx的图像如图所示,则它与x轴所围图形的面积为2A.一5已知二次函数yO4B.一3C.D.1xe02xdx的值为（A.B.C.D.7.曲线ysinx冗与直线y12围成的封闭图形的面积是A.、,3B._冗C.23D.8.已知t24cos2xdx0,执行下面的程序框图，如果输入的at,b2t,那么输出的n的值为（）A.3B.4C.5D.69.定义m

2、ina,ba,ab,设f(x)b,ab,31minx3,-,则由函数f(x)的图象与x轴、直x线x4所围成的封闭图形的面积()A. 2ln6B. -2ln24C.41n2D.-ln2610.由直线0,xe,y2x及曲线2，一所围成的封闭图形的面积为()xA.3B.32ln2D.11 .由直线y=x-4,曲线yJ2丁以及x轴所围成的图形面积为()A.15B.1325C.2D.40312 .函数f2x,x0、4x2,0x22f(x)dx的值为()A. 6二、填空题B.C. 2D.13 .定积分11x2xdx214 .质点运动的速度v18t3t则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是115,两个函数

3、姆与丫x2,它们的图象及y轴围成的封闭图形的面积为yx16 .由直线yx2与曲线y-x2围成的封闭图形的面积是.17 .已知函数f(x)2lnxx2,若方程f(x)m0在p,e内有两个不等的实数根，则e实数m的取值范围是218.设函数f(x)axb(a0)3f(x)dx3f(x0),x0,则0X0定义在R上的对任意两个不等的实数X,X2都有X1fX1X2fx2x1fxx2fxi则称函数fx为2函数”给出下列四个定义在0,的函数Inx,x0y2xsinx-cosx；y0,x02_,xy2x4x,x之函数”对应的序号为x,xx2dx得220.计算x2三、解答题21.已知函数f(x)x2alnx(a

4、R),F(x)bx(bR).(1)讨论f(x)的单调性；设a2,g(x)f(x)F(x),若ox2(0xix2)是g(x)的两个零点，且x0x1x22，试问曲线yg(x)在点x0处的切线能否与x轴平行？请说明理由.22 .现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D,作DEIIOA、CFHob分别交弧AB于点E、F,且BDAC,现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的养殖区域.已知OA1km,AOB一,2EOF(0-).，1,2,(1)若区域n的总面积为一km2,求的值；4(2)若养殖区域I、n、出的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元,试问

5、：当为多少时，年总收入最大？23 .已知函数f(x)x3ax2bxc的图象如图，直线y0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为27(1)求f(x)的解析式;，1的圆的1部分，而4:“4(x2)2xdx表示的图形如下图的阴影部分，面积为22222.(2)若常数m0,求函数f(x)在区间m,m上的最大值.24 .求曲线y6x和y向，y=0围成图形的面积.1t25.已知x3+ax+3abdx=2a+6,且ft=x3+ax+3abdx为偶函数，求10a,b.26.在37x2%/1x11的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为“，求1xdx0【参考答案】*试卷处理标记，

6、请不要删除、选择题1. .B解析：B/2*-$dx=©2-In3)-(l2-lnl)=8-ln3箕，故选B.2. B解析：B【解析】试题分析：由定积分的几何意义有：44(x2)2dx表示的是以(2,0)为圆心，半径为22°xdx表示的是直线yx,x0,x2,x轴所围成的面积，故故选B.考点：1.定积分的几何意义；2.方程的化简(0,1),|03. D解析：D【解析】试题分析：根据题意画出区域，作图如下,ye由y解得交点为yex，所求面积为：1Sexexdx0考点：定积分及其应用4. A解析：A【解析】试题分析：据图像(x22x0)dx1o(x2x)dx0/131(3xx2)

7、出方程10=(31)=32一=23考点：区间函数的运用5. B解析：B【解析】设fxax1x1,a0,又点0,1在函数fx的图象上,2a1,fx1x,由定积分几何意义，围成图形的面积为21314_S1xdxx-x|1-,故选B.1 336. A解析：A【解析】1 1ex2xdx(exx2)e11e2,选A.007. D解析：D【解析】11，51曲线ysinx0x九与直线y二的两个交点坐标分别为(大二),(刀，二),26262则封闭图形的面积为sinxdx157rcosxx|6、3267t3本题选择D选项.点睛：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数.此外，如果被积函数是绝对

8、值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加.(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分.a(3)若y=f(x)为奇函数，则fxdxa0=0.a8. B解析：B【解析】4_由题意得t2cos2xdxsin2x|04sin102所以输入的a1,b2.执行如图所示的程序，可得：a3,b5,S5,n2,不满足条件，继续运行；a8,b13,S18,n3,不满足条件，继续运行；a21,b33,S51,n4,满足条件，停止运行，输出4.选B.9. B解析：B【解析】由x31一，得xx1,则图象的交点为(1,1),(1,1)xmin，根据对称

9、性可得函数fx的图象与x轴、直线x4所围成的封闭图形的面积为1x3dx01dx1x4|x441lnx|142ln2故选B10. A解析：A【解析】e曲边四边形OABC的面积为1122-dx1x2lne-一一112(lneln1)123.故选A.点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积.11. D解析：D【详解】根据题意，画出如图所示:由直线

10、y40x4,曲线y必以及x轴所围成的面积为:2xdx4(2x84)dx1x24x)2403故选D.12. A解析：A【分析】先求出f(x)dx2dX,再求出02c2dx即得解.由题得22f(x)dx2(2x)dx.4x2dx(2x01202x)12,4x2dx0所以024x2dx,2,y0)，4x2(0x2,2x+y4,所以yv4x2(0x2,y0)表不圆x2+y24在第一象PM的部分(包含与坐标轴的交_,1点)，其面积为一4=.4所以4x2dx.02所以2f(x)dx6.故选：A【点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平二、填空题13. 1【分析】将定积分根据绝对

11、值里的正负分为两部分利用定积分公式计算得到答案【详解】故答案为：【点睛】本题考查了定积分的计算意在考查学生的计算能力和转化能力解析：1【分析】将定积分根据绝对值里的正负分为两部分，利用定积分公式计算得到答案【详解】12xxdx12x0012dxx1xdx13120131-x-x1-x-x32322101.故答案为：1.【点睛】意在考查学生的计算能力和转化能力本题考查了定积分的计算,14. 108m【分析】令速度为0求出t的值0和6求出速度函数在上的定积分即108m【点睛】本题主要考可【详解】由得或当时质点运动的路程为故答案为:查了定积分定积分在物理中的应用属于中档题解析：108m.【分析】令速

12、度为0求出t的值0和6,求出速度函数在0,6上的定积分即可.【详解】由18t3t20,得t0或t6,66当t0,6时，质点运动的路程为S18t3t2dt9t2t363962108,00故答案为：108m【点睛】本题主要考查了定积分，定积分在物理中的应用，属于中档题15.【解析】【分析】首先联立两个函数方程求得交点坐标然后结合题意和定积分的几何意义计算定积分的数值即可求得封闭图形的面积【详解】联立直线与曲线的方程：解得对于令则结合定积分与几何图形面积的关系可得阴影部解析：16【解析】【分析】首先联立两个函数方程求得交点坐标，然后结合题意和定积分的几何意义计算定积分的数值即可求得封闭图形的面积【详

13、解】12联立直线与曲线的方程yx:yx2x4解得y2,对于yx2,令x0,则y2,22结合定积分与几何图形面积的关系可得阴影部分的面积为：(y2)dyy2dy20122y2y21323y故答案为161 .由函数图象或曲线围成的曲边图形面积的计算及应用，一般转化为定积分的计算及应用，但一定要找准积分上限、下限及被积函数，且当图形的边界不同时，要讨论解决.画出图形，确定图形范围；(2)解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；(3)确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；(4)计算定积分，求出平面图形的面积；2 .由函数求其定积分，能用公式的利用公式计算，有些特殊函数可根据其几何意义，求出其

14、围成的几何图形的面积，即其定积分.有些由函数的性质求函数的定积分.16.【解析】作出两条曲线所对应的封闭区域如图所示由得解得或则根据定积分的几何意义可知所示的封闭区域的面积故答案为,一9解析：-2【解析】yx2修°作出两条曲线所对应的封闭区域，如图所示，由，2,得x2yxx2，解得1或x2,则根据定积分的几何意义可知所示的封闭区域的面积2(x2x2)dx11x31x22x29,故答案为.3212217.【解析】当时在为增函数当时在为减函数当时有极大值也为最大值又因此本题正确答案是一，一1,解析：（1,2.e【解析】-'f'(x)2(1x)(1x)x1 、，1，当x,1

15、)时，f'(x)0,f(x)在,1)为增函数，ee当x(1,e)时，f'(x)0,f(x)在(1,e)为减函数，当x1时，f(x)有极大值，也为最大值，f(1)1,1 12又f(一)2-,f(e)2e,ee2 rm1,e,-11m22.e1因此，本题正确答案是：(1,2.e18 .【解析】=9a+3b则9a+3b=3a+3b二=3解得：=故答案为解析：,3【解析】32axb,fxdx3fXo,032ax0bdx13-ax33bx=9a+3b,0则9a+3b=3ax2+3b,x=3,解得：xo=J3，故答案为3.19 .【解析】函数在上单调递增为单调递减单调递增;单调递增;且所以

16、为单调递增选解析：【解析】x1fx1x2fx2x1fx2x2fx1x1x2fxifx20函数fx在R上单调递增.y3x20,y2cosxsinx2/2sinx0,x0,ylnx422为单倜递减，x0,yx4x单倜递增；x0,yxx单倜递增；且ccx24xx0x0,yx24xx2x,所以y2,0为单调递增，选2x,x020 .【解析】分析：根据定积分的定义分别和求和即可详解：表示以（00）为圆心以2为半径的半径故故答案为点睛：求定积分的三种方法（1）利用定义求定积分（定义法）可操作性不强（2）利用微积分基本定理求定积分（解析：2.【解析】分析：根据定积分的定义分别2idx和2y4x2dx,求和即

17、可.详解：.42x2dx表示以(0,0)为圆心，以2为半径的半径.故4x2dx2214x22故答案为42.dx2idx22、4x2dxx|22242.2点睛：求定积分的三种方法（1）利用定义求定积分（定义法），可操作性不强.(2)利用微积分基本定理求定积分.(3)利用定积分的几何意义求定积分.当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分.三、解答题21 .(1)当a0时，f(x)0,f(x)在0,上单调递增，所以a0时，f(x)的单调减区间是0，A,单调增区间是后；(2)yf(x)在设处的切线不能平行于x轴.。【解析】试题分析：(1)先对函数求导，再依据到函数值与函数单调性之间的关系分

18、类探求单调区间；(2)先假设曲线ygx在点处的切线能否与x轴平行，然后依据假设建立方程2t2一一”,组，最后再构造函数htlnt，运用导数的知识断定假设不成立。t12解:a2xa八I)fx2x-,x0xx当a0时，fx0,fx在0,上单调递增,当a0时，fx0得xJ|有x噌fx一0+fx极小值fJ2所以a0时，fx的单调减区间是0,|,单调增区间是后2(n)gxx2lnxbx假设ygx在处的切线能平行于x轴.gx-2，-2xb,x0由假设及题意得:Xi2xi2lnx1bxi0x22x22lnx2bx20X22x0x02x0x0得,22xix221nxi1nx2bxiX2xi-21nb2x0Kx

19、2由得,In过x22xix22刍2X2xix2xix2xi令一又2x2,i.则上式可化为1nt2t2ti，设函数Int2t2i2i所以函数hInt0,i上单调递增l于是，当0i时,hi0,即Int2t2一一与，0与矛盾.ti所以yf在处的切线不能平行于x轴.点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，精心设置了两个问题，旨在考查导数知识在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。求解第一问时，先函数的解析式进行求导，再对参数进行分类讨论研究导函数的值的符号，从而求出函数的单调区间；求解第二问时，先假设存在处的切线平行于x轴，然后在假设的前提下进行分析推证，从而得出与已知和假设矛盾的结论，使得问

20、题获解。【解析】试题分析：（ODOC,22.(i)i）本问考查解三角函数的实际应用，由OBOA及BDAC可知根据条件易证RtODERtOCF,所以DOECOFsin值;1一_，由OCOFcosCOF可以求出S土COF-OCOF1111COF-cos,所以区域n的总面积为一cos,则cos,可以求出的4242(2)本问考查函数的最值问题，区域I的面积可以根据扇形面积公式求得，区域n的面积第(1)问中已经求出，区域出的面积可以用1/4圆的面积减去区域是得到年收入函数，利用导数求函数的最大值即可得出年收入的最大值试题i、n的面积，于(1)因为BDAC,OBOA,所以ODOC.因为AOB,DE|OA,

21、CF|OB,2所以DE又因为OEOB,CFOF,所以OA.RtiODERtiOCF.所以DOECOF又OCOFcosCOF所以S.cofCOF1OC2OFsinCOF1一cos4所以S区域1cos2(0由1cos21-得cos4.0(2)因为8区域皿8tt心、限域I8区域1一cos2记年总收入为y万元,所以130402510cos512sin1-cos2(020cos)0;当一6故当一时，y有最大值,6即年总收入最大考点：1.三角函数的实际应用;3223.(1)f(x)x3x;2.利用导数研究函数的最值f(m)m33m2.(2)当0m3时，f(x)maxf(0)0；当m3时，f(x)max(1

22、)第一步：根据图形分析出两个重要的信息，过原点，并且在原点处的导数等于0,第二步，计算出图形与工轴的令一个交点，求出被积区间，利用定积分求面积的公式写出定积分，最后计算出a2(2)根据(1)求出f(x)X33x2,第一步：求函数的导数，第二步：求函数的极值点，和判断单调区间，第三步，根据区间，并极大值/(0)=0,并求出=0,因为，物二口，所以分所二3或。支祐3两种情况进行讨论，得出最大值【详解】(1)由f(0)0得c=0,f(x)3x22axb.由f(0)0得b0,f(x)x3ax2x2(xa),则易知图中所围成的区域(阴影)面积为af(x)dx0323,f(x)x3x.(2)由(1)知f(x)3x26x3x(x2).x,f(x),f(x)的取值变化情况如下:x(,0)0(0,2)2(2,)f(x)00f(x)单调递增极大值f(0)0单调递减极小值f(2)4单调递增又f(3)0,当0m3时，f(x)maxf(0)0;32当m3时，f(x)maxf(m)m3m.综上可知：当0m3时，f(x)maxf(0)0；32当m3时，f(x)maxf(m)m3m.24.”3【分析】首先由定积分的几何意义用定积分表示曲线围成图形的面积，然后计算定积分即可得