理学概率统计

1、1. 二维随机变量的概念二维随机变量的概念2. 二维离散型随机变量二维离散型随机变量 3. 二维连续型随机变量二维连续型随机变量 4. 二二维随机变量维随机变量的分布函数的分布函数 5. 小结小结第一节第一节 二维随机变量二维随机变量图示图示e )(eY S)(eX ., ),(,)()(, ,或二维随机变量或二维随机变量叫作二维随机向量叫作二维随机向量由它们构成的一个向量由它们构成的一个向量上的随机变量上的随机变量是定义在是定义在和和设设它的样本空间是它的样本空间是是一个随机试验是一个随机试验设设YXSeYYeXXeSE 1.1.二维随机变量的概念二维随机变量的概念(1) 定义定义实例实例1

2、 炮弹的弹着点的位置 ( X, Y ) 就是一个二维随机变量. 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.实例实例2 考查某一地 区学前儿童的发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变量 ( H, W ).说明说明 2.2.二维离散型随机变量 (1) 定义定义 若二维随机变量若二维随机变量 ( X, Y ) 所有可能取到的不所有可能取到的不相同的数偶相同的数偶 是有限对或无限是有限对或无限可列对时可列对时,则称则称 ( X, Y ) 为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量.,.2, 1,),( jiyxji(2) 二

3、维离散型随机变量的分布律二维离散型随机变量的分布律 . 1, 0 , , ),( , 2, 1, 2, 1,),(),(11 ijijijijjijippYXYXjipyYxXPjiyxYX其其中中的的联联合合分分布布律律和和机机变变量量或或随随的的分分布布律律变变量量称称此此为为二二维维离离散散型型随随机机记记所所有有可可能能取取的的值值为为设设二二维维离离散散型型随随机机变变量量二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为XY 21ixxxjyyy21 12111ippp 22212ippp 21ijjjppp例1 一箱子装有5件产品，其中2件正品，3件次品每次从中取1件产品检验质量，

4、不放回地抽取，连续两次如下：和定义随机变量YX10X，第一次取到次品，第一次取到正品10Y，第二次取到次品，第二次取到正品.),(的分布律试求YX解得：按概率的乘法公式计算及对：可能取的值只有),1 , 1 ()0 , 1 (),1 , 0(),0 , 0(4),(YX0,00 00P XYP XP YX210.1540,1P XY230.3541,0P XY320.3541,1P XY320.354：的分布律用表格表示为),(YX.),(. 1 , 4 , 3 , 2 , 1 的分布律的分布律试求试求整数值整数值中等可能地取一中等可能地取一在在另一个随机变量另一个随机变量取值取值四个整数中等

5、可能地四个整数中等可能地在在设随机变量设随机变量YXXYX解解:,的取值情况是的取值情况是jYiX , 4 , 3 , 2 , 1 i,的的正正整整数数取取不不大大于于 ij且由乘法公式得且由乘法公式得,jYiXP iXPiXjYP ,411 i, 4 , 3 , 2 , 1 i. ij 的的分分布布律律为为于于是是),(YX例例2XY12341234418112116108112116100121161000161 设设(X,Y)是二维随机变量，如果存在定义在平是二维随机变量，如果存在定义在平面上的函数面上的函数f(x,y),满足条件满足条件(1)定义定义 3. 二维连续型随机变量. 0),

6、()1( yxf. 1dd),()2( yxyxf内内的的概概率率为为落落在在点点平平面面上上的的一一个个区区域域是是设设GYXxoyG),(,)3(.dd),(),( GyxyxfGYXP则称则称(X,Y)是连续型随机变量，而是连续型随机变量，而f(x,y)称为二维随机称为二维随机变量变量(X,Y)的概率密度函数或称为随机变量的概率密度函数或称为随机变量X和和Y的联的联合概率密度函数合概率密度函数.表示介于表示介于 f (x, y)和和 xoy 平面之间的空间区域的平面之间的空间区域的全部体积等于全部体积等于1.,dd),(),( GyxyxfGYXP, 1dd),( yxyxf (2) 说

7、明说明.),(, ),(为顶面的柱体体积为顶面的柱体体积以曲面以曲面为底为底的值等于以的值等于以yxfzGGYXP .),(,表示空间的一个曲面表示空间的一个曲面几何上几何上yxfz 由概率的性质 ( , )d d1f x yx y 1CA可得故有( , )f x y1, ( , )0 ,x yGA其它以上式为概率密度，如果一个二维随机变量),(YX.),(上的均匀分布服从区域则称GYX( , )f x y, ( , )0 ,Cx yG其它设G是平面上的一个有界区域，其面积为A。二维随机变量(x,y)只在G中取值，并且取G中的每一个点都是“等可能的”，即(x,y)的概率密度为4. 二维随机变量

8、的分布函数二维随机变量的分布函数 (1)分布函数的定义分布函数的定义 .,),(,)()(),( :,),( 的联合分布函数的联合分布函数和和机变量机变量或称为随或称为随的分布函数的分布函数称为二维随机变量称为二维随机变量二元函数二元函数对于任意实数对于任意实数是二维随机变量是二维随机变量设设YXYXyYxXPyYxXPyxFyxYX xoy),(yx yYxX ,. , ),(示区域内的概率示区域内的概率就是随机点落在如图所就是随机点落在如图所的函数值的函数值yYxXPyxF , ),( xxyyijijpyxF说明说明（）离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数归纳为. , ,求和求和

9、的的其中和式是对一切满足其中和式是对一切满足jiyyxxji （）连续型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数为,),(),( yxdxdyyxfyxFxyyxFyxfyxf ),(),(),(2的连续点有的连续点有且在且在例3具有概率密度设二维随机变量),(YX( , )f x y(2)2e,0 ,00,x yxy其他1( , )2F x yP XY试求:( )分布函数( )解）（ 1( , )( , )d dyxF x yf x yx y (2)002ed d ,0,00,yxx yx y xy 其他.2(1 e)(1 e),0,0( , )0,xyxyF x y其他.即有）（2GyxXO

10、Y上方的区域记为平面的直线把位于1于是( , )( , )d dGP XYPx yGf x yx y(2)022ed d3x yxy x 落入任一矩形点这时),(,YX1212( , ),Gx y xxxyyy,()的概率 即可由概率的加法性质求得 如下图1212,P xXxyYy22122111(,)( ,)(,)( ,).F xyF x yF xyF x y分布函数具有以下的基本性质： ）（ 10( , )1F x y且, y对任意固定的(, )0Fy，对任意固定的x( ,)0F x (,)0,F (,)1F 的不减函数或是）（yxyxF),(2(0, )( , ),( ,0)( , )F

11、 xyF x y F x yF x y）（3）对任意的（411221212( ,),(,),x yxyxxyy22122111(,)( ,)(,)( ,)0F xyF x yF xyF x y有定义个随机变量上的是定义在样本空间设nXXXn,21则12(,)nXXXnn称为 维随机向量或 维随机变量个实数对于任意n12,nx xx函数,12( ,)nF x xx1122,nnP Xx XxXx维随机变量称为n12(,)nXXX的分布函数或.,21的联合分布函数随机变量nXXX实例实例1 炮弹的弹着点的位置 ( X, Y ) 就是一个二维随机变量. 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与

12、X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.实例实例2 考查某一地 区学前儿童的发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变量 ( H, W ).说明说明 XY12341234418112116108112116100121161000161表示介于表示介于 f (x, y)和和 xoy 平面之间的空间区域的平面之间的空间区域的全部体积等于全部体积等于1.,dd),(),( GyxyxfGYXP, 1dd),( yxyxf (2) 说明说明.),(, ),(为顶面的柱体体积为顶面的柱体体积以曲面以曲面为底为底的值等于以的值等于以yxfzGGYXP .),(,表示空间的

13、一个曲面表示空间的一个曲面几何上几何上yxfz 由概率的性质 ( , )d d1f x yx y 1CA可得故有( , )f x y1, ( , )0 ,x yGA其它以上式为概率密度，如果一个二维随机变量),(YX.),(上的均匀分布服从区域则称GYX( , )f x y, ( , )0 ,Cx yG其它设G是平面上的一个有界区域，其面积为A。二维随机变量(x,y)只在G中取值，并且取G中的每一个点都是“等可能的”，即(x,y)的概率密度为, ),( xxyyijijpyxF说明说明（）离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数归纳为. , ,求和求和的的其中和式是对一切满足其中和式是对一切满足jiyyxxji （）连续型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数为,),(),( yxdxdyyxfyxFxyyxFyxfyxf ),(),(),(2的连续点有的连续点有且在且在分布函数具