信号及其表述

1、11.0 1.0 序（序（IntroductionIntroduction）1.1 1.1 信号的分类（信号的分类（Signal ClassificationSignal Classification）1.2 1.2 信号的描述（信号的描述（Signal DescriptionSignal Description）1.31.3几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱（Several Typical Signals SpectrumSeveral Typical Signals Spectrum）1.4 1.4 随机信号的描述（随机信号的描述（ Description of the Descript

2、ion of the Random SignalRandom Signal）信息是事物存在方式和运动状态的特征。测试工作是按一定的信息是事物存在方式和运动状态的特征。测试工作是按一定的目的和要求，获取感兴趣的、有限的某些特定信息。信号是信目的和要求，获取感兴趣的、有限的某些特定信息。信号是信息的载体。工程测试就是信号的获取、加工、处理、显示记录息的载体。工程测试就是信号的获取、加工、处理、显示记录及分析的过程。本章主要介绍信号及其描述的内容。及分析的过程。本章主要介绍信号及其描述的内容。第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出1.0 序（Introduction）信号（si

3、gnal）：随时间或空间变化的物理量。信号是信息的载体，信息是信号的内容。依靠信号实现电、光、声、力、温度、压力、流量等的传输电信号易于变换、处理和传输，非电信号 电信号。信号分析与处理（signal analysis and processing）不考虑信号的具体物理性质，将其抽象为变量之间的函数关系，从数学上加以分析研究，从中得出具有普遍意义的结论。2第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出信号无处不在通信 古老通信方式：烽火、旗语、信号灯。 近代通信方式：电报、电话、无线通讯。 现代通信方式：计算机网络通信、视频电视传播、卫星传输、移动通信。序（序（2/62/6）3第

4、1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出0001 1010 0111 1100 0110 01010101 0111 0110 0101 0001 1000摩尔码摩尔码4序（序（3/63/6）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出故障诊断故障诊断5序（序（4/64/6）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出心电图波形心电图波形医学医学6序（序（5/65/6）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出生物医学信号处理应用举例生物医学信号处理应用举例滤波以前干扰严重滤波以前干扰严重滤波以后干扰去除滤波以后干扰去除7序（

5、序（6/66/6）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出1.1 1.1 信号的分类信号的分类（Signal Classification） 根据信号随时间的变化规律分为：确定性信号和非确定性信号8信号信号第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出1 1确定性信号和非确定性信号确定性信号和非确定性信号(1)能用明确的数学关系式或图象表达的信号称为确定性信号。确定性信号分为周期信号和非周期信号。)cos()(0tmkAtxn单自由度的无阻尼质量-弹簧振动系统位移信号 9信号的分类（信号的分类（2/132/13）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页

6、目录返回退出周期信号（1） 特点：信号按一定时间间隔周而复始重复出现。 数学表达式为： x(t)=x(t+nTo)T0 =2/0=1/f0 ； 0为角频率, f0为频率正弦波信号波形 10信号的分类（信号的分类（3/133/13）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出周期信号（2） 谐波信号频率单一的正、余弦信号 一般周期信号由多个乃至无穷多个频率成分（频率不同的谐波分量）叠加所组成，叠加后存在公共周期。 如周期方波、周期三角波等。11)5sin513sin31(sin4)(000tttAtx信号的分类（信号的分类（4/134/13）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回

7、上页 下页目录返回退出正弦信号的特征参数（1）按谐波成分多少,周期信号分为简谐周期信号和复杂周期信号。正弦信号的数学表达式为：12)2sin()sin()(000000tfxtxtx周期信号常用均值、绝对均值、均方值、均方根值、平均功率和相关函数来表示。其数学表达式分别为： TxttxT0d)(1TxttxT0d)(1均值绝对均值信号的分类（信号的分类（5/135/13）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出正弦信号的特征参数（2） 均方值13TxttxT022d)(1 均方根值 平均功率 相关函数TttxTx02)(1drmsttxTPTxdav022)(1Tttxtx

8、TR02112d)()(1)(信号的分类（信号的分类（6/136/13）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出非周期信号准周期信号非周期信号分为准周期信号和非周期信号。多个频率成分叠加的信号，但频率之比不是有理数，叠加后不存在公共周期。柴油机振动信号柴油机振动信号14信号的分类（信号的分类（7/137/13）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出一般非周期信号（瞬变非周期信号）一般非周期信号特点： 在有限时间段存在，或随着时间的增加而幅值衰减至零的信号。如；电容放电、试件断裂、衰减 振荡信号等。15信号的分类（信号的分类（8/138/13）第1章 信

9、号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出 思思 考？考？某钢厂减速机上测得的振动信号波形(测点3)如图所示，其基本波形属于何种信号？近似的看作为周期信号16信号的分类（信号的分类（9/139/13）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出(2)非确定性信号（随机信号） 无法用明确的数学关系式表达 。其幅值、相位变化是不可预知的，所描述的物理现象是一种随机过程。如分子热运动，环境的噪声等，分为平稳随机信号和非平稳随机信号。加工过程中螺纹车床主轴受环境影响的振动信号波形 17信号的分类（信号的分类（10/1310/13）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页

10、目录返回退出2 连续信号和离散信号 根据信号的连续性分为连续时间信号和离散信号 。若信号的独立变量取值连续，则是连续信号若信号的独立变量取值离散，则是离散信号18信号的分类（信号的分类（11/1311/13）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出连续信号和离散信号示意图19信号的分类（信号的分类（12/1312/13）t0连续信号连续信号t0离散信号离散信号第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出3 3 能量信号和功率信号能量信号和功率信号 能量信号：在所分析的区间（-，），能量有限值的信号，满足条件： 功率信号： 若x(t)在区间（-，）的能量无限，

11、但在有限区间(-T/2,T/2)满足平均功率有限的条件的信号。如周期信号、常值信号等。2/2/2)(1limTTTttxTd20信号的分类（信号的分类（13/1313/13）ttxTd)(12第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出1.2 1.2 信号的描述信号的描述（Signal Description） 信号的时域表述以时间作为独立变量，反映信号幅值随时间变化。 信号的频域表述揭示信号的频率结构特征。频率作为独立变量，反映信号各频率成分的幅值和相位特征。 频域频谱分析 时域时域图幅频谱图频谱图相频谱图21第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出1 1

12、 周期信号的描述周期信号的描述 周期信号可以利用展开成不同频率的谐波信号的线性叠加。三角函数展开式复指数展开式22信号的描述（信号的描述（2/532/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出（1） 三角函数展开式 满足狄里赫勒条件（区间分段单调、有有限个不连续点、满足绝对可积）的周期信号可展开成: )sincos()(0010tnbtnaatxnnn)sin()(010nnntnAAtx三角函三角函数变换数变换23信号的描述（信号的描述（3/533/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出 ttxTaTTd)(12/2/0000ttntxTa

13、TTndcos)(202/2/000ttntxTbTTndsin)(202/2/000a0，an，bn为傅里叶系数；T0 为信号的周期，也是信号基波成分的周期；0=2/T0为信号的基频, n0为n次谐频；当x(t)为奇、偶函数时，可利用函数的正交特性求系数an，bn的值，可简化计算。常值分量余弦分量幅值正弦分量幅值)sincos()(0010tnbtnaatxnnn参数含义如下：24信号的描述（信号的描述（4/534/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出 可将 、 代入：)sin()(010nnntnAAtx00aA 各谐波分量的幅值 22nnnbaA 各谐波分量

14、的初相角 参数含义如下：)arctan(nnnbannAnanbnnnAasinnnnAbcos由三角函数知（如图）：常值分量nanb)sincos()(0010tnbtnaatxnnn25信号的描述（信号的描述（5/535/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出 例 题 例1.1 求方波的，并作出。 0220)(00t/TA/TtAtx1 1 信号表述2 2傅里叶级数展开5 5幅频谱图相频谱图3 3 用三角函数展开方法4 4 求傅里叶系数)5sin513sin31(sin4)(000tttAtx结果26信号的描述（信号的描述（6/536/53）第1章 信号及其描述

15、上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出例题求解过程0220)(00tTATtAtx27 x(t) 在一个周期内可表示为：0, 00naa因x(t)是奇函数，在对称区间积分值为0，所以.6,4,20.5,3, 1)(4)2/cos(141)2/cos()2/cos(12coscos2dsindsin)(2dsin)(200000000002/00002/00002/02/00002/2/0000000nnnATnTnATnTnTnAntnntnTAttnAttnATttntxTbTTTTTTn信号的描述（信号的描述（7/537/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出

16、0 03 30 05 50 07 70 04A/4A/34A/54A/7An nn n0 030 050 07 70 0周期方波的幅频与相频特性图28)5sin513sin31(sin4)(000tttAtx信号的描述（信号的描述（8/538/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出周期方波的时、频域表述29信号的描述（信号的描述（9/539/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出课堂习题 求题图1-1周期三角波的频谱，并作频谱图。 202022)(TttTAAtTtTAAtx)(txT2T20 0 t t 30信号的描述（信号的描述（10

17、/5310/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出答案 若取 n次谐波分量的幅值 n次谐波分量的相位 )sin()(010nnntnAatx22224nAbaAnnn2arctannnnbatnnAAtxn0, 3 , 122cos142)(31信号的描述（信号的描述（11/5311/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出利用欧拉公式求傅立叶系数1tttjsinjcose)ee (21cosjjttt)ee (2jsinjjttt)sincos()(0010tnbtnaatxnnne )j(21e )j(21)(00jj10tnnntnn

18、nnbabaatx得代入得32信号的描述（信号的描述（12/5312/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出00aC )j(21nnnbaCttntxTaTTndcos)(202/2/000偶函数.dcos)(202/2/000anTTnttntxTattntxTbTTnd02/2/0sin)(200奇函数.dsin)(202/2/000bnTTnttntxTb*)(21)j(21nnnnnnCbabaCj令)j(21nnnbaC利用欧拉公式求傅立叶系数2 33信号的描述（信号的描述（13/5313/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出

19、)e()(0010tnntnnnCCCtxjje则tnnnC0je), 2, 1,0(e)(0nctxtnnnj 如何求？ncdtetxTctnjTTn022)(1利用欧拉公式求傅立叶系数3 34信号的描述（信号的描述（14/5314/53）)j(21nnnbaC2/2/0000dcos)(2TTnttntxTa0dsin)(22/2/0000TTnttntxTb第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出 Cn与an、bn 、An的关系)j(21nnnbaC一般情况下， 为复数。可写成：221)(Im)(Re2222nnnnnnAbaCCC)arctan(ReImarctan

20、nnnnnabCCnC幅频谱图： | cn | 实频谱图： Recn 虚频谱图： Imcn 相频谱图：n 几个谱图nnnnnInRncbacccjej2121j35信号的描述（信号的描述（15/5315/53） 第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出三角函数展开与复指数展开的比较：q 复指数函数形式的频谱为双边谱（从-到 +），三角函数形式的频谱为单边谱（从 0到+）q 两种频谱各谐波幅值之间存在如下关系： 00, 2/acAcnnq 双边幅值谱为偶函数，双边相位谱为奇函数 nnnncc,q 一般周期函数的复指数傅氏展开式的实频谱 总是偶对称的，虚频谱总是奇对称的。 36

21、信号的描述（信号的描述（16/5316/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出用复指数展开式求频谱总结(1), 2, 1,0(e)(0jnctxtnnn复指数展开式：如何求 ？幅频谱图： | cn | 相频谱图： n 实频谱图： Recn 虚频谱图： Imcn nc37信号的描述（信号的描述（17/5317/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出ttntxTaTTndcos)(202/2/000ttntxTbTTndsin)(202/2/0002221nnnbaCRecn=an/2Imcn= -bn/2)arctan(nnnab用复指数展

22、开式求频谱总结(2)j(21nnnbaC1、通过三角函数展开式求得 。nc38信号的描述（信号的描述（18/5318/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出2、直接求得 。)j(21nnnbaC求出后，将其写成如下形式：nc进而确定：2221nnnbaCRecn=an/2I Imcn= -bn/2)arctan(nnnab用复指数展开式求频谱总结(3)ttxTctnTTnde)(10j2239信号的描述（信号的描述（19/5319/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出例：用复指数展开形式求周期方波频谱，并作频谱图。 0220)(00t/

23、TA/TtAtx), 2, 1,0()(0jnctxtnnnettxTctnTTnd0j22e)(1幅频谱图： |cn| 实频谱图： Recn 虚频谱图： Imcn 相频谱图： n 用复指数展开式求频谱例题（1）40信号的描述（信号的描述（20/5320/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出解：ttntntxTttxTcTTtnTTnd)sinj)(cos(1de)(12/2/0000j2/2/00000ttnTAcTTndsin2j2/2/000000c6, 4, 205, 3, 12j-nnnAcn)(为奇函数tx用复指数展开式求频谱例题（2）41信号的描述（

24、信号的描述（21/5321/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出频谱图如何画？tnnnAtx0je12j)( n=1、3,90)02arctan(,|2nAnACnnnACCnn2Im, 0Re用复指数展开式求频谱例题（3）42信号的描述（信号的描述（22/5322/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出例：画出余弦、正弦函数的实频及虚频谱图。 求正、余弦频谱（1）参数参数001001111/200-1/21/21/2tcostsin0ananb22nnnbaAnnnbaC5 . 0nRCnICnInRnCCC22nRC2/1nIC2/

25、1方方法法一一43信号的描述（信号的描述（23/5323/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出例：画出余弦、正弦函数的实频及虚频谱图。 解：)e(21cos000tttjje)(2sin000tttjjeejc-1 = 1/2，c1 = 1/2，cn = 0（n=0, 2, 3, ）c-1 = j/2，c1 = -j /2，cn = 0（n=0, 2, 3, ）求正、余弦频谱（2）方方法法二二44信号的描述（信号的描述（2424/ /5353）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出1x(t)=cos0t0t1x(t)=sin0tt0cnR00

26、-01/21/2cnR00-000-01/2-1/2cnIcnI00-0|cn|00-01/21/2|cn|00-01/21/2An001An001单边幅频谱单边幅频谱双边幅频谱双边幅频谱45信号的描述（信号的描述（25/5325/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出1. 周期信号的频谱是离散谱； 2. 每个谱线只出现在基波频率的整数倍上； 3. 工程上常见的周期信号，其谐波幅值随谐波次数的增高而减小。因此，在频谱分析中没有必要取次数过高的谐波分量。 周期信号频谱的特点4A 4A 34A 50A()03050幅幅值值谱谱46信号的描述（信号的描述（26/5326/

27、53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出2 2 非周期信号的描述非周期信号的描述47信号的描述（信号的描述（27/5327/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出非周期信号举例 电容放电时电压变化；激振力消除后的阻尼自由振动；静态拉伸试件突断时的件中应力等都是瞬变信号。 以下讨论的非周期信号就指的是瞬变信号。瞬变信号的谱线不是离散的,在数学上不用傅里叶级数,而用傅里叶积分 (变换) 来描述。瞬变信号的频谱是连续频谱。48信号的描述（信号的描述（28/5328/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出周期信号的频谱是

28、离散的,谱线的频率间隔为 , 当T 时,则谱线间隔 ,周期信号非周期信号。因而周期信号的离散频谱就变成了非周期信号的连续频谱。 傅里叶变换（积分）（1）T/200tnntnTTtnnnttxTCtx00000)e)(1)(2/2/0jjjede 当T 时,谱线间隔 , 离散变量 , 中的求和运算 就变成了积分运算,于是， d0n)(tx49信号的描述（信号的描述（29/5329/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出2d221,20TT傅里叶变换（积分）（2）d)d)(21(e )de )(2d)(jjttttttxttxtxeejj式中，这就是傅里叶积分。上式中括

29、号内的积分,由于时间 t 是积分变量,所以积分后仅是 的函数并记作 ,即)(X50信号的描述（信号的描述（30/5330/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出傅里叶正逆变换式1dtetxXtj)()(deXtxtj)(21)(傅里叶变换傅里叶变换(FT)(FT)傅里叶逆变换傅里叶逆变换 (IFT)(IFT)记为：记为：x(t)X()FTIFT)()()()(1txFXXFtx51信号的描述（信号的描述（31/5331/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出ttxXtde)()(jf 2以代入X X( ( ) )：ttxfXftdje2)

30、()(ffXtxftdej2)()(有有用实、虚频谱形式和幅、相频谱形式写为 )()()(Im)(Re)(ffXfXfXfXjej22)(Im)(Re)(fXfXfX)(Re)(Imanarct)(fXfXf傅里叶正逆变换式 2 252信号的描述（信号的描述（32/5332/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出周期信号的幅值谱与非周期信号的幅值谱的区别尽管非周期信号的幅频谱 和周期信号的幅频谱 很相似，但是两者量纲不同。 为信号幅值的量纲，而 为信号单位频宽上的幅值。所以 是频谱密度函数。工程测试中为方便，仍称为频谱。 )( fXnCnC)( fX)( fX 是离

31、散的， 是连续的。nC)( fX53信号的描述（信号的描述（33/5333/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出2021)(TtTttw例题：求矩形窗函数的频谱 tttwfWftTTftdedejj2222)()(fTfTTeeffTfTjjjsin2122)(sincfTTsinsinc1-T/2T/2tw(t)0定义抽样信号：)(2 j1sintttjjee解：54信号的描述（信号的描述（34/5334/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出sinc函数特点：sinc 是偶函数；sinc 以2为周期并随的增加作衰减震荡。 sinc

32、在n（n=1, 2, ）处其值为0。矩形窗函数W(f)特点：W( f )为抽样函数，是连续的，无限的；随着频率增高幅值减小,说明信号能量集中在低频段；W(f)函数只有实部，没有虚部。 W (f ) 中T 称为窗宽。当T(脉冲持续时间)变小时,频谱过零点的频率提高,即衰减变慢,也就是频带加宽。抽样函数与矩形窗函数特点：55信号的描述（信号的描述（35/5335/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出矩形窗函数谱图W(f )T01 T1 Tf3 T3 T(f )01 T2 T3 T1 T2 T3 T2 T2 T56信号的描述（信号的描述（36/5336/53）第1章 信

33、号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出q 频谱连续，幅值衰减。q|X()|与|cn|量纲不同。|cn|具有与原信号幅 值相同的量纲，|X()|是单位频宽上的幅值 。q非周期信号频域描述的基础是傅氏变换。非周期信号频谱的特点57信号的描述（信号的描述（37/5337/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出傅里叶变换的主要性质表58)(0ffX)( tx )(fX )(*tx)(*fX)(*)(21txtx)()(21fXfX)()(tbytax)()(fbYfaX)()(21txtx)(*)(21fXfX)(tX)(fx )(ktx)(1kfXk)(0tt

34、x性性 质质时时 域域频频 域域性性 质质时时 域域频频 域域函数的奇函数的奇偶虚实性偶虚实性实偶函数实偶函数实偶函数实偶函数频频 移移实奇函数实奇函数虚奇函数虚奇函数翻翻 转转虚偶函数虚偶函数虚偶函数虚偶函数共共 轭轭虚奇函数虚奇函数实奇函数实奇函数时域卷积时域卷积线性叠加线性叠加频域卷积频域卷积对对 称称时域微分时域微分尺度改变尺度改变频域微分频域微分时时 移移积积 分分信号的描述（信号的描述（38/5338/53）tftx02je )(nnttxd)(d)(2 jfXfn)(2 jtxtnnnffXd)(dtttxd)(存在ffXfXf)(),(2 j102je )(ftfX第1章 信号

35、及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出1) 线性叠加性59若 )()()()(fbYfaXtbytax则当a，b为常数时，有：两函数线性叠加的傅里叶变换可以写成两函数的傅里叶变两函数线性叠加的傅里叶变换可以写成两函数的傅里叶变换的叠加换的叠加。对复杂信号的频谱分析处理可分解为对一系列简单信号的对复杂信号的频谱分析处理可分解为对一系列简单信号的频谱分析处理。频谱分析处理。x tX fy tY f( )( )( )( )信号的描述（信号的描述（39/5339/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出2）对称性质由已知的傅里叶变换对，可求得逆向相应的变换对。由已知

36、的傅里叶变换对，可求得逆向相应的变换对。若x t ( )的傅里叶变换为 ,即：)()(fXtx则 Xtxf()()证明：互换t和f得：故有： X(t)x(-f)60信号的描述（信号的描述（40/5340/53）)(fXffXtxftjde )()(2fefXtxftd)()(2jttXfxftjde )()(2第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出 式 表明傅里叶正变换与逆变换之间存在着对称关系,即信号的波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系。 利用这个性质, 可以根据已知的傅里叶变换得出相应的变换对,免去了烦杂的数学推导过程。下图是对称性应用举例。对称性质说明对称性

37、质说明x tX f( )( )61信号的描述（信号的描述（41/5341/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出对称性图示对称性图示62信号的描述（信号的描述（42/5342/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出3 3）奇偶虚实性）奇偶虚实性 （A A） 一般是实变量的复变函数。利用欧拉公式 63X f ( )22cos(2ftftftjej)()()2sin()()2cos()()()(2fXfXtfttxtfttxttxfXIftjdjddeRj将式ttxfXftdej2)()(写为：信号的描述（信号的描述（43/5343/53）第

38、1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出3 3）奇偶虚实性）奇偶虚实性 （B B）)( fXI时域时域实部实部虚部虚部频域频域实偶实偶0实偶实偶实奇实奇0虚奇虚奇虚偶虚偶0虚偶虚偶虚奇虚奇0实奇实奇)()()(e)2cos()()(fXfXfXtfttxfXRd)()()()2cos()()(fXfXfXtfttxfXRed)()()(2sin)()(fXfXfXtfttxfXjImdj)()()(m2sin)()(fXfXfXtfttxfXjIdj)( fXR64信号的描述（信号的描述（44/5344/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出4）时

39、间尺度改变性质(推导)0()(1)(kkfXkktx在信号x(t) 幅值不变的条件下，若)(1)()(1)()(22kfXkktktxkttxktkfftdedejj即：时域时间变量增大k倍，则频域的频率和幅值 均缩小k倍。证明：当信号x(t) 的时间尺度变为 kt 时，有)()(fXtx65信号的描述（信号的描述（45/5345/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出4）时间尺度改变性质00000066信号的描述（信号的描述（46/5346/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出时间尺度改变性质应用 时间尺度改变性质说明：时域时间变量增

40、大k倍，则频域的频率和幅值均缩小k倍 图(c)表明当时间尺度压缩(k 1)时,频谱的频带变宽,幅值变低；图(a)为时间尺度扩展( k 1)时,其频谱的频带变窄,幅值增高。 应用磁带机作扩展时间轴和压缩时间轴的谱分析时,此特性很有实用价值。若磁带慢录快放,时间尺度压缩,时域波形变窄,分析结果频带加宽,幅值降低,信号处理效率高,频率分辨率高；若磁带快录慢放,则时间尺度扩展,时域波形变宽,结果频带变窄,幅值增高,信号处理效率低,频率分辨率低。67信号的描述（信号的描述（47/5347/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出5）时移性质 此性质表明，在时域中信号沿时间轴平移

41、一个常值此性质表明，在时域中信号沿时间轴平移一个常值t0 0时，频谱函数将乘因子时，频谱函数将乘因子 ，即只改变相频谱，即只改变相频谱，不会改变幅频谱。不会改变幅频谱。02jfte把时域信号延时把时域信号延时 t0 0 时，时， 则其频域相移则其频域相移02 ftx tX f( )( )若 把时域信号沿时间轴平移一常值 ，则其频域引起相应的相移 t020ft即 证明： 020)()(ftfXttxje00)0202(2020)()()()(ftftttfftfXttttxttxjjjjedeee68信号的描述（信号的描述（48/5348/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目

42、录返回退出(c) 时移的时域矩形窗时移的时域矩形窗 (d) 图图(c)对应的幅频和相频特性曲线对应的幅频和相频特性曲线 时移性质举例时移性质举例（a）时域矩形窗）时域矩形窗图（图（a）对应的幅频和相频特性曲线）对应的幅频和相频特性曲线00000069信号的描述（信号的描述（49/5349/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出6）频移性质tftxffX020)()(je0f若 为常数，则：tftftfffttxfffXfffXffX00022)(202001)()()()(jjjjedeedeF若频谱沿频率轴平移一个常值若频谱沿频率轴平移一个常值 , , 对应的时域

43、函对应的时域函数将乘因子数将乘因子tf02je0f即70信号的描述（信号的描述（50/5350/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出7）微分和积分特性 微分性质 ffXtxftd)()(2jeffXfttxftd)(2d)(d2jej)(2 jd)(dffXttx若)()2()(fXfttxnnnjdd积分性质 ttttxfFtxFtttxd)(2 j)(d)(ddF)(j21)(fXfttxtdF)()(j21d)(d)(fXfttXttxnntF在振动测试中，如果测得位移、速度或加速在振动测试中，如果测得位移、速度或加速度中任一参数度中任一参数, ,便可用傅里

44、叶变换的微积分特便可用傅里叶变换的微积分特性求其它参数的频谱。性求其它参数的频谱。 如何应用？如何应用？71信号的描述（信号的描述（51/5351/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出8）卷积特性 如何应用？如何应用？时移特性时移特性72信号的描述（信号的描述（52/5352/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出例题 已知信号的频谱为 ，利用傅立叶变换的性质求 以下函数的频谱： 1） ； 2） ； 3） ； 4） ； 73faAfX2 j)()()(txtx)4( txtftx02j)( e)(0ttx222 j)()()(faAfX

45、txtx解：faAfaAfXtx2 j44/2 j41)4/(41)4()(2 j)()(002j0ffaAffXtxtfe002j2j02 j)()(ftfteftaAfXttxe信号的描述（信号的描述（53/5353/53）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出1.3 几种典型信号的频谱 （several typical signals spectrum）1 单位脉冲函数单位脉冲函数( (函数函数) ) 的频谱的频谱（1） 函数定义)0(0)0()(lim)(0tttt1d)(d)(limd)(lim00tttttt且其面积（强度）： /201/t(t)0t(t)74

46、第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出（2） 函数的性质 1)函数的采样性质 )()0()()(txttx)()()()(000tttxtttx2)筛选性 )0(d)()0(d)()(xttxtttx)(d)()(d)()(0000txttttxttttx筛选结果为x(t)在发生函数位置的函数值(又称为采样值) 3)卷积性 )(d)( )()()(txtxttx)(d )( )()()(000ttxttxtttx几种典型信号的频谱（几种典型信号的频谱（2/172/17）75第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出 函数与其他函数的卷积示例函数与其他函数

47、的卷积示例 (t)0t1x(t)0tA0tAx(t) (t)(tt0)0tx(t)0t0t(t+t0)(t-t0)x(t) (t t 0)-t0t0-t0t076几种典型信号的频谱（几种典型信号的频谱（3/173/17）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出（3） 函数的频谱 对(t)取傅里叶变换 1ede )( )(02 j2 jfftttfftftde1)(2j函数具有等强度、无限宽广的频谱，这种频谱常称为“均匀谱”。 函数是偶函数，即 ，则利用对称、时移、频移性质，还可以得到以下傅里叶变换对 )()()()(fftt、02j0e)(fttt)(e02j0fftf0t

48、(t)10f(f )177几种典型信号的频谱（几种典型信号的频谱（4/174/17）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出（各频率成分分别移相（各频率成分分别移相2 ft0） (t t0) (f) （单位脉冲谱线）（单位脉冲谱线） 1 （幅值为（幅值为1的直流量）的直流量） 1 （均匀频谱密度函数）（均匀频谱密度函数） (t) （单位瞬时脉冲）（单位瞬时脉冲） 频频 域域 时时 域域 02jefttf02je)(0ff 单位脉冲函数的时、频域关系78几种典型信号的频谱（几种典型信号的频谱（5/175/17）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出2 矩

49、形窗函数和常值函数的频谱 （1）矩形窗(rectangle window)函数的频谱222j2jede)()(TTftfttttwfWdfTfTTffTfTsinee2 j1jj)(sincfTT79几种典型信号的频谱（几种典型信号的频谱（6/176/17）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出W(f )T01T1Tf3T3T(f )01T2T3T1T2T3T2T2T1-T/2T/2tw(t)080几种典型信号的频谱（几种典型信号的频谱（7/177/17）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出（2）常值函数(又称直流量) 的频谱 幅值为1的常值函数的

50、频谱为 f = 0处的函数。)(e020fftfj 当矩形窗函数的窗宽 T 趋于无穷时，矩形窗函数就成为常值函数，其对应的频域为函数。81几种典型信号的频谱（几种典型信号的频谱（8/178/17）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出（3）指数(exponent)函数的频谱双边指数衰减函数 22j2j2j20j202j)2(j4)j2(1)j2(10)j2(ee0)j2(eedeedeede )()(faffafafafattttxfXftatftatftatftatft其傅里叶变换为 )0, 0(e)0, 0(e)(tatatxatat82几种典型信号的频谱（几种典型信

51、号的频谱（9/179/17）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出单边指数衰减函数及其频谱 83几种典型信号的频谱（几种典型信号的频谱（10/1710/17）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出（4） 符号(sign)函数和单位阶跃(unit step)函数的频谱符号函数的频谱符号函数可以看作是双边指数衰减函数当a 0时的极限形式，即：ffafadttefXaaftataftataj)j2(1lim)j2(1limeelimdelim)(00j200j200)0, 0(elim1)0, 0(elim1)(00tatatxataata84几种典型信号

52、的频谱（几种典型信号的频谱（11/1711/17）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出单位阶跃函数的频谱单位阶跃函数可以看作是单边指数衰减函数a 0时的极限形式。fefatttxfXtfaaftataft2jj21limdeelimde )()(0)j2(00j20j2)0, 0(elim1)0(0)(0tattxata85几种典型信号的频谱（几种典型信号的频谱（12/1712/17）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出单位阶跃函数及其频谱 01tx(t)0X(t)1186几种典型信号的频谱（几种典型信号的频谱（13/1713/17）第1章 信号

53、及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出（5）正余弦(sine/cosine)函数的频谱密度函数 正余弦函数不满足绝对可积条件，不能直接对之进行傅里叶变换。由欧拉公式知：tftftftftftf0000j2j20j2j20ee212cosee2j2sin)()(212cos)()(2j2sin000000fffftffffftfFF87几种典型信号的频谱（几种典型信号的频谱（14/1714/17）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出1/21/20fReX(f)-f0f01/2-1/20fImX(f)-f0f00tsin2f0t0tcos2f0t88几种典型信号的

54、频谱（几种典型信号的频谱（15/1715/17）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出（6）梳状(comb)函数（等间隔的周期单位脉冲序列）的频谱 nnTtTt)(),(combssTs为周期；n为整数。梳状函数为周期函数。表示成傅里叶级数 ktkfkCTtsj2se),(comb22j2ssssde ),(comb1TTtkfktTtTCs（fs = 1 / Ts）因为在（-Ts /2，Ts /2）区间内只有一个函数(t)，故s22j2s1de )(1ssTttTCTTtkfks89几种典型信号的频谱（几种典型信号的频谱（16/1716/17）第1章 信号及其描述上页

55、下页目录返回上页 下页目录返回退出ktkfsTTtj2sse1),(comb从而 kskffTTtff)(1),(comb),(COMBsssF所以 kTkfT)(1ss即梳状函数的频谱也为梳状函数，且其周期为原时域周期的倒数（1/Ts），脉冲强度为1/Ts。 .comb(t,Ts)10Ts2Ts-Ts-2Ts.COMB(f,fs)1/Ts01Ts2Ts 1 Ts2Ts90几种典型信号的频谱（几种典型信号的频谱（17/1717/17）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出1 1 随机过程的概念及分类随机过程的概念及分类 随机信号是非确定性信号,其特点为： （1）时间函数不能用精确的数学关系式来描述； （2）不能预测它未来任何时刻的准确值； （3）每次观测结果都不同，但重复试验可以看到它具有统计规律性，因而可用概率统计方法来描述和研究。随机过程的相关概念随机现象：产生随机信号的物理现象；911.4 随机信号的描述（ Description of the Random Signal ）第1章 信号及其描述上页 下页目录返回上页 下页目录返回退出随机过程的的相关概念（1） 样本函数：随机现象的单个时间历程，即对随机信号按时 间历程所作的各次长时间观测记录。记作x