学基本体投影截交线2学分104

1、一。平面立体的表达一。平面立体的表达二。曲面立体的表达二。曲面立体的表达三大问题三大问题一）.基本形体的投影二）.形体上点的投影三）.形体上线的投影一一 平面立体：平面立体：表面均为平面的几何体，如棱柱、棱锥。二二 曲面立体曲面立体 曲面立体曲面立体：各表面均为曲面或由平面与曲面共同围成的几何体，如圆柱、圆锥、圆球等。立体分类o 平面立体平面立体由平面所组成由平面所组成-立体的立体的投影由投影由 组成该立体的各平面（称组成该立体的各平面（称棱棱面面）投影的组合，）投影的组合，o 而棱面是由而棱面是由 各棱面的交线（各棱面的交线（棱线棱线）的投影来表示的投影来表示一一.平面立体的投影平面立体的投

2、影平面立体投影平面立体投影-棱线的投影棱线的投影典型平面立体：棱柱典型平面立体：棱柱 棱锥棱锥一一 平面立体的表达平面立体的表达一）基本平面立体的投影二）平面立体上点的投影三）平面立体与立体相交VWH一一 平面立体平面立体1. 棱 柱 (1) 棱柱的投影 作图时，先画反映特征的水平投影，再按投影规律完成其它两个投影。YHYW空间分析1. 棱 柱(2) 棱柱表面上的点YH 如图所示，已知前棱面上的点A的正面投影a，左前棱面上的点B的正面投影b，求它们的水平投影和侧面投影。ab作图分析作图分析:(1) 由于前棱面的水平投影和侧面投影均具有积聚性,故可直接求出a和a。 (2) 由于左前棱面只有水平投

3、影有积聚性,故只能利用积聚性求出b,再根据YH=YW,由b和b求出b。baaYWb( )b 2. 棱 锥(1) 棱锥的投影SABCa (c)bscbsascba分析分析: 锥底面ABC为水平面,棱面SAC为侧垂面,另外两棱面为一般位置平面。作图作图: 一般先画出底面的各个顶点的投影,再定出锥顶S的投影,并将锥顶与底面各顶点的同面投影相连即可。 (2) 棱锥表面上的点和线 2. 棱 锥(1) 棱锥的投影 如图所示，已知如图所示，已知棱面棱面SAB上点上点M的的正面投影正面投影m和棱面和棱面SAC上的点上的点N的正的正面投影面投影n，求作，求作M、N两点的其余投影。两点的其余投影。aacbs bm

4、（n）a（c）sc bss I is （1）棱面SAC为侧垂面,利用积聚性可直接求出n，再由n、n求得n。 （2） M点所在棱面SAB为一般位置平面，可作辅助线的方法求解。YWYHm mSABCM baacbsbm（n）a（c）scsnmnm ikkkscbabscbascanmhnmmh( n )h 二二 曲面立体曲面立体 工程上常用的曲面立体一般为回转体回转体。回转体回转体由回转面或回转面与平面围成。 一条动线（直线或曲线）绕一条固定的直线作回转运动所形成的曲面称为回转面回转面。 形成回转面的动线称为母线母线，定直线称为回转回转轴轴，母线在回转面上的任一位置称为素线素线，母线上任一点的运动

5、轨迹都是圆，称为纬圆纬圆。母线 素线回转轴回转轴母线 素线圆 柱 面圆 锥 面圆 球 面回转轴母线 素线1）圆柱面的投影）圆柱面的投影特点：水平面为特点：水平面为圆圆 正面和侧面为正面和侧面为矩形矩形重影点重影点重影点重影点圆柱的投影分别为其顶圆、低圆圆柱的投影分别为其顶圆、低圆及圆柱面上及圆柱面上转向轮廓线转向轮廓线的投影的投影投影积聚性投影积聚性转向转向轮廓线轮廓线转向转向轮廓线轮廓线2）圆锥面的投影）圆锥面的投影特点：水平投影特点：水平投影-圆圆 正面和侧面投影正面和侧面投影-等腰三角形等腰三角形 圆锥的投影分别为其低圆圆锥的投影分别为其低圆及圆锥面上及圆锥面上转向轮廓线转向轮廓线的投影

6、的投影圆锥底圆锥底圆投影圆投影轮廓轮廓线投影线投影轮廓轮廓线投影线投影二二 .曲面立体的投影曲面立体的投影o 回转曲面回转曲面：母线（直线：母线（直线或曲线）绕轴线回转一或曲线）绕轴线回转一周后形成的曲面。如：周后形成的曲面。如：圆柱、圆锥、球。圆柱、圆锥、球。-以回转曲面为例以回转曲面为例它们的投影图须按不同的它们的投影图须按不同的投影方向投影方向画出投影轮廓线画出投影轮廓线它们的表面光滑无棱它们的表面光滑无棱回转轴回转轴raraaYY（2 2）辅助圆法求点的投影）辅助圆法求点的投影Ar辅助圆为辅助圆为水平圆水平圆水平圆水平圆正面投影正面投影圆锥表面点和线的投影圆锥表面点和线的投影 b b

7、b Ba c （d） c dba b（3 3）圆锥表面线的投影）圆锥表面线的投影bc da问：问：1 1 投影为直投影为直线，是否是圆锥线，是否是圆锥面上的一直线？面上的一直线？2 2 其他两投影其他两投影是否是直线？是否是直线？举例举例3）球面的投影）球面的投影特点：三个投影面上的投影均是直径相等的圆特点：三个投影面上的投影均是直径相等的圆 球的三面投影都是圆，各视图上的圆球的三面投影都是圆，各视图上的圆都是球上相应的都是球上相应的转向轮廓线转向轮廓线的投影的投影前、后半前、后半球分界圆球分界圆左、右半左、右半球分界圆球分界圆上、下半上、下半球分界圆球分界圆arraaYY3 3 球体表面点的

8、投影球体表面点的投影 （1 1）应用水平圆求点的投影）应用水平圆求点的投影水平纬圆水平纬圆A应用正平圆求点的投影应用正平圆求点的投影（ ） a a（2 2）应用正平圆求点的投影）应用正平圆求点的投影正平圆正平圆应用侧平圆求点的投影应用侧平圆求点的投影侧平圆侧平圆（3 3）应用侧平圆求点的投影）应用侧平圆求点的投影rr举例举例aaa试区别图示三种视图所表示的曲面，试区别图示三种视图所表示的曲面，分别标出分别标出表面表面上上A点的水平投影点的水平投影aaa辅助圆法辅助圆法辅助素线法辅助素线法正平圆正平圆正平圆正平圆正面投影正面投影正平圆正平圆水平投影水平投影 正平圆正平圆圆心圆心素线错误画法素线错

9、误画法什么形体什么形体? 球体表面点的投影球体表面点的投影y2y2y1y1y3y3y1y1y3y3y2y2bcccbbaaa辅助辅助水平圆水平圆ABC补画左视补画左视图，并求图，并求出点的另出点的另两个投影两个投影caca”过b作辅助圆b辅助辅助水平圆水平圆 一）一）.截交线的性质截交线的性质二）二）.平面体的截交线平面体的截交线三）三）.曲面立体截交线曲面立体截交线平面与立体相交平面与立体相交：用一个：用一个平面平面与与立体立体相交截去立体的一部分相交截去立体的一部分 截平面截平面截交线截交线：截切立体的平面截切立体的平面：截平面与立体表截平面与立体表面的交线。面的交线。 单体被单面所截单体

10、被单面所截多体被单面所截多体被单面所截单体被多面所截单体被多面所截平面与立体平面与立体表面表面的交线的交线平面立体的截交线是平面立体的截交线是，其形状取，其形状取决于决于和和。截交线的每条截交线的每条， 求平面立体截交线的实质是求求平面立体截交线的实质是求解题步骤解题步骤： 123456棱柱的截断棱柱的截断例例1 1：求正五棱柱被截切后的俯视图和左视图。：求正五棱柱被截切后的俯视图和左视图。C 求截交线求截交线C 完善轮廓完善轮廓C 检查检查 注意截交线投影的类似性注意截交线投影的类似性注意可见性注意可见性C 空间分析和投影分空间分析和投影分析析3 3 2 2 1 1 (4(4 ) )1 1

11、3 3 5 .4 4 P3241 15(5(5 ) )2 2 BB1AA1YHYW例例3:3:求八棱柱被平面求八棱柱被平面P P截切后的俯视图。截切后的俯视图。P P 1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 8 8 7 7 6 6 2 2 ( (3 3 、6 6 、7 7 ) )1 1 ( (8 8 ) )4 4 （5 5 ）1 15 54 47 72 28 83 36 61 12 23 34 45 56 67 78 8立体截切前的形状立体截切前的形状截平面与立体的相对截平面与立体的相对位置位置截平面与投影面的位截平面与投影面的位置关系置关系123413 12342 4 ( ) 单体被多面所截

12、单体被单面所截多体被多面所截几何实质：几何实质： 平面与回转面的相交。每个局部都是单面与单体截割。 回转体截割的形式及几何实质回转体截割的形式及几何实质1. 1. 概述概述 曲面立体截交线通常是曲面立体截交线通常是，或是由曲线和，或是由曲线和直线所围成的直线所围成的平面图形或多边形平面图形或多边形。 1.1.截交线的求解思路截交线的求解思路：2.2.截交线的求解步骤：截交线的求解步骤：3.3.求点的方法：求点的方法：椭圆可由椭圆可由8 8点画出点画出 积聚投影积聚投影2 2）回转面上取点）回转面上取点1 1）轮廓线上取点）轮廓线上取点3 3）利用积聚投影设点）利用积聚投影设点二）二）.曲曲面体

13、的截交线面体的截交线圆柱表面的截交线圆柱表面的截交线 截平面与圆柱轴线垂直截交线为圆截平面与圆柱轴线平行宽宽宽宽长长交线位置的确定截交线为矩形交线位置与什么有关？示例二）二）.曲曲面体的截交线面体的截交线-圆柱截交线圆柱截交线二）二）.曲曲面体的截交线面体的截交线-圆柱截交线圆柱截交线二）二）.曲曲面体的截交线面体的截交线-圆柱截交线圆柱截交线 APQpPQQYY aaa Q例例3 圆柱被两边侧切割圆柱被两边侧切割P例例4 圆柱被中间槽圆柱被中间槽PQRRQP宽宽宽 P QRQR例例6 6：圆筒单边切割，求左视图：圆筒单边切割，求左视图例例6 6：圆筒单边切割，求左视图：圆筒单边切割，求左视图

14、分析、比较分析、比较a (a1)AA1例例7 7：补全视图缺线（圆柱上部单侧切，下部开槽）：补全视图缺线（圆柱上部单侧切，下部开槽）例例8787：补全视图缺线（圆筒上部单侧切，下部开槽）：补全视图缺线（圆筒上部单侧切，下部开槽）例例1010：求水平投影：求水平投影例例1010：求水平投影：求水平投影例例1010：求水平投影：求水平投影例例11 11：求水平投影：求水平投影分析、比较分析、比较截平面与圆柱轴线倾斜截交线截交线为椭圆为椭圆椭圆的长、短椭圆的长、短轴在哪里？轴在哪里？空间长轴空间长轴空间短轴空间短轴例例: : 求圆柱截交线求圆柱截交线1115488832544523233 3求出若干

15、个一般点求出若干个一般点、 、；4 4光滑且顺次地连接各点光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可，作出截交线，并且判别可见性；见性；5 5整理轮廓线。整理轮廓线。766767讨论：当平面倾斜角度不同时讨论：当平面倾斜角度不同时,椭圆形状会发生什么变化？椭圆形状会发生什么变化？ 椭圆的长、椭圆的长、短轴随截平面与短轴随截平面与圆柱轴线夹角的圆柱轴线夹角的变化而改变变化而改变。什么情况下什么情况下投影为圆呢投影为圆呢？截平面与圆柱截平面与圆柱轴线成轴线成4545时时。4545是指绘制曲线时有影响的各种点。是指绘制曲线时有影响的各种点。曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点曲线的最高、最低

16、、最前、最后、最左和最右点曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区分曲线可见与不可见部分的分界点。区分曲线可见与不可见部分的分界点。曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。例：求做左视图例：求做左视图例：求做左视图例：求做左视图 同一立体被多同一立体被多个平面截切，要逐个平面截切，要逐个截平面进行截交个截平面进行截交线的分析和作图。线的分析和作图。Y2Y2Y1Y1Y2Y2Y1Y1BACDaac ( b)dbcdc(d)

17、a (b)题38分析截切形体的表面交线，画全三视图 =90=90 90900 0 过锥顶过锥顶两相交直线两相交直线圆圆椭圆椭圆抛物线抛物线双曲线双曲线 所谓所谓，就是圆锥面与平面交线的形状根据它，就是圆锥面与平面交线的形状根据它们的们的相对位置相对位置的不同有如下五种。的不同有如下五种。 A 截平面垂直于轴线截平面垂直于轴线截交线为圆90 B 截平面过锥顶截平面过锥顶截交线为三角形交线为交线为椭圆椭圆思考思考椭圆长、短轴的长椭圆长、短轴的长如何求？如何求？长轴长轴短轴短轴C 截平面倾斜于轴线截平面倾斜于轴线椭圆中心点椭圆中心点D 截平面平行于一条素线截平面平行于一条素线截交线截交线为抛物线为抛

18、物线截交线为截交线为双曲线双曲线0 或或 E 截平面平行于两条素线（或轴线）截平面平行于两条素线（或轴线）小结：平面与圆锥相交小结：平面与圆锥相交截平面过圆锥顶点截交线为两条相交直线截平面倾斜轴线截交线为抛物线截平面平行于轴线截交线为双曲线截平面倾斜轴线截交线为椭圆截平面垂直于轴线截平面垂直于轴线截交线？截交线？12 1 2 34 12 34 1找特殊点找特殊点： 最左最左(底底)、最右、最右(高高)2找中点：找中点： 空间长短轴空间长短轴投影投影 长长or短轴短轴3找转向点找转向点长轴长轴短短轴轴 6 5 6 5 7 8 7 84 可见性分析可见性分析 光滑连接光滑连接例例 求截交线求截交线

19、找一般点找一般点 3(4)5(6)7(8)例例: 圆锥被正垂面截切，求圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。截交线，并完成三视图。截交线的空截交线的空间形状？间形状？截交线的截交线的投影特性？投影特性？找特殊点找特殊点如何找椭圆另如何找椭圆另一根轴的端点？一根轴的端点？补充中间点补充中间点光滑连接各点光滑连接各点分析轮廓线的分析轮廓线的 投影投影结论圆锥表面截交线的形状与什么有关？如何求解圆锥面上的截交线的投影？与截平面的位置有关：与截平面的位置有关：五种情况五种情况1找特殊点找特殊点： 最左最左(底底)、最右、最右(高高)2找中点：决定找中点：决定空间长短轴位置空间长短轴位置 投影长投

20、影长or短轴短轴3找转向点和找转向点和一般点一般点4 可见性分析可见性分析,光滑连接光滑连接例例 试分析物体的表面交线，并画全三视图。试分析物体的表面交线，并画全三视图。 c a(d) b b A B C D d c a b dyrr cyY1Y1 a平面与圆球相交平面与圆球相交例例2：求作切口圆锥台的左、俯视图。：求作切口圆锥台的左、俯视图。123(4)132132分析：圆锥台的切口分析：圆锥台的切口由三个平面切割而成，由三个平面切割而成，分析各截交线的空间分析各截交线的空间形状和投影特性。形状和投影特性。例例5 5：求作切口圆锥台的左、俯视图。：求作切口圆锥台的左、俯视图。123(4)132132切口圆锥台的视图和立体图。切口圆锥台的视图和立体图。水平面截切水平面截切圆锥的交线圆锥的交线 a b c a b cY1 aY1Y2 c bY