第二章薛定谔方程

1、1 波函数及其物理意义波函数及其物理意义第二章第二章 Schrodinger 方程方程（一）波粒二象性（一）波粒二象性电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ （1）两种错误的看法）两种错误的看法 1. 实物粒子（例如电子）由经典粒子组成实物粒子（例如电子）由经典粒子组成 1.有一定质量、电荷等有一定质量、电荷等“颗粒性颗粒性”的属性的属性; 2.有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度。有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度。 经典概念中粒子意味着：经典概念中粒子意味着： 1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化实在的物理量的空间分布作周期性的变化;

2、 2.干涉、衍射现象，即相干叠加性。干涉、衍射现象，即相干叠加性。经典概念中波意味着：经典概念中波意味着： 2. 粒子由经典波组成粒子由经典波组成“ 电子既不是粒子也不是波电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们也可典的粒子也不是经典的波，但是我们也可以说，以说，“ 电子既是粒子也是波，它是粒子电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一和波动二重性矛盾的统一”。 exp()iAp rEt 称为称为deBroglie 波。此式称为波。此式称为自由粒子的波函数自由粒子的波函数。（2）波函数）波函数2 ()it r nAe 为了表示微观粒子的波粒二象性，

3、可以用平面波为了表示微观粒子的波粒二象性，可以用平面波来描写自由粒子来描写自由粒子描述微观粒子的运动状态的波的数学式子描述微观粒子的运动状态的波的数学式子hEph 2h),(tr 如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量），粒他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量），粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：描写，一般记为： 描写粒子状态的波描写粒子状态的波函数，它通常是一函数，它通常是一个个复函数复函数。 （二）（二）Born 波函数的统计

4、解释波函数的统计解释 几率波几率波1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样间亦显示衍射图样;我们看一下电子的衍射实验我们看一下电子的衍射实验 2.入射电子流强度大，很快显示衍射图样入射电子流强度大，很快显示衍射图样. 电子源电子源感感光光屏屏PPOQQO4结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。结果。 4波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进

5、波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，的，在此基础上，Born 提出了波函数意义提出了波函数意义的统计解释。的统计解释。 波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例。描写粒子方）和在这点找到粒子的几率成比例。描写粒子的波是几率波反映微观客体运动的一种统计规律的波是几率波反映微观客体运动的一种统计规律性，波函数性，波函数 (r,t)有时也称为几率幅。有时也称为几率幅。这就是首这就是首先由先由 Born 提出的波函数的几率解释，它是量子提出的波函数的几率解释，它是量子力学的基本原理。力学的基本原理。波函数意义的统计解

6、释波函数意义的统计解释: 假设衍射波波幅用假设衍射波波幅用 (r,t) 描述，与光学相似，描述，与光学相似， 衍射花纹的强度则正比于衍射花纹的强度则正比于 | (r,t)|2 。 因此，因此，| (r,t)|2 正比于粒子正比于粒子t时刻出现在时刻出现在 r 点附点附近几率的大小，确切的说，近几率的大小，确切的说，C| (r,t)|2 x y z 表示表示t时刻在时刻在 r 点处，体积元点处，体积元x y z中找到粒子的几率。中找到粒子的几率。 在电子衍射实验中，照相在电子衍射实验中，照相底片上，底片上，r 点附近衍射花样点附近衍射花样的强度正比于电子出现在的强度正比于电子出现在 r 点附近的

7、几率。点附近的几率。在在t时刻，时刻，r点，点，d=dxdydz体积内，找到由波函数体积内，找到由波函数 (r,t)描写的粒子的几率是：描写的粒子的几率是： d W( r, t) = C2| (r,t)|2 d， 其中，其中，C2是比例系数。是比例系数。根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质： （1）几率和几率密度）几率和几率密度在在t时刻，时刻，r点，单位体积内找到粒子的几率是：点，单位体积内找到粒子的几率是： ( r, t ) = dW(r, t )/ d = C2 | (r,t)|2 称为称为几率密度几率密度。（三）（三）几率解释对波函数提

8、出的要求几率解释对波函数提出的要求 在体积在体积V内，内，t时刻找到粒子的几率为：时刻找到粒子的几率为： W(t) = V dW = V( r, t ) d = C2V | (r,t)|2 d 由于粒子在空间总要出现，所以在全空间找到由于粒子在空间总要出现，所以在全空间找到粒子的几率应为一。粒子的几率应为一。 即：即：C2 | (r , t)|2 d= 1 （2）归一化波函数）归一化波函数即波函数满足归即波函数满足归一化条件一化条件从而得归一化因子从而得归一化因子 C 之值为：之值为： C= (1/ | (r , t)|2 d)1/2因为在因为在t时刻，空间任意两点时刻，空间任意两点 r1和和

9、r2处找到粒子的相处找到粒子的相对几率之比是：对几率之比是： (r,t)和和C(r,t)所描写状态的相对几率是相同的，这所描写状态的相对几率是相同的，这里的里的C是常数。是常数。221221),(),(),(),(trtrtrCtrC 由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即即

10、 (r,t) 和和 C(r,t) 描述同一状态描述同一状态 这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2 倍），则相应的波动能量将为原来的倍），则相应的波动能量将为原来的 4 倍，因而代倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。 可见，可见，(r,t)和和C(r,t)描述的是描述的是同一几率波同一几率波，所以，所以波函数有一常数因子不定性。波函数有一常数因子不定性。 归一化常数归一化常数l若若 (r , t ) 没有归一化，没有归一化， | (r , t )|2 d= A （A 是大于零的常数），则

11、有是大于零的常数），则有 |(A)-1/2 (r , t )|2 d= 1 也就是说，也就是说，(A)-1/2 (r , t )是归一化的波函数，是归一化的波函数， 与与 (r , t )描写同一几率波，描写同一几率波，(A)-1/2 称为归一化因子。称为归一化因子。 l注意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定注意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性。若性。若 (r , t )是归一化波函数，那末，是归一化波函数，那末， expi (r , t ) 也是归一化波函数（其中也是归一化波函数（其中是实数），是实数），与前者描述同一几率波。与前者描述同一几率波。解解:令已归一化波函数为令已

12、归一化波函数为)()(),(xcxx设设ac82ac22dxaxcdxxa2cos41)(0222124124cos141202acdxaxca), 0(axaxx2cos21)(将其归一化。将其归一化。例题：例题：设波函数设波函数所以归一化波函数为所以归一化波函数为 axax2cos2课堂练习：课堂练习：设设 ， 为常数，求归一化系数为常数，求归一化系数A。 222xxAe解：解： 22221xxdxA edx2221xAedx2yedy12A2A（3）波函数的标准条件）波函数的标准条件2、根据波函数的统计解释，要求波函数的模的平方、根据波函数的统计解释，要求波函数的模的平方单值和有限，从而

13、保证几率密度在如何时刻都是确单值和有限，从而保证几率密度在如何时刻都是确定的。定的。3、要求波函数、要求波函数 (r , t )及其各阶微商的连续性，这及其各阶微商的连续性，这要根据体系所处势场要根据体系所处势场V(r)的性质来分析。的性质来分析。l概括之，波函数在全空间每一点通常应满足概括之，波函数在全空间每一点通常应满足单值、单值、有限、连续有限、连续三个条件，该条件称为三个条件，该条件称为波函数的标准条件波函数的标准条件。 1、归一化条件要求，在空间任何有限体积元中找到、归一化条件要求，在空间任何有限体积元中找到粒子的几率为有限值。粒子的几率为有限值。 W(t) = CV | (r,t)

14、|2 d=有限值有限值 l微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射的本质在于和衍射的本质在于波的叠加性波的叠加性，即可相加性。，即可相加性。l因此，同光学中波的叠加原理一样，因此，同光学中波的叠加原理一样，量子力学中量子力学中也存在波叠加原理也存在波叠加原理。因为量子力学中的波，即波。因为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态，称波函数为函数决定体系的状态，称波函数为状态波函数状态波函数，所以量子力学的波叠加原理称为所以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。态叠加原理。（四）态叠加原理（四）态叠加原理考虑电子双缝衍射考虑电子双缝衍射 P12 S1

15、 S2 电子源电子源感感光光屏屏一个电子有一个电子有 1 和和 2 两种可能的状态，两种可能的状态， 是这是这两种状态的叠加。两种状态的叠加。空间找到电子的几率则是：空间找到电子的几率则是： |2 = |C11+ C22|2 = (C1*1*+ C2*2*) (C11+ C22) = |C1 1|2+ |C22|2 + C1*C21*2 + C1C2*12*电子穿过狭电子穿过狭缝出现在缝出现在点的几率点的几率密度密度电子穿过狭电子穿过狭缝出现在缝出现在点的几率点的几率密度密度相干项相干项 正是由于相干项正是由于相干项的出现，才产生的出现，才产生了衍射花纹。了衍射花纹。 一般情况下，如果一般情况

16、下，如果1和和2 是体系的可能状态，那是体系的可能状态，那末它们的线性叠加末它们的线性叠加= C11 + C22 也是该体系的一也是该体系的一个可能状态，其中个可能状态，其中C1 和和 C2 是复常数，这就是是复常数，这就是量子力量子力学的态叠加原理学的态叠加原理。态叠加原理一般表述：态叠加原理一般表述： 若若1 ，2 ,., n ,.是体系的一系列可能的状态，是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加则这些态的线性叠加 = C11 + C22 + .+ Cnn + . (其中其中 C1 , C2 ,.,Cn ,.为复常数为复常数)。也是体系的一。也是体系的一个可能状态。个可能状态。 处于处

17、于态的体系，部分的处于态的体系，部分的处于 1态，部分的处于态，部分的处于2态态.，部分的处于，部分的处于n，.（四）力学量平均值（四）力学量平均值l在统计学中知道，在统计学中知道， l当可能值为离散值时当可能值为离散值时: 一个物理量的平均值等于一个物理量的平均值等于物理量出现的各种可能值乘上相应的几率求和；物理量出现的各种可能值乘上相应的几率求和； l当可能值为连续取值时：一个物理量出现的各种当可能值为连续取值时：一个物理量出现的各种可能值乘上相应的几率密度求积分。可能值乘上相应的几率密度求积分。 l基于波函数的几率含义，我们马上可以得到物理基于波函数的几率含义，我们马上可以得到物理量的平

18、均值。先考虑一维情况，然后再推广至三量的平均值。先考虑一维情况，然后再推广至三维。维。（1）坐标平均值）坐标平均值2*|( ) |( )( ),xxxxdxx xx dxx 为简单计，省去时间变量（或者说，先不考虑随为简单计，省去时间变量（或者说，先不考虑随时间的变化）时间的变化） 设设(x) 是归一化波函数，是归一化波函数，|(x)|2 是粒子出现在是粒子出现在x点的点的几率密度，则几率密度，则三维情况：三维情况：( )( )xxr xr dr（2）力学量）力学量f(r)平均值平均值 由归一化波函数由归一化波函数(r)求力学量平均值时，必求力学量平均值时，必须把该力学量夹在须把该力学量夹在*

19、(r)和和(r)之间之间,对全空间积对全空间积分，即分，即 ( )( )FFr F rr dr2 Schrodinger 方程方程 这些问题在这些问题在1926年年Schrodinger 提出了波动方提出了波动方程之后得到了圆满解决。程之后得到了圆满解决。 微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和相应的几率分布也都被完全确定，波函数完可能值和相应的几率分布也都被完全确定，波函数完全描写微观粒子的状态。因此量子力学最核心的问题全描写微观粒子的状态。因此量

20、子力学最核心的问题就是要解决以下两个问题：就是要解决以下两个问题：(1)在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数；在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数； (2)波函数如何随时间演化。波函数如何随时间演化。 从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻t粒子粒子的状态的状态r和和p 。因为初条件知道的是坐标及其对时间。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。让我们先回顾一下经典粒子运动方程让我们先回顾一下经典粒子运动方程（1）经典情况）经典情况0000,ttdtrdmprtt

21、时时刻刻，已已知知初初态态是是：22dtrdmF 方方程程：粒粒子子满满足足的的方方程程是是牛牛顿顿（2 2）量子情况）量子情况3第三方面，方程第三方面，方程不能包含状态参量不能包含状态参量，如，如 p, E等，等，否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。各种可能的状态所满足。1因为，因为，t = t0 时刻，已知的初态是时刻，已知的初态是( r, t0) 且只知道且只知道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程足的方程只能含只能含对时间的一阶导数。对时间的一阶导数

22、。2另一方面，另一方面，要满足态叠加原理要满足态叠加原理，即，若，即，若1( r, t ) 和和2( r, t )是方程的解，那末是方程的解，那末 ( r, t)= C11( r, t ) + C22( r, t ) 也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中只能包含是说方程中只能包含, 对时间的一阶导数和对坐标对时间的一阶导数和对坐标各阶导数的一次项，不能含它们的平方或开方项。各阶导数的一次项，不能含它们的平方或开方项。（一）自由粒子满足的方程（一）自由粒子满足的方程这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量这不是所要寻找的方程，因为

23、它包含状态参量 E E 。将。将对坐标二次微商，得：对坐标二次微商，得：1iEiEtt （ ） )(expEtrpiA描写自由粒子波函数描写自由粒子波函数: : 应是所要建立的方程的解。应是所要建立的方程的解。将上式对将上式对t t微商，得：微商，得：， 2222)(xxEtzpypxpipxpiAexxzyx 22222222zypzpy同同理理有有 12222222222zyxpppzyx)2(221222222 pp或或 )2()2(222 pEti满足上述构造方满足上述构造方程的三个条件程的三个条件）（所所以以3222 ti 22pE 对对自自由由粒粒子子，(1)(2)式式讨论：讨论：

24、通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能量关系式如果能量关系式 E = p2/2 写成如下方程形式：写成如下方程形式： 22224Eitppipp 做如下替换（做如下替换（4），即得自由粒子满足的方程（），即得自由粒子满足的方程（3）。）。0)2(2 pE2232it （ ）（二）势场（二）势场 V(r) 中运动的粒子中运动的粒子22( , )( )( , )2ir tV rr tt 若粒子处于势场若粒子处于势场 V(r) 中运动，则能动量关系变为：中运动，则能动量关系变为：HrVpE )(22 )(22rVpE 将其作用于波函数得：将其作用于波函

25、数得：仿照自由粒子波函数，做仿照自由粒子波函数，做（4）式的算符替换得：）式的算符替换得： 22224Eitppipp 该方程称为该方程称为 Schrodinger 方程方程，也常称为，也常称为波动方程波动方程。（三）多粒子体系的（三）多粒子体系的 Schrodinger 方程方程 设体系由设体系由 N 个粒子组成，个粒子组成， 质量分别为质量分别为 i (i = 1, 2,., N) 体系波函数记为体系波函数记为 ( r1, r2, ., rN ; t) 第第i个粒子所受到的外场个粒子所受到的外场 Ui(ri) 粒子间的相互作用粒子间的相互作用 V(r1, r2, ., rN) 则多粒子体系的则多粒子体系的 Schrodinger 方程可表示为：方程可表示为：);,(),()(2);,(211212221trrrrrrVrUtrrrtiNNiNiiiiN 3 定态定态Schrodinger方程方程（一）定态（一）定态SchrodingerSchrodinger方程方程),()(2),(22trrVtrti )()(),(tfrtr 现在让我们讨论有外场情况下的现在让我们讨论有外场情况下的定态