[工学]第7章-正弦稳态分析

1、第7章 正弦稳态分析 正弦电路中，当电路进入稳态后，电路中任意电压或电流均随时间按与激励同频率的正弦规律变化。处于正弦稳态的电路称正弦稳态电路，分析和求解正弦稳态电路的响应称为正弦稳态分析。 在微分方程中，稳态就是微分电路方程的特解。这里介绍另一种方法求特解，就是相量法求解。 7.1 正弦量 正弦量的三要素。正弦量可以用正弦函数表示，也可以用余弦函数表示。这里采用用余弦函数来表示正弦量。 在选定参考方向和计时起点后，正弦量的瞬时值表达式为： ) 17()cos()(tFtfmt式中Fm为振幅，为角频率，为初相位，称为相位。 初相位（简称初相）的大小不大于。 正弦量是周期性函数。正弦量完成一次循

2、环的时间称为周期，用T表示，单位是秒。周期的倒数就是频率，即1秒种时间内所完成循环的次数，单位是赫兹（Hz）。角频率是1秒时间里所转过的角度，它与频率、周期满足下面式子。 )47(22fT 也就是说，只知道振幅、初相、频率或周期或角频率，就可写出正弦量的表达式。这三个量，称为正弦量的三要素。 正弦量f(t)的波形如图7-1所示。 为滞后为超前00例7-1 试求正弦量 )6100sin(10)(ttf的振幅Fm、初相和频率f。 解：先将其化为标准式 )3100cos(100)23100sin(100)6100sin(100)6100sin(10)(tttttf即振幅Fm100，初相是3，角频率是

3、100，即频率是f=50Hz。 正弦量的相位差 设两个正弦量： )cos()()cos()(222111tUtutUtumm其相位差为： )57()()(2121tt注意相位差要满足： 02102102121221若，说明u1(t)超前u2(t)。，说明u1(t)与u2(t)同相。，说明u1(t)滞后u2(t)。，说明u1(t)、 u2(t)反相。，说明u1(t)、u2(t)正交。 例7-2 已知正弦电压 VtUtuVtUtumm)2cos()(,)6cos()(2211正弦电流 AtItim)32cos()(33试求各正弦量间的相位差。 解： 电压u1和u2相位差为： 0322612说明电压

4、1超前电压2。 电压u1与电流i3之间的相位差： 0232613说明电压1滞后电流，二者正交。 电压u2与电流i3之间的相位差： 06732223注意到相位差的取值，实际上是 06523电压超前电流。 正弦量的有效值。 周期信号的有效值是根据其本身的热效应来确定。对于正弦交流电流，将其流过某电阻R，在某段时间内产生热量与通过该电阻的直流电流I在相同的时间里产生的热量相同，我们说这个交流电的有效值就是I。 下面以一个周期T产生热量进行计算。 TTdtiTIRdtiRTI020221设正弦交流电为：)cos(imtIi，则其有效值为： 22)(2cos1)(cos102022mTimTimIdtt

5、TIdttITI同时交流电压的有效值与幅值之间也满足上面的关系。 交流电压、电流的瞬时表达式可以写成： )cos(2)()cos(2)(iutItitUtu7.2 正弦量的相量表示法 对一个复数A，其表达形式有以下4种。 AeAjAjbaAj)sin(cos分别是直角坐标形式、三角形式、指数形式、极坐标形式。 其中22baA称为模， abarctan称为幅角。 12j对于含时的复数 )(tjmeF，其三角形式为： )sin()cos(tjFtFmm可见，正弦量 )cos()(tFtfm与复数有关， 它是上面复数的实部。记为： ReReRe)()(tjmtjjmtjmeFeeFeFtf其中，mF

6、也是一个复数，它反映正弦量的模和初相位。 通常在频率已知的情况下，若求出振幅、初相位，就能得到正弦量的瞬时表达式。我们将从正弦交流电中得到的复数称为相量。反映复数的平面我们称为复平面；反映相量的平面称为相平面。如图7-3、图7-4所示。 复数tje的模为1, 它与时间有关，我们称之为单位旋转相量。 相量乘以旋转相量，它就可在相量图中旋转起来。如图7-5所示。 相量只是反映正弦交流电的振幅（或有效值）、初相位的关系，并不等于正弦量，它们之间只是一种对应关系。 FFtFtFFFtFtfmmmm)cos()()cos()(或：例7-3 已知正弦电流和电压分别为： VttuVttuAtti)60314

7、cos(23)()45314sin(25)()30314cos(25)(030201试写出它们对应的相量，并画出相量图。 解：先将它们化为标准的正弦量表达式，然后才写出它们对应的相量。 AI01305Vtttu)45cos(25)4590sin(25)(0002所以其对应的相量为： VU02455Vttttu)120314cos(23)18060314cos(23)60314cos(23)(00003所以，其对应的相量为： VU031203相量图如图7-6所示。 例7-4 已知同频正弦电压相量为： VjUVjUVjU43,43,43321频率f=50Hz。写出它们对应的瞬时值表达式。 解：先将

8、其化为极坐标形式。 VUVUVU0302011 .5359 .12651 .5353142f所以，它们对应的瞬时值表达式为： VttuVttuVttu)1 .53314cos(25)()9 .126314cos(25)()1 .53314cos(25)(030201VUVUVU0302011 .5359 .12651 .5357.3 正弦稳态电路的相量模型 基尔霍夫定律的相量形式 对于KCL，其表达式为： 0)(kKti在正弦交流电路中，基尔霍夫定律也是成立的。 0)cos(2kkktI上式可改写为： 02Re2Re2RekktjktjkktjjkIeeIeeI即有： 00kkmkkII或同样

9、对KVL，我们也可得到其相量形式有表达式： 00kkmkKUU或例7-5 如图7-7(a)所示电路节点上有： AttitAti)120314cos(22)(,314cos22)(021试求电流i3(t)，并作出电流相量图。 解：利用相量法求解。 AIAI02011202,02利用相量形式下的KCL，有： AjjIIII033211202732. 11)732. 11(20其瞬时值表达式为： Atti)120314cos(22)(03其相量图如图(b)所示：例7-6 如图7-8所示电路中，已知：Vttu)45314cos(2200)(01， VttuVttu)45314cos(2100)(,)1

10、35314cos(2200)(0302。 求电压u(t)。 解：利用相量法求解。 VUVUVU0302014510013520045200VjjjjUUUU03214 .108211.15821502502502502100210021002100所以其瞬时电压表达式为： Vttu)4 .108314cos(22.316)(0电路元件的伏安关系的相量形式 设： )cos(2)()cos(2)(iutItitUtu则有： 2Re2Retjtje IReU即： IRU电容元件的VCR的相量形式 对于图7-10所示的电容元件有： dttduCti)()(设： )cos(2)()cos(2)(iutI

11、titUtu则： 2Re2Re2RetjjtjjtjjeeUCjeUedtdCeIeuui即有： UCjI注意jej090 说明： 090uiCUI对比电阻的欧姆定律， CXC1称为容抗，单位也是欧姆。 容抗的倒数称为容纳。用BC表示。 电容的相量形式电路如图所示：电感元件伏安特性的相量形式 电感的伏安特性为：dttdiLtu)()( 在正弦稳态交流电路中，电感的电压与电流可设为： )cos(2)()cos(2)(iutItitUtu则： 2Re2Re2RetjjtjjtjjeLIejeIsdtdLeUeiiu即： ILjU上式可表示为： 2iuLIU同样L称为感抗，用XL表示； 其感纳为 L

12、BL1电感相量形式的电路图如图所示：例7-7 在图7-12所示正弦稳态电路中，已知 Atti)120100cos(22)(0试求电感两端的电压u(t)。 解： VILjULAI0030100505 . 01001202所以： Vttu)30100cos(2100)(0例7-8 在图7-13所示正弦稳态电路中，已知 15,10cos260)(3RtVtuL10mH，C50F。试求电流i(t)。 解： 201100600CLVU利用R、L、C元件的VCR的相量形式，可得各支路的电流相量。 ALjUIAUCjIARUILCR00009069030415060由KCL的相量形式可得： AjjjIIII

13、LCR09 .36533634Atti)9 .3610cos(25)(03电流i(t)为：7.4 阻抗与导纳 图7-14(a)所示，N0为正弦稳态电路中的无源二端网络，其端口电压如图所示，则端口的电压相量与电流相量之比为一个阻抗，我们用Z或Y来表示。 UIZYIUZ1 显然Z和Y都是复数，单位分别是和S，称为（复）阻抗和复导纳。定义： jBGYjXRZ其中R是等效电阻，X称为电抗；G是导纳，B是电纳。 复阻抗的表示形式与复数一样，都有四种形式，常用的有代数形式和极坐标形式。阻抗的大小、电阻、电抗组成一个直角三角形。对复导纳也有相同的结论。 称为阻抗角）(arctansincos22RXXRZj

14、XRZZjZZZZZZ对于复导纳有： )(arctansincos22称为导纳角GBBGYjBGYYjYYYYYY电阻与导纳、电抗与电纳的关系： 2222222211XRXBXRRGjBGXRXjXRRjXRZY例7-9 在图7-15(a)所示电路中，已知端口的电压与电流分别为： tAtiVttu100cos22)(,)9 .36100cos(210)(0求该端口的输入阻抗、导纳及其等效电路。 解： AIVU00029 .3610349 .3650jIUZ相当于一个4电阻，串联一个感抗为3的电感，电感的大小为0.03H SjSUIY)12. 0(16. 09 .362 . 00 相同于一个0.

15、16S的电导（电阻等于6.25），并联一个导纳为0.12的电感（电感大小为0.083H）。 对于R、L、C串联电路，如图7-16(a)所示。 其相量形式电路如图(b)所示。其阻抗为： )1(CLjRjXjXRZcL 当XLXC0时，我们说电路是感性电路，电压相位超前电流；若XLXC0，电路为容性电路，电压相位滞后电流；等于0时，电路为纯电阻电路，电压与电流同相。 由于： XRCLUjUIjXIRXXjIRU)(222222XRZIXRUUUXR电压三角形与阻抗三角形是相似三角形。 例7-10 在图7-18(a)所示RLC串联电路中，已知R100，L20mH，C1F，端电压 Vttu)3010c

16、os(2100)(04试求电路中的电流和各元件的电压。 解：先画出其相量形式下的电路图。 1001200301000CXLXVUCL100100)(jXXjRZCLVjIjXUVjIjXUVRIUAZUICCLLR00000000105210015211007522001521200152100152145210030100电流和各电压的瞬时量表达式为： VttuVttuVttuAttiCLR)10510cos(100)()7510cos(200)()1510cos(100)()1510cos()(04040404例7-12 电路如图7-19所示，已知R18，XC16，R23，XL24，R35

17、，XL310。求电路的输入阻抗Zab。 解：先写各部分的阻抗。 1054368333222111jjXRZjjXRZjjXRZLLC阻抗的计算与电阻的计算形式相同。 21123ZZZZZZab12924105)43()68()43)(68(105jjjjjjjjZab7.5 正弦稳态电路的相量分析法 对于正弦稳电路的分析，由于采用了相量法，使得电路变成线性电路，只不过这是在复平面运算。前面直流电路的方法、定理同样适用于正弦稳态相量形式下的电路。 例7-13 在图7-20(a)所示电路中，已知 tAtitVtuSS2cos2)(,2cos22)()(tiL)(tuC求电感电流和电容电压。 解：首

18、先将电路图变成相量形式的电路，如图(b)所示。利用网孔电流法求解。 AIVUSS0001023132321-22)22IIIIIIIUIIjIjSS补充方程：网孔：网孔：（网孔：)( 11)( 122)22(221AjIAjjI)( 121AIIIL)(1802)2(1)2()(032VjjjIIUC)(1802cos(22)()(2cos2)(0VttuAttiCL例7-14 电路如图7-21所示，试求电压0U。 解：采用节点电压法求解。选择如图参考点。 03232100213010) 11 (1:301) 111 (1:230101120201) 11 (1nnnnnnnUUUUjUjUU

19、j节点节点：节点1321011210111jjjD00033010) 13(30101001213010111jjjD所以： )(30100330VDDUUn例7-15 电路如图7-22(a)所示，试求电流相量LI。 解：利用戴维南定理求解。 开路电压的求解，电路如图(b)所示。 )(01000101)33(0121)01()3(0100101011VUIIjIIjIOC即有：求等效阻抗时，采用电路图（c）。 11113) 3(21)(IIjIIIIU所以： )(5 . 05 . 0111110jjZIjIjjU回到图(d)，求得： )(45215 . 05 . 00100AjjIL例7-16

20、 在图7-23所示的电路相量模型中，N0为R、L和C组成的无源线性网络。已知如图7-23(a)，当 AIS0101， 22 端开路时， VUVU02019030,3020；现如图7-23(b)所示， 又将 AIS02302的电流源接于 22 ，试求电压相量 1U。 解：对于图(b)，可用叠加定理求，当电流源单独作用的电压，然后再叠加。 1SI作用时，产生的电压为 VU013020；当 2SI单独作用时， 利用互易定理及线性网络的齐次性，有： VUUUIISS0000111126060903001302 所以该电压相量为： VUUU0001117 .527860603020 7.6 正弦稳态电路

21、的功率 正弦稳态电路中，无源二端网络如图7-24(a)所示，其端口电压和电流参考方向为关联方向。 )cos(2)()cos(2)(iutItitUtu则该网络吸收的瞬时功率为： )22cos(cos)2cos()cos()cos()cos(2ZiZiuiuiutUIUItUIUIttUIiup平均功率是我们讨论的，其值等于： ZTZiZTUIdttUIUITpdtTPcos)22cos(cos1100 实际上，电阻、电容、电感这三种元件，只有电阻才是消耗功率的，其他两种分别储备电场能和磁场能。 例7-17 图7-26所示电路是三表法测量实际电感线圈的电感与电阻参数值。已知外加正弦电压的频率为5

22、0Hz，电压表读数为100V，电流表读数为1A，瓦特表读数为80W。试求R和L的值。 解 801802RRIP608010010022LXZHXLL19. 031460 对于一般的二端网络，可等效为一个电阻R和一个电抗X串联。故二端网络吸收的瞬时功率（平均功率）应等于等效阻抗中电阻和电抗吸收的瞬时功率（平均功率）的和。电阻R吸收的平均功率为： ZRUIPcos 这部分功率是做功的，称为有功功率用P表示，单位为瓦特（W）。 电抗吸收的瞬时功率为： )22sin(sin)(iZXtUItp 电抗吸收的平均功率为0。由于电抗瞬时功率的最大值是 ZUIsin 这部分功率是电抗占用的，并不做功，我们定义

23、这个功率为无功功率，用Q表示，单位为乏（Var）。 而端口电压与电流的积定义为视在功率，用S表示，即SUI。视在功率又称铭牌功率或设备的容量。 于是有： SPQPSZcos22定义功率因数（PF或pf，用表示）：Zcos 复功率S 复功率的定义为： jQPUIIUIUSiuiu)(*是共轭电流相量*I 从上式我们看出，在电路中，有功功率可以相加，无功功率也可以相加。 例7-18 电路相量模型如图7-28所示，已知端口电压的有效值U100V。 试求该二端网络的P、Q、S、 S和PF。 解：设VU00100 二端网络端口的等效阻抗为： 09 .3610681616161614jjjjZ因此： )(

24、6008009 .3610009 .361001009 .36109 .36100100000*000VAjIUSAZUI所以P800W，Q600Var。S1000VA。电路为容性电路。 8 . 0)9 .36cos(cos0ZPF例7-19 如图7-29所示，已知一感性负载接在电压U220V、频率f=50Hz的交流电源上，其平均功率P1.1kW，功率因数PF0.5。现欲并联电容使功率因数提高到0.8（滞后），求需接多大的电容C？ 解：设VU00220 并联电容前端口电流为I AI105 . 02201100由功率因数PF0.5，可知感性负载的阻抗角为 0605 . 0arccosZ此时电流为： AI06010并联电容后，端口电流的大小为： AI25. 68 . 02201100此时，端口等效阻抗的