西安交大复变函数小结

1、数学学院数学学院数学学院数学学院复变函数与积分变换（1）数学学院数学学院复复变变函函数数映射映射连续连续第一章小结第一章小结邻邻域域区区域域极限极限复复数数表表示示代数表示代数表示三角表示三角表示指数表示指数表示数学学院数学学院第二章小结第二章小结数学学院数学学院复变函数的积分复变函数的积分积分存在的积分存在的条件及计算条件及计算积分的性质积分的性质Cauchy积分定理积分定理原函数原函数的概念的概念复合复合闭路闭路定理定理Cauchy积分公式积分公式高阶导数高阶导数公式公式Newton- -Leibniz公式公式第三章小结第三章小结有向曲线有向曲线数学学院数学学院复数项级数复数项级数函数项级

2、数函数项级数充充要要条条件件必必要要条条件件幂级数幂级数收敛半径收敛半径R绝绝对对收收敛敛运算与性质运算与性质为复常数为复常数n )(zfnn为函数为函数 收敛条件收敛条件条条件件收收敛敛复数列复数列收敛半径的计算收敛半径的计算Taylor 级数级数Laurent级数级数第四章小结第四章小结数学学院数学学院7复变函数的积分柯西古萨基本定理oxy柯西积分公式高阶导数公式闭路变形原理0zC ( )d0.f zz 00C( ) d2(. )f zzif zzz( )010C( )2 d().(0,1,2,)()!nnf zizfznzznC ( )d ( )d .f zzf zzC021101()n

3、Cindznzz数学学院数学学院例例1 1 已知调和函数已知调和函数sin ,xvey 试求一解析函数试求一解析函数 ,(0)1.使f zuivf解解dddxyuuxuyddyxvxvycos dsin dxxey x ey y ( , )(0,0)x yu 0 x dxe x0y sin dxey y 1+cosxxxeeyecosxfuiveysinxieyC(0)1,f 0.C cos1,xeyy xo( ) z0（ ， ）x数学学院数学学院例例2 2 已知调和函数已知调和函数cossin,xxve yye xyxy试求一解析函数试求一解析函数 ,(0)0.f zuivf使解解dddxy

4、uuxuyddyxvxvydcos dsin dcos ddcos dcos dcos ddxxxxxxuey x e yy x e xy xxe yy y e xy y ey yy ( , )(0,0)x yu 0 x ddxxe x e x x 0y cos dcos dcos ddxxxe yy y e xy y ey yy cossin,xxe xye yyxycossinxxfuive xye yyxy(cossin)xxi e yye xyxyC(0)0,f 0.C 数学学院数学学院10例3证明证明( )| | 1| | 1| | 11|( )| | |( )| 82设在内解析,在

5、上连续,且在上证明:f zzzzf zzzf y xoC( ) z12020| | 11( )( )d2()zf zf zzizz 1|( )|2f 2| | 112d12( )2zs 8. 2| | 11|( )| |d12|2zf zzzsz 数学学院数学学院解解例例4 4 将函数将函数 31zef zz 在圆环域在圆环域 内展为洛朗级数内展为洛朗级数. .0z 31(1)zf zez01!zkkezk 3111!kkzzk 311!kkzk 2111123!4!zzz数学学院数学学院(1) 01;z(2) 12;z(3) 2;z 内展开成内展开成LaurentLaurent级数级数. .

6、例例5 5 将函数将函数1 ( )(1)(2)f zzz 在圆环域在圆环域(4) 011z 解解11 ( )21f zzz111 (1) ( )2112f zzz 1111 (2) ( )12112f zzzz111(3) ( )()2111f zzzz数学学院数学学院解解 例例6 6将函数将函数 21( )(2)(3)f zzz 在区域在区域 021z 内展开成内展开成LaurentLaurent级数级数. . 11321zz 11(2)z 0(2)kkz 21(3)z 11(2)kkk z 21( )(2)(3)f zzz21(2)kkk z 数学学院数学学院例例7 7 将将 zf zz

7、sin在在 0z 内展开内展开 为为LaurentLaurent级数级数. . 解解210( 1)sin(21)!kkkzzk 20sin( 1)( )(21)!kkkzf zzzk 数学学院数学学院内展开成内展开成LaurentLaurent级数级数. . (1) 12;z(2) 2.z 例例8 8 将将25( )(2)(1)f zzz 在圆环域在圆环域y xo( ) zi2i 解解212( )21zf zzz (1) 12,z2112( )()2112zf zzz (2) 2,z 221112( )()12112zf zzzz 数学学院数学学院复变函数与积分变换（2）数学学院数学学院留数计

8、算方法可去奇点孤立奇点极点本性奇点函数的零点与极点的关系留数定理( )dCf z z 计计算算201.(sin ,cos )d2.( )d3.( )dixRf xxR x ex 留数在定积分计算中的应用第五章小结第五章小结零点的分布数学学院数学学院第六章小结第六章小结保角映射保角映射分式线性映射分式线性映射一一对应一一对应保角性保角性保圆性保圆性 几何意义几何意义( )fz 几个初等几个初等函数构成函数构成的映射的映射分式线性映射的确定分式线性映射的确定对确定区域的映射对确定区域的映射保对称性保对称性 zew nzw nzw1 lnwz 数学学院数学学院定理1 (留数基本定理) 设函数 在区域

9、D内除有限个孤立奇点12,nz zz外处处解析,C 是 D内包含所有奇点在其内部的分段光滑正向 Jordan曲线, 则1( )d2Res( ),.nkkCf zzif zz 根据留数基本定理,函数在闭曲线 1z2znzDC.C1C2Cn( )f zC 1Res( ),+Res( ),=0.nkkf zf zz 一一. . 留数定理留数定理数学学院数学学院二二. . 留数的计算留数的计算(1) 如果0z为)(zf的可去奇点, 则0Res ( ),0.f z z 成Laurent级数, 求.1 c(2) 如果0z为的本性奇点, )(zf展开则需将)(zf如果 为 的1级极点, 那么0z)(zf法则

10、1(3) 如果0z为的极点, 则有如下计算规则)(zf000Res ( ),lim() ( ).zzf z zzzf z 数学学院数学学院法则2设,)()()(zQzPzf )(zP及)(zQ在0z都解析. 如果000()0, ()0, ()0,P zQ zQ z 那么0z为f (z)的1级极点, 并且.)()(),(Res000zQzPzzf 010011dRes ( ),lim()( ).(1)!dnnnzzf z zzzf znz 如果 为 的 级极点 0z)(zfm法则3,nm 数学学院数学学院例9求 2( )1izef zz 在孤立奇点处的留数. 1()0, ()0, ()20.Pi

11、eQiQii 所以 是 f (z)的1级极点，并且zi Res ( ), f zi Res ( ),f zi 显然 和 都在 处解析，且zi ( )izP ze 2( )1Q zz 2izz iez ,2ie .22izzieeiz 数学学院数学学院23例10计算下列积分解| | 3| | 311)tand ;2)sind1zzz zzz 21221sin1)Restan,2(cos)kzkzzz 1 | | 31tand26 ()12zz zii 31112)sin,113!(1)zzz | | 31sind21zziz y xo( ) z数学学院数学学院24例11解2| | 21计算积分z

12、zzedzz 211Res, 1122zzzzeeze 21Res,1122zzzzeeez 2| | 212122zzzeedzize y xo| 2z ( ) z1 1数学学院数学学院25例12解3,(1):2cos4sin ,02计算积分其中zCedzzC ztitt 3(1)zCedzz 32Re ,1(1)zeisz 1()2lim2zzei ei y xoC( ) z1数学学院数学学院例13计算积分 4d ,1Czzz 其中 是 2z 的正向. d2 Res( ,1)+Re ( , 1) Res( , Res ,)Cf zifs ff ifi 4412(1)kkz zziz 解14

13、21120.4kkiz C( )d2 Res , Cf z zif 21 12 Res ( ),0ift t 42 Res,01tit 0. 解2数学学院数学学院27解16| | 1sind .zzzzz 例14 计算积分66| | 1sinsind2Re ,0zzzzzziszz 3566sin1()3!5!zzzzzz 115!c (5)60sin1Re ,0lim(sin )5!zzzszzz 01lim( cos )5!zz 15! 6| | 1sin1d2 5!zzzziz 60i 或数学学院数学学院例15计算积分 440d 0 .xIaxa 解441d.2xIxa 40341, .

14、 iizaezae 01Res,Res,if zif z01331144z zz zizz 332222.422222 2iiiaa 3444444iiaeaeiaa 数学学院数学学院例16计算积分 2sin2d .25xxIxxx 解222Res, 1225zizeiizz 21 2222zizizeiz 22d25zizezzz 2 ( 1 2 )( 12 )2iiii ei y xo RC( ) zR R1 2i 4( 12 )(cos2sin2)2iie 4(2cos2+sin2)2Ie 数学学院数学学院例17.计算积分 220sind (0).xxIxaxa 解 记 则 是上半平面的奇点22( ),zf zza 0zai 221sind2xxIxxa 1Im 2Re( ),.22izaisf z eaie 221Imd2ixxexxa y xo RC( ) zR Rai数学学院数学学院例18 设 是解析函数 的 级零点，则 是 的1级极点，且( )( )fzf z 0( )Res, .( )fzzmf z 证明 因为 是 的 级零点，则在00( )()( ), ()0,mf zzzzz0( )( ).( )( )fzmzf zzzz 0( )Res, .(