曲线的凹凸性ppt课件

1、November, 20043.4 (2) 曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点Concavity and Points of InflectionNovember, 2004一、曲线的凹凸性与拐点一、曲线的凹凸性与拐点察看：曲线的弯曲方式察看：曲线的弯曲方式曲线弧：上凹曲线弧：上凹曲线弧：上凸曲线弧：上凸弦在弧上方弦在弧上方弦在弧下方弦在弧下方November, 2004凹弧的定义：凹弧的定义：1x2x122xx( )yf x2()f x1()f x12()2xxf12()()2f xf xNovember, 2004凸弧的定义：凸弧的定义：1x2x122xx( )yf x2()f x1()

2、f x12()2xxf12()()2f xf xNovember, 2004如何判别曲线的凹凸？如何判别曲线的凹凸？设曲线弧上凹设曲线弧上凹单增单增( )fx( )0fxConcave upward下凸下凸November, 2004设曲线弧上凸设曲线弧上凸单减单减( )fx( )0fxConcave downward下凹下凹November, 2004反之，能否由二阶导数的符号来判别曲线反之，能否由二阶导数的符号来判别曲线的凹凸？的凹凸？答案是一定的答案是一定的定理定理 2 (曲线凹凸性的断定定理曲线凹凸性的断定定理设函数设函数 f(x) 在在 a, b 上延续，在上延续，在 (a, b)

3、内二阶可内二阶可导，那么导，那么 假设在假设在 (a, b) 内内 f (x) 0，那么曲线，那么曲线 y = f(x)在在a, b上是凹的上是凹的 假设在假设在 (a, b) 内内 f (x) 0，那么曲线，那么曲线 y = f(x)在在a, b上是凸的上是凸的November, 2004(1)( )0( )fxf x凹(2)( )0( )fxf x凸证证( )0fx1212()()()22xxf xf xf12()axxb1x2x122xx( )yf x2()f x1( )f x(1)( )0( )fxf x凹November, 2004( )0fx1212()()()22xxf xf x

4、f设设1202xxx将函数在将函数在(a, b)内展开为一阶内展开为一阶 Taylor 公式：公式：20000( )( )()()()()2!xxxfff xfxxx0 xxNovember, 2004( )0fx1212()()()22xxf xf xf0 xx20000( )( )()()()()2!xxxfff xfxxx111200100( )( )()()()()2!fff xfxxxxxx222200200()()()()()()2!fff xfxxxxxxNovember, 2004( )0fx1212()()()22xxf xf xf111200100( )( )()()()(

5、)2!fff xfxxxxxx222200200()()()()()()2!fff xfxxxxxx120( )()2 ()fffxxx正的正的2121( )()2 ()2xfxffxx不等式成立不等式成立12020 xxxNovember, 20041212( )()(1)( )0()22xxf xf xfxf推论：推论：1212( )()(2)( )0()22xxf xf xfxf可以推行到可以推行到 n 个数的情形个数的情形November, 2004( )f x( )0fx( )0fx( )0fx拐点拐点inflection point拐点拐点 (x0, f(x0): f(x0) 在点

6、在点 x0 两侧异号两侧异号November, 2004( )f x( )0fx( )0fx( )0fx拐点拐点inflection point能够出现拐点的点能够出现拐点的点 x0: f (x0) = 0 或或 f (x0) 不存在不存在November, 2004求曲线凹凸区间及拐点的步骤：求曲线凹凸区间及拐点的步骤：p.149November, 2004例例 9 求以下曲线的凹凸区间和拐点求以下曲线的凹凸区间和拐点32( )231214f xxxx解解2( )6612fxxx( )126fxx1( )12()02fxx12x 12x ( )0fx( )yf x凸12x ( )0fx( )

7、yf x凹November, 2004求以下曲线的凹凸区间和拐点求以下曲线的凹凸区间和拐点32( )231214f xxxx12x ( )0fx( )yf x凸12x ( )0fx( )yf x凹1(,)2 凸区间：凸区间：凹区间：凹区间：1(,)2拐点：拐点：11(,()22f1 41(,)22 November, 2004with(plots):A:=plot(2*x3+3*x2-12*x+14,x=-4.3):display(A,scaling=unconstrained,thickness=3);1 232231214yxxx证明：三次曲线恰有一个拐点证明：三次曲线恰有一个拐点且三次曲线关于其拐点对称且三次曲线关于其拐点对称November, 2004例例 10 求以下曲线的凹凸区间和拐点求以下曲线的凹凸区间和拐点43( )341f xxx解解32( )1212fxxx2( )3624fxxx0 x236 ()3x x023x 023( )0fx( )0fx( )0fxNovember, 2004求以下曲线的凹凸区间和拐点求以下曲线的凹凸区间和拐点43( )341f xxx023( )0fx( )0fx( )0fx拐点：拐点：(0,1)2 11( ,)3 27November,