全国高中数学联合竞赛一试试卷及答案

1、5.A.-12()1B2C.-1D.1设圆O和圆Q是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是()0(6.已知A与B是集合1,2,3,，100的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为AHB空集。若nCA时总有 2n+2CB,则集合AUB的元素个数最多为()A.62二、填空题(本题满分7.在平面直角坐标系内,P,则|PA+|PB+|B.66C.6854 分，每小题 9 分)D.74有四个定点代-3,0),R1,-1),C(0,3),口-1,3)及一个动点PC+|PD的最小值为8.在ABC和AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1,BC=6,CA=33,若ABAE+ACAF=

2、2,则EF与BC的夹角的余弦值等于2007年全国高中数学联合竞赛一试试卷(考试时间：上午 8:00-9:40)设实数a使得不等式|2x-a|+|3x-2a|a2对任意实数x恒成立,满足条件的a所组成的集合是将号码分别为 1、2、9 的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a,放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b。则使不等式a-2b+100 成立的事件发生的概率等于()、选择题(本题满分如图，在正四棱锥的平面角的余弦值为A.17C.1236 分，每小题 6 分)P-ABCD,ZAP(=60,则二面角B.D.2.则111C.一了3D.-3,33.

3、A.5281B.5981C.6081D.61814.设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数、bcosc./土房一立，则的值等于a、b、c使得af(x)+bf(x-c)=1 对任意实数x恒成2.3.，一.一，一9.已知正方体ABCDABCD的棱长为1,以顶点A为球心，勺？为半径作一个球，则球面3与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于。10 .已知等差数列an的公差d不为 0,等比数列bn的公比q是小于 1 的正有理数。若a产 d,222b尸d2,且a一a2%是正整数，则q等于。|bib2b311 .已知函数f(x)=Sin(n)-CoS(冗尸2(：.5),则(刈的最小值为。12 .将

4、 2 个a和 2 个b共 4 个字母填在如图所示的 16 个小方格内，每个小方格内至多填 1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有种(用数字作答)。三、解答题(本题满分 60 分，每小题 20 分)5n14 十13 .设 an=1,求证:k3k(n1-k)1,14 .已知过点(0,1)的直线l与曲线 C：y=x+(xA0)交于两个不同点M和N求曲线Cx在点MN处切线的交点轨迹。15 .设函数f(x)对所有白实数x都满足f(x+2 兀)=f(x),求证：存在 4 个函数fi(x)(i=1,2,当正整数n2 日寸，an+1-233414|k一1|+-|k一一|二1一一k1k-,43

5、2355-kk1,2一一,3411所以min|k-1|十|k一一|=一，从而上述不等式等价于|a|0 得 2ba+10,于是，当b=1、2、3、4、5 时，每种情形a可取 1、2、9 中每一个值，使不等式成立，则共有 9X5=45 种；当b=6 时，a可取 3、4、9 中每一个值，有 7 种；当b=7 时，a可取 5、6、7、8、9 中每一个值，有 5 种；当b=8 时,a可取 7、8、9 中每一个值，有3 种；当b=9 时，a只能取 9,有 1 种。于是，所求事件45753161=一。81811c=Tt,则对任意的 xCR 都有f(x)+f(x-c)=2,于是取a=b=,c=Tt,则2xCR

6、,af(x)+bf(x-c)=1,由此得bcosc=一1。a般地，由题设可得f(x)=Y13sin(x+中)+1,f(xc)=JT3sin(x+*c)+1,其2由此得cos/AMCAMC中，由余弦定理得2.4.的概率为C 解：令对任意的中0c平c一且tan=一，于是af(x)+bf(x-c)=1 可化为23V13asin(x+中)+J13bsin(x一c)+a+b=1,即、；13asin(x+中)+V13bsin(x+中)coscVT3bsinccos(x+邛)+(a+b1)=0,所以V13(a+bcosc)sin(x+中)一VT3bsinccos(x+中)+(a+b1)=0。abcosc=0

7、（1）由已知条件，上式对任意xCR恒成立，故必有bsinc=0（2）,a+b1=0（3）若b=0,则由（1）知a=0,显然不满足（3）式，故 bw0。所以，由（2）知 sinc=0,故c=2kTt+兀或c=2k兀（kCZ）。当c=2k兀时，cosc=1,贝 U（1）、（3）两式矛盾。故c=2k兀+兀（kCZ）,f1一bcosccosc=-1o由（1）、（3）知 a=b=,所以=12a5. A 解：设圆O和圆O的半径分别是n、2,|OQ|=2c,则一般地，圆P的圆心轨迹是焦2c2c点为O、O,且离心率分别是和2c的圆锥曲线（当1=2时，OQ的中垂线12|1-r2|是轨迹的一部份，当c=0 时，轨

8、迹是两个同心圆）。当1=2且1+22c时，圆P的圆心轨迹如选项 B;当 02c|r1-r2|时，圆P的圆心轨迹如选项 C;当 cwr2且1+22c时，圆P的圆心轨迹如选项 D。由于选项 A 中的椭圆和双曲线的焦点不重合，因此圆P的圆心轨迹不可能是选项 A。6. B 解：先证|AUB|W66,只须证|AW33,为此只须证若A是1,2,34 元子集，则必存在 nCA,使得 2n+2CB。证明如下：将1,2,，49分成如下 33 个集合：1,4,3,8,5,12,，23,48共 12 个；2,6,10,22,14,30,18,38共 4 个；P,C25,27,29,49共 13 个；26,34,42

9、,46共PJ4 个。由于A是1,2,，49的 34 元子集，从而由抽屉原理可知/F,上述 33 个集合中至少有一个 2 元集合中的数均属于 A,即存在 nCA,/使得 2n+2CBoA”如取A=1,3,5,，23,2,10,14,18,25,27,29,，49,B26,34,42,46,B=2n+2|nCA,则A、B满足题设且|AUB|BD=|FB+|FD,因此，当动点P与F点重合时，|PA+|PB+|PQ+|PD取到最小值|AC|+|BD|=3j2+275。8.2解：因为ABAE+ACAF=2,所以ABAB+BE)+AC(AB+BF)=2,即32-2AB+ABBE+ACAB+ACBF=2。因

10、为AB=1,:331-36AC八8=433父1父=1,BE=BF,所以1+BF(ACAB)1=2,2、331即BFBC=2o设EF与BC的夹角为。，则有|BF|BC|cos8=2,即 3cos0=2,.2所以cos8=一。3的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面，49的任一个9.5.3二6解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得出AABB、面ABCB口面AADD上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BBCC面CCDD和面A1B1C1D上。在面AABB.,.一,2七；3兀上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为AE=2W,AA=1,则/A1AE=。36一一一222v33J3同理NB

11、AF=-,所以NEAF=,故弧EF的长为=冗，而这样的弧共66369有三条。在面BBCC上，交线为弧FG且在距球心为 1 的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B,半径为立，/FBG=-,所以弧FG的长为於，n=J3%。32326这样的弧也有三条。于是，所得的曲线长为3u3兀=2总。96610.1解：因为直至后:十心)、,故由已知条件知2bb2b3bibqbiq1qq、,2,14,一，,214道：1+q+q为，其中m为正整数。令1+q+q=，则mm1114156-3m14q=一一+J+j1=十。由于q是小于 1 的正有理数，所以1一3,2.4m2.4mm即5m13且563m是某个有理

12、数的平方，由此可知q=1。4m2452sin(九x-)215解：实际上f(x)=7(-x-),5%x44冗15、一,13.冗x)(x0,g(x)在,上是增函数,44444,一35,3.13.在一，一上是减函数，且y=g(x)的图像关于直线x=一对称，则对任息XI=-,-,444445451545所以f(x)之f(一)=即f(x)在,上的最小值是。4544512.3960 解：使 2 个a既不同行也不同列的填法有 G2A2=72 种，同样，使 2 个b既不同行也不同列的填法也有C2A2=72 种，故由乘法原理，这样的填法共有 722种， 其中不符合要求的有两种情况： 2 个a所在的|口|方格内都

13、填有b的情况有72 种；2 个a所在的方格内仅有 1 个方格内|口|一填有b的情况有06192=16X72 种。所以，符合题设条件的填法共有|口722-72-16X72=3960 种。三、解答题(本题满分 60 分，每小题 20 分)1111.9/113 .证明：由于=(一+),因此an=工一，于是，对任意的k(n1-k)n1kn1-kn1kk设g(x)=：；2sin(35,存在X2U,，使44f(X1)=g(X1)2=XIg(x2)=g(xi)。于g(x2)2g(x2)2XI-35=f(X2),而f(X)在一,一上是减函数,441正整数n2,有_(anan书)=2.11.n111.n1_=(

14、-)乙一一=(乙一1)0,即an+10(1),1_.13.一1,、刈+x2=0(2),XIx2=0(3),由此解得一k1。对y=x+求1一k1-k4x111导，得y=1-,则y|x=1-,y|x/=1，于是直线l1的万程为2入N12x=22Xx1x21、,、y-YI=(1-)(x-XI),XI.1.11.2即Y(X+)=(1-)(xxj,化简后得到直线l1的万程为Y=(1-)x+x1x1x1x1的轨迹为(2,2),(2,2.5)两点间的线段(不含端点)。|1、(4)。同理1可求得直线l2的万程为Y=(1-一)x/11(-)xpx2XI22十一一=0,因为XIWX2,故有xDpXIx2*22x1

15、x2XIx22/口十一(5)。(4)-(5)得*2(6)。将(2)(3)两式代入(6)式得XP=2。11(4)+(5)得2Yp=(2-(-2+2)x*2XI11、p+2(+)-XIx2，其中XI12XI*212乂x1x222XIx222二12(x1X2)-2x1x222XIx2=(x1+x2)2_2=1_2(1k)=2k1,代入(7)式得 2yp=(3-2k)xp+2,而xp=2,得yp=4-2k。又由x/35r一一k1得2Yp一,即点P15.证明：记g(x)=f(x)f(-x)，h(x)=f(x)-f(-x),贝Uf(x)=g(x)+h(x),且g(x)是偶函数，h(x)是奇函数，对任意的x

16、R,g(x+2 兀)=g(x),h(x+2 兀)=h(x)。令g(x)g(x的M(x)=f2(x)=g(x)g(x+2cosx,支x；kn2x=kn2h(x)-h(x+向f3(x)=2sinxI I|h(x)-h(x力f4(x)=2sin2x0k冗x#5,其中 k 为任意整数。k冗x二一22,3,4 是偶函数，且对任意的xCRfi(x+兀)=fi(x),i=1,2,3,4。下证对任息的xCR,有fi(x)+f2(x)cosx=g(x)。当xk?t+时，显然成立；当2gg(x)+g(x+冗)x=k冗+一时，因为f1(x)+f2(x)cosx=f1(x)=,而22333冗冗冗g(x+u)=g(kT

17、t+)=g(kTt+-2(k+1)动=g(一k冗一力)=g(ku+-)=g(x),任意的xCR,fi(x)+f2(x)cosx=g(x)故对kTT.下证对任息的xCR有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。当 x#时，显然成立；当x=kjt2时，h(x)=h(k兀尸h(k兀-2k兀)=h(-k兀)=-h(k兀),所以h(x)=h(k兀)=0,而此时f3(x)sinx+f4(x)sin2x=0,故h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x；当x=k?t+时2，3冗3冗冗冗h(x+力=h(ku+)=h(k：t+一2(k+1)力=h(k花一一)二h(k冗+)=h(x),2222

18、h(x)-h(xu)故f3(x)sinx=h(x),又f4(x)sin2x=0,从而有2h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x。于是，对任意的xCR,有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。综上所述，结论得证。2007年全国高中数学联合竞赛加试试卷(考试时间：上午 10:00-12:00)、(本题满分 50 分)如图，在锐角ABC中，ABEFFO。因为PD）1BCPFAB故B、DP、F四点共圆，且BP为该圆的直径。又因为O是BDF的外心，故O在BP上且是BP的中点。同理可证CDRE四点共圆，且Q是的CP中点。综合以上知OQ/BC,所以/POO=/PCB。因为AF-AB

19、=APAD=AEAC,所以B、CE、F四点共圆。充分性：设P是ABC勺垂心，由于PEIACPFAB,所以B、O、P、E四点共线，CQ、P、F四点共线，/FQO=/FCB=/FE屋/FEO,故O、Q、E、F四点共圆。必要性：设O、Q、E、F四点共圆，故/OOE+/EFO180。由于/POO=/PCB/ACB/ACP又因为O是直角CEP的斜边中点，也就是CEP的外心，所以/POE=2/ACP因为O是直角BFP的斜边中点，也就是BFP的外心，从而/PFO=90-/BFO=90-/ABP因为 BCE、F四点共圆，所以/AFE=ZACB/PFE=90-/ACB于是，由/OOE+/EFO=180 得（/A

20、CB/ACP+2/ACP（90-/ABP+（90-/ACB=180,即/ABR/ACP又因为ABACADBC故BDC区B是点B关于直线AD的对称点， 则B在线段DC且BD=BD连结AB、PBo由对称性， 有/ABP=/ABP从而/ABP=/ACP所以A、P、B、C四点共圆。由此可知/PBB=ZCAf=90-/ACB因为/PBG/PBB,故/PBG/ACB（90-ZACI）+ZACB90,故直线BP和AC垂直。由题设P在边BC的高上，所以P是ABCW垂心。二、（本题满分 50 分）解：最少要取出 11 个棋子，才可能满足要求。其原因如下：如果一个方格在第i行第j歹U,则记这个方格为（i,j）。第

21、一步证明若任取 10 个棋子，则余下的棋子必有一个五子连珠，即五个棋子在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。用反证法。假设可取出 10 个棋子，使余下的棋子没有一个五子连珠。如图 1,在每一行的前五格中必须各取出一个棋子，后三列的前五格中也必须各取出一个棋子。这样，10 个被取出的棋子不会分布在右下角的阴影部分。同理，由对称性，也不会分布在其他角上的阴影部分。一个，且只能分布在（1,4）、（1,5）、（2,4）、（2,5）这些方格。同理（6,4）、（6,5）、个棋子，分布在（3,1）、（3,2）、（3,3）、（4,1）、（4,2）、（4,3）、（5,1）、（5,2）、（5,3）所在区域，同理（3,6）、（3,7）、（3,8）、（4,6）