第七章第4讲直线、平面平行的判定与性质

1、课本温故追报求源a、b、c为三条不重合的直线,/a、a/3/?a/aa/c”其中正确的命题是（A.C.a/ya/y)?a/aB.D.解析：选C.正确.错在a与3可能相交.错在a可能在a内.第4讲直线、平面平行的判定与性质（教材回顾夯实基础J%知识梳理1.直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言付号语言平面外一条直线与这个平面内的一£/1/a,a?a1?a，二1/a条直线平行，则该直线与此平面平行（线线平行？线面平行）性质疋理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简记为“线面平行?线线平行”）T1/a,1?3,an3=b,1/b2平面与平面

2、平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言付号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简记为“线面平行？面面平行”）k/7/a/3,b/3,aAb=P,a?a,b?a,.a/3性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行7X/7Ta/3,aAy=a3Ay=b,/a/b伙丫为三个不重合的平面，现给出四个命题:做一做1./1. 辨明两个易误点（1）直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件.（2）面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件.2. 判断线面平行的两种常用方法面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必

3、要的，判定线面平行的两种方法：利用线面平行的判定定理;（2）利用面面平行的性质定理，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另平面.做一做2. 对于直线m,n和平面a若n?a,则"m/n”是"m/a的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件答案：D3. 在正方体ABCD-AiBiCiDi中，E是DDi的中点，贝VBDi与平面ACE的位置关系为解析：如图，连接AC,BD交于0点，连接0E，因为0E/BDi，而0E?平面ACE,BDi?平面ACE，所以BDi/平面ACE.答案：平行(典例剖析考点突破%名师导悟以例说法考点一线面平行的

4、判定及性质(高频考点)平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其中线面平行在高考试题中出现的频率很高，一般出现在解答题中.高考对线面平行的判定及性质的考查常有以下三个命题角度：判断线面的位置关系；(2) 线面平行的证明；(3) 线面平行性质的应用.如图，在四棱锥P-ABCD中，CD/AB,DC=寸AB,若PM=MB,求证：CM/平面FAD.B扫一扫进入91导学网()直线与平面平行的性质证明法一：取AF的中点F，连接FM,DF,则FM/AB,FM=|aB.1CD/AB,CD=2AB,FM/CD,FM=CD.四边形CDFM为平行四边形.CM/DF.DF?平面FAD,C

5、M?平面FAD,CM/平面FAD.法二：在四边形ABCD中，设BC的延长线与AD的延长线交于点Q,连接PQ,AC.CD/AB,zQCD=/QBA. zCQD=/BQA, -ZCQDs/bqa.,QC_CD_1'QB=AB=2.C为BQ的中点.Ml为BP的中点， CM/PQ.PQ?平面PAD,CM?平面PAD, CM/平面PAD.规律方法(1)证明线面平行时，先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行，若找不到这样的直线，可以考虑通过面面平行来推导线面平行.(2)应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线.1. (1)(2015秦皇岛模拟)如

6、图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.R求证：AP/GH.(2)(2015浙江六市六校联盟模拟)如图所示，在三棱柱ABC-AiBiCi中，侧棱A"丄底面 求证：ABi/平面BCiD； 若BC=3,求三棱锥D-BCiC的体积.解：证明：连接AC交BD于点0,连接M0,PM=MC,AO=OC,PA/M0,PA?平面MBD,MO?平面MBD,PA/平面MBD.平面FAGA平面MBD=GH,'AP/GH.证明：连接BiC，设BiC与BCi相交于点0,连接0D.四边形BCCiBi是平行四边形.点0

7、为BiC的中点.D为AC的中点，0DABiC的中位线，0D/ABi.OD?平面BCiD,ABi?平面BCiD,n'ABi/平面BCiD.在三棱柱ABC-AiBiCi中,侧棱CCi/AAi.又AAi丄平面ABC,侧棱CCi丄平面ABC,故CCi为三棱锥Ci-BCD的高，AiA=CCi=2,o丄ii3Szbcd=2Saabc='Vd-BCC!=Vc,-BCD=CCiSzbcdi3=-X2X=i32考点二面面平行的判定与性质的中点，求证:如图，在三棱柱ABC-AiBiCi中，E,F,G,H分另U是AB,AC,AiBi,AiCi(1)B,C,H,G四点共面；平面EFAi/平面BCHG.

8、证明(1)/GH是厶AiBiCi的中位线，GH/BiCi.又BiCi/BC,.GH/BC,B,C,H,G四点共面./E,F分别为AB,AC的中点，EF/BC,EF?平面BCHG,BC?平面BCHG,EF/平面BCHG.AiG綊EB,四边形AiEBG是平行四边形，AiE/GB.AiE?平面BCHG,GB?平面BCHG,AiE/平面BCHG.AiEAEF=E,平面EFAi/平面BCHG.如書沁在本例条件下，线段BCi上是否存在一点M使得EM/平面AiACCi?解：存在当M为BCi的中点时成立.证明如下：连接EM（图略），在ABCi中，E, M分别为AB,BCi的中点，'EM綊2ACi,又E

9、M?平面AiACCi,ACi?平面AiACCi,.EM/平面AiACCi.规律方法判定面面平行的方法：（1）利用定义：即证两个平面没有公共点（不常用）;（2）利用面面平行的判定定理（主要方法）;（3）利用垂直于同一条直线的两平面平行（客观题可用）；（客（4）利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行观题可用）.2. （2013髙考陕西卷）如图，四棱柱ABCD-AiBiCiDi的底面ABCD是正方形，O是底面中心，AiO丄底面ABCD,AB=AAi=.2.（i）证明：底面AiBD/平面求三棱柱ABD-AiBiDi的体积解：证明：由题设知，BBi綊DDi,四边形BBiD

10、iD是平行四边形，BD/BiDi.又BD?平面CDiBi,.BD/平面CDiBi.AiDi綊BiCi綊BC,四边形AiBCDi是平行四边形,AB/DC又AiB?平面CDiBi,AB/平面CDiBi.又BDAAiB=B,平面AiBD/平面CDiBi./AiO丄平面ABCD,'AiO是三棱柱ABD-AiBiDi的高.又AO=iAC=i,AAi=.2,.AiO=AAiOA?=i.A又S/ABD=I2X2=i,:三棱柱ABD-BR=S/ABDAlO=1.考点三平行关系的综合应用（2015河南洛阳月考）如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.E(1)求证：B

11、E/平面DMF;(2)求证：平面BDE/平面MNG.证明如图，连接AE,贝UAE必过DF与GN的交点0,连接M0，贝UMOABE的中位线，所以BE/MO,又BE?平面DMF，MO?平面DMF,所以BE/平面DMF.因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点，所以DE/GN,又DE?平面MNG,GN?平面MNG,所以DE/平面MNG.又M为AB中点，所以MNABD的中位线，所以BD/MN,又BD?平面MNG,MN?平面MNG,所以BD/平面MNG,又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE/平面MNG.规律方法在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时，

12、一定要注意定理成立的条件，严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如把线面平行转化为线线3.如图，在正方体平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行.ABCD-AQiDi中，S是BQi的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证:6G(1)直线EG/平面BDDiB仁平面EFG/平面BDDiBi.证明：(1)如图，连接SB,E、G分别是BC、SC的中点,EG/SB.又SB?平面BDDiBi,EG?平面BDDiBi,直线EG/平面BDDiBi.连接SD,F、G分别是DC、SC的中点，FG/SD.又SD?平面BDD1B1,FG?平面BDDiBi,FG/平面BDD1B1，且

13、EG?平面EFG,FG?平面EFG,EGAFG=G,平面EFG/平面BDDiBi.名谕H云-義聶扌是昇U拓展升华触类旁颯方法思想转化与化归思想解决平行关系中的探索性问题如图，在四面体PABC中，PC丄AB,PA丄BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.(1)求证：DE/平面BCP;求证：四边形DEFG为矩形；是否存在点Q,至U四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由.解(1)证明：因为D,E分别是AP,AC的中点，所以DE/PC.又因为DE?平面BCP,PC?平面BCP，所以DE/平面BCP.证明：因为D,E,F,G分别为AP,AC,BC,PB的中点，所以DE/PC/

14、FG,DG/AB/EF.所以四边形DEFG为平行四边形.又因为PC丄AB,所以DE丄DG.所以四边形DEFG为矩形.(3)存在点Q满足条件，理由如下：连接DF,EG,设Q为EG的中点，1由知，DFAEG=Q,且QD=QE=QF=QG="EG.分别取PC,AB的中点M,N,连接ME,EN,NG,MG,MN.与同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的|点Q，且QM=QN=2EG,所以Q为满足条件的点.名师点评(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假

15、设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设.(2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使成立”D是棱CCi的中点，问在棱ABE的位置；若不存在，请说明“只需使成立”.如图所示，在三棱柱ABC-AiBiCi中，上是否存在一点E,使DE/平面ABiCi?若存在，请确定点理由.解：点E为AB的中点时DE/平面ABiCi,证明如下:法一：取ABi的中点F，连接DE、EF、FCi,E、F分别为AB、ABi的中点，1'EF/BBi且EF=2BBi.在三棱柱ABC-AiBiCi中，DCi/BBi且DCi=iBBi,EF綊DCi,四边形EFCiD为平行

16、四边形，ED/FCi.又ED?平面ABiCi,FCi?平面ABiCi,ED/平面ABiCi.法二：取BBi的中点H，连接EH,DH,E,H分别是AB,BBi的中点，则EH/ABi.又EH?平面ABiCi,ABi?平面ABiCi,EH/平面ABiCi,又HD/BiCi,同理可得HD/平面ABiCi,又EHnHD=H,平面EHD/平面ABiCi,ED?平面EHD,ED/平面ABiCi.知能训练轻松闯关】-.一+卄.i*_“+*“*“*”*【学生扁书单独成册一基础达标A.I?a,m?a,且I/3,m/3B.I?a,m?3,且I/mC.I丄a,m±3,且I/mD.I/a,m/3,且I/ma,

17、3，则下列条件能)a/l，贝Ual3,故排除B.若1. （2015惠州模拟）已知两条不同的直线I,m,两个不同的平面推出all3的是（2.（20i5济南模拟）平面a/平面3的一个充分条件是（)A.存在一条直线a,a/a,a/3B.存在一条直线a,a?a,a/3C.存在两条平行直线a,b,a?a,b?3,a/3,b/aD.存在两条异面直线a,b,a?a,b?3,a/3,b/a解析：选D.若an3=I,a/I,a?a,a?3,贝Ua/a,a/3,故排除A.若an3=I,a?a,故选C.解析：选C.借助正方体模型进行判断.易排除选项A,B,D,an3=I,a?a,a/I,b?3,b/l，贝Ua/3,

18、b/a,故排除C.故选D.3. （2015大连市双基测试）在空间中，a,b是两条不同的直线，a,3是两个不同的平面，则真命题是（）A.若a/a,b/a，贝Ua/bB.若a?a,b?3,a丄3，贝Ua丄bC.若a/a,a/b，贝Ub/aD.若a/3a?a,贝Ua/3解析：选D.对于A，平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，因此选项A不正确；对于B,分别位于两个相互垂直的平面内的两条直线可能是平行的或异面的或相交的，因此选项B不正确；对于C,直线b可能位于平面a内，此时结论不正确；对于D，直线a与平面3没有公共点，因此a/3,选项D正确.4. 如图，在正方体ABCD-AiBi

19、CiDi中，E,F分别为棱AB,C®的中点，在平面ADDi内且与平面DiEF平行的直线（）A.不存在B.有i条C.有2条D.有无数条解析：选D.由题设知平面ADDiAi与平面DiEF有公共点Di，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线I，在平面ADDiAi内与I平行的线有无数条，且它们都不在平面DiEF内，由线面平行的判定定理知它们都与平面DiEF平行.5. 如图所示，在空间四边形ABCD中，E,F分别为边AB,AD上的点，且AE:EB=AF:FD=i:4，又H,G分别为BC,CD的中点，贝U（）->DA.BD/平面EFGH，且四边形EFGH是矩形B. EF/平面BCD

20、，且四边形EFGH是梯形C. HG/平面ABD，且四边形EFGH是菱形D.EH/平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形1解析：选B.由AE:EB=AF:FD=1:4知EF綊-BD,.EF/平面BCD.又H,G分别51为BC,CD的中点，HG綊尹D,AEF/HG且EF工HG.A四边形EFGH是梯形.6.如图，在空间四边形ABCD中,MAB,NAD，若AM=MB=ANND，则直线MN与平面BDC的位置关系是解析：在平面abd中，am=ad,'MIN/BD.又MN?平面BCD,BD?平面BCD,'MIN/平面BCD.答案：平行7. （2015汕头质检）若m,n为两条不重合的直线，a

21、,3为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是. 若m,n都平行于平面a,则m,n定不是相交直线； 若m,n都垂直于平面a,则m,n定是平行直线； 已知a,3互相平行，m,n互相平行，若m/a,贝Un/3 若m,n在平面a内的射影互相平行，则m,n互相平行.解析：为假命题；为真命题；在中，n可以平行于3也可以在3内，故是假命题；在中，m,n也可能异面，故为假命题.答案：8. （2015湖南长沙一中高考模拟）如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点Pa是棱AD上一点，且AP=3,过B1、D1、P的平面交底面ABCD于PQ,Q在直线CD上,则PQ=.DC解析：T平面A1B1C1

22、D1/平面ABCD，而平面B1D1P门平面ABCD=PQ,平面B1D1PQ平面AiBiCiDi=B1D1，二BiD1/PQ.又B1D1/BD,ABD/PQ,设PQAAB=M,VAB/CD,a/APMs/DPQ.PQPMPDAP即PQ=2PM.又知APMADB,£DcA1,i?!.PM=AP=1而=AD=3，1厂应2'PM=3BD，又BD=,2a,.PQ=a.答案：迸a9.如图，在长方体ABCD-AiBiCiDi中，E,H分别为棱AiBi,DQi上的点，且EH/AiDi,过EH的平面与棱BBi，CCi相交，交点分别为F，G，求证：FG/平面ADDiAi.证明：因为EH/AiDi

23、,AiDi/BiCi,EH?平面BCCiBi,BiCi?平面BCCiBi,所以EH/平面BCCiBi.又平面FGHEA平面BCCiBi=FG,所以EH/FG,即卩FG/AiDi.又FG?平面ADDiAi,AiDi?平面ADDiAi,所以FG/平面ADDiAi.i0.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB/CD，/DAB=90°,PA丄底亠口i面ABCD，且FA=AD=DC=?AB=i,M是PB的中点.(i)求证：AM=CM;若N是PC的中点，求证：DN/平面AMC.1证明：(1)在直角梯形ABCD中，AD=DC=AB=1,AC=.2,BC=.2,.BC±AC.又

24、PA丄平面ABCD,BC?平面ABCD,BC丄PA,.BC丄平面PAC,.BC丄PC.1在RtAB中，M为PB的中点，贝UAM=?PB,i在RtBC中，M为PB的中点，贝UCM=qPB,AM=CM.连接DB交AC于点F,iidc綊2Ab,.df=2FB.取PM的中点G,连接DG,FM，贝yDG/FM.又DG?平面AMC,FM?平面AMC,DG/平面AMC.连接GN，贝UGN/MC,GN/平面AMC.又GNADG=G,平面DNG/平面AMC.DN?平面DNG,DN/平面AMC.能力提升i.在正方体ABCD-AiBiCiDi中，M,N分别是对角线求证：MN/平面AiBiCiDi.证明：如图所示，在

25、平面AAiBiB内，作MK/AiBiK，因为AiBi?平面AiBiCiDi,MK?平面AiBiCiDi,所以MK/平面AiBiCiDiABi,BCi上两点,曰BiMCiN且MA交BBi于点,一，BiMBiK连接KN，由MK/AiBi可知MA=KB,BiMCiNBiKCiN又MM=CF，所以芮=CiN，所以KNBiCi,因为BiCi?平面AiBiCiDi,KN?平面AiBiCiDi,所以又MK,KN是平面MNK内两条相交的直线，所以平面因为MN?平面MNK，所以MN/平面AiBiCiDi.:'D叱三KN/平面AiBiCiDi.MNK/平面AiBiCiDi,2. 如图，斜三棱柱ABC-AiBiCi中，点D,Di分别为AC,AQi上的点.Cl当DD等于何值时，込平面ABE若平面BCiD/平面ABiDi,求ADC的值.解:(i)如图，取Di为线段AiCi的中点，此时Di