第二章3无穷小与无穷大ppt课件

1、 第二章第二章 二、二、 无穷大量无穷大量 三三 、无穷小量与无穷大量的关系、无穷小量与无穷大量的关系 一、一、 无穷小量无穷小量 2.4 2.4 无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量当当一、一、 无穷小量无穷小量,01lim1nnqq时，时，当当定义定义1 . 假设假设0 xx 时时 , 函数函数,0)(xf则称函数则称函数)(xf0 xx 例如例如 :,0)1(lim1xx函数函数 1x当当1x时为无穷小量时为无穷小量;,01limxx函数函数 x1x时为无穷小量时为无穷小量;,011limxx函数函数 x11当当x)x(或为为时的无穷小量时的无穷小量 .时为无穷小量时为无穷小量.)x(或

2、.11为无穷小量为无穷小量时，时，所以，当所以，当nqq 说明说明: 除除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小量以外任何很小的常数都不是无穷小量 ! 0 xx 时时 , 函数函数,0)(xf(或或 )x则称函数则称函数)(xf为为0 xx 定义定义1. 假设假设(或或 )x时的无穷小量时的无穷小量 .其中其中 为为0 xx 时的无穷小量时的无穷小量 . 定理定理 2.5 . ( 无穷小量与函数极限的关系无穷小量与函数极限的关系 )Axfxx)(lim0 Axf)(,（若函数在某点的极限存在，则该函数等于它的（若函数在某点的极限存在，则该函数等于它的极限加上一个无穷小量极限加上一个无穷小量 .）

3、证证: :Axfxx)(lim0,0,0当当00 xx时时, ,有有 Axf)(Axf)(0lim0 xx对自变量的其它变化过程类似可证对自变量的其它变化过程类似可证 .定理定理 2.6 无穷小量与局部有界变量的乘积还是无穷小量与局部有界变量的乘积还是证明证明 （就函数情形证明）（就函数情形证明）, 0lim0 xx设设内内临临域域的的某某空空心心在在且且函函数数),()(000 xUxxf无穷小量无穷小量有界，即存在正数有界，即存在正数 M 使得使得.)(Mxf. 0)(lim0 xfxx下面证明下面证明,0对对,010时时当当xx, 0lim0 xx由于由于,010)(0)(xfxf),m

4、in(01取取,00时时当当xxMM. 0)(lim0 xfxx例如例如 01sinlim0 xxx0cos1limnnnMxf)(二、二、 无穷大量无穷大量定义定义2 . 若任给若任给 M 0 ,000 xx一切满足不等式一切满足不等式的的 x , 总有总有则称函数则称函数)(xf当当0 xx 时为无穷大量时为无穷大量, 使对使对.)(lim0 xfxx若在定义中将若在定义中将 式改为式改为Mxf)(则记作则记作)(lim)(0 xfxxx)(lim()(0 xfxxx)(Xx )(x)(lim(xfx(正数正数 X ) ,记作记作, )(Mxf总存在总存在注意注意:1. 无穷大不是很大的数

5、无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态它是描述函数的一种状态.2. 函数为无穷大函数为无穷大 , 必定无界必定无界 . 但反之不真但反之不真 !例如例如, 函数函数),(,cos)(xxxxf)2(nf)(n当当n2但但0)(2nf所以所以x时时 ,)(xf不是无穷大不是无穷大 !oxyxxycos例例 . 证明证明11lim1xx证证: 任给正数任给正数 M ,要使要使,11Mx即即,11Mx只要取只要取,1M则对满足则对满足10 x的一切的一切 x , 有有Mx11所以所以.11lim1xx11xy假假设设 ,)(lim0 xfxx则直线则直线0 xx 为曲线为曲线)(xfy 的铅直

6、渐近线的铅直渐近线 .渐近线渐近线1说明说明:xyo三、无穷小量与无穷大量的关系三、无穷小量与无穷大量的关系假设假设)(xf为无穷大为无穷大,)(1xf为无穷小为无穷小 ;假设假设)(xf为无穷小为无穷小, 且且,0)(xf那那么么)(1xf为无穷大量为无穷大量.那那么么据此定理据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论无穷小来讨论.定理定理2. 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中,说明说明: 第二章第二章 ,0时x2,2,xxx都是无穷小都是无穷小,引例引例 .xxx20lim,0但是但是 可见无穷小趋于可见无穷小趋于 0 的速度是多样的的速度是多样的 . （四）（四） 无穷小量的阶无穷小量的阶22lim0 xxx无穷小量的阶就是研究无穷小量趋于无穷小量的阶就是研究无穷小量趋于0的快慢的快慢. ,0lim0Ckxx,0lim0 xx假假设设则称则称 是比是比 高阶的无穷高阶的无穷小小,)(o,lim0 xx假假设设假假设设假假设设, 1lim0 xx假假设设,0lim0Cxx或或记作记作则称则称 是比是比 低阶的无穷低阶的无穷小小