第三节微积分基本公式ppt课件

1、二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿三、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 一、引例一、引例 第三节微积分的基本公式 第五章 一、引例一、引例 在变速直线运动中, 已知位置函数)(ts与速度函数)(tv之间有关系:)()(tvts物体在时间间隔,21TT内经过的路程为)()(d)(1221TsTsttvTT这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .)()(的原函数是这里tvts定积分等于被积函数的原函数的增量 xadxxf)(考察定积分 xadttf)(记记( )( ).xaxf t dt积分上限函数积分上限函数二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数问

2、题：积分上限函数问题：积分上限函数 (x)是否可导？若能，其是否可导？若能，其导数等于什么？导数等于什么？)(xfy xbaoy)(xxhx, ,)(baCxf则变上限函数xattfxd)()(证证:, ,bahxx则有hxhx)()(h1xahxattfttfd)(d)(hxxttfhd)(1)(f)(hxxhxhxh)()(lim0)(lim0fh)(xf)(x定理定理1. 假假设设.,)(上的一个原函数在是baxf,)(baCxfd( )( )( )dxaxf t dxtf xaxb即1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.3) 变限积分求导:bxttfxd)(dd)(xf)(d

3、)(ddxattfx)()(xxf同时为通过原函数计算定积分开辟了道路 .)()(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx(d)( )dxaf t dtf xabxx（微积分基本定理）（微积分基本定理）说明说明:2初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.？（1积分上限本身也是自变量 x 的可导函数，即( )( )( ),xaG xf t dt( )?.G x若令( )( ),uaF uf t dt( ) ,ux 那么 G(x) 由 F(u)，u = (x) 复合而成，即( ) ( )G xFx( )G xdF dudu dx( )(

4、 )f ux ( )( )fxx( )( ) ( )( )xadf t dtfxxdx（2积分上限是常数，积分下限是自变量 x 的可导函数，即( )( )( ),axG xf t dt( )?.G x( )( )( ),xaG xf t dt ( )G x ( )( )fxx( )( ) ( )( )axdf t dtfxxdx ( )( )( )xxdf t dtdx ( )( )fxx ( )( )fxx（3积分上下限都是自变量 x 的可导函数。积分限为变量的函数求导汇总)()(xftdtfxddxa)()(xftdtfxddax)()()()(xxftdtfdxdxa)()()()(xx

5、ftdtfdxdax)()()()()()()(xxfxxftdtfdxdxx)sin(2cosxex例例1. 求求0limxtextd1cos22x解解:原式0limx00 x2e2121cosdddtxetx2cos1dddxtetx 2cos(cos )xex 2cossin,xx e00分析：这是分析：这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则. . ttf txfxd)()(0,0)(,),0)(xfxf且内连续在设证明)(xFttf txd)(0ttfxd)(0在),0(内为单调递增函数 . 证证:)(xF20d)(ttfxttfxfxxd)()(020d)(ttfxt

6、tfxfxd)()(0)(tx0.)0)(内为单调增函数，（在xF只要证0)( xF 20d)(ttfxxfx)()( )(xf)0(x0)()(, 0)()(00 xdttftxtftxxt故时，当例例2. 证证0( )2( )1,xF xxf t dt( )2( )0,F xf x( )1,f x (0)10,F 10(1)1( )Ff t dt 101( )f t dt, 0 令例例4. 确定常数 a , b , c 的值, 使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx解解:,0sin0 xxax时,0c. 0 b00原式 =)1ln(coslim20 xxaxcxxax2

7、0coslim c 0 , 故. 1a又由221cos1xx, 得.21c洛洛例5：设 ,)()()()(2axtdtftxxFxa)(limxFax求其中，f (x) 为连续函数。解：解：)(limxFax)00(型2)()()(limaxtdtftxxaax)(2)()(limaxtdtftxxddxaaxxatdtftx)()(xaxatdtfttdtxf)()(xaxatdtfttdtfx)()(xatdtftxxdd)()(xatdtf )()(xfx)(xfx,)()()()(2axtdtftxxFxaxatdtftx)()(xaxatdtfttdtfx)()(例例5：设：设 )(

8、limxFax求其中，f (x) 为连续函数。解：解：)(limxFax)(2)()(limaxtdtftxxddxaaxxatdtf )()(limxFax)(2)(limaxtdtfxaax2)(limxfax 2)(af 三、牛顿三、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式上的一个原在是连续函数设,)()(baxfxF)()(d)(aFbFxxfba( 牛顿 - 莱布尼兹公式) 证证: 根据定理 1,)(d)(的一个原函数是xfxxfxa故CxxfxFxad)()(,ax 令, )(aFC 得因而)()(d)(aFxFxxfxa,bx 再令得)()(d)(aFbFxxfba记作)(xFab)(xF

9、ab定理定理2.函数 , 那么)()()(aFbFdxxfba微积分基本公式表明：微积分基本公式表明：baxF)(注意注意 进一步揭示了定积分与原函数或不定积分之间进一步揭示了定积分与原函数或不定积分之间的联系的联系.求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.例例6. 计算计算.1d312 xx解解:xxxarctan1d31213) 1arctan(3arctan3127例例7. 计算正弦曲线计算正弦曲线轴所围成上与在xxy, 0sin的面积 . 解解:0dsinxxAxcos0112)4(yoxxysin例例8. 8. 设设 求求 201( )512xxf xx20

10、( )f x dx解解212001( )( )( )f x dxf x dxf x dx102152dxxdx原式. 6 xyo12例例9. 9. 求求 解：解：121dxx12ln |xln1 ln2ln2. 121d . xx例例10：1211d xx111()x 11()11 2 因为函数21( )0 ,f xx12110 ,d xx与所计算的结果矛盾。这是由于21( )f xx 1 ,1 所以由性质5 知在积分区间上不连续，在，在 x = 0 处为无穷间断，不能用牛顿莱布尼兹公式。处为无穷间断，不能用牛顿莱布尼兹公式。性质5：如果在区间 a , b 上，f (x) 0 , 那么)(0)

11、(baxdxfba 例11：求31|2|x d x解：先去被积函数中的绝对值解：先去被积函数中的绝对值212|2|223xxxxx 31|2| x dx21)2(xdx32(2)xd x21222xx32222xx91522例例12：设：设22122( )124xxf xxx求 k 值，使340( )3kf x d x解：因为解：因为32( )f x d x322(1)xd x223403,22k所以故由定积分的可加性有3( )kf x d x232( )( )kf x dxf x d x2(21)kxd x322(1)xd x22kxx2232226()3kk403:01k 解得或已知函数例

12、例13. 13. 求求 222max ,.x xdx解：解： 由图形可知2( )max ,f xx x222001,12xxxxxx21210022dxxxdxdxx原式11.2xyo2xy xy 122 思考与判断题思考与判断题（1）（2求定积分可以先求不定积分，从而求出原 函数，由牛顿-莱布尼茨公式可得结果（ ）内容小结内容小结, )()(, ,)(xfxFbaCxf且设则有1. 微积分基本公式xxfbad)(积分中值定理积分中值定理)(abF)()(aFbF微分中值定理微分中值定理)(abf牛顿牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式2. 变限积分求导公式 3234)(2xxxf备用题备用题解：解：1. 设,d)(2d)()(20102xxfxxfxxxf求).(xf定积分为常数 ,d)(10axxf设bxxf20d)(abxxxf2)(2, 那么10d)(xxfa3