多媒体教案-材料物理性能学-01-固体中电子能量结构和状态-2015-au

1、材料物理性能学-01固体中电子能量结构和状态材料科学与工程学院：马永昌 第一章 固体中电子能量结构和状态 固体中原子的键合类型固体中原子的键合类型 1.1 简单金属中电子的经典模型 1.2 金属的Fermi-Sommerfel电子理论 1.3 晶体能带理论的应用类型实例结合能 (eV/mol)特点离子键NaClKCl7.947.20高配位数，非方向性，低温不导电，高温离子导电，熔点高共价键金刚石单晶硅7.374.68低配位数，成键有方向性及饱和性，低温不导电，熔点高金属键Ag,Na,Al1.0高配位数，非方向性，导电性好，熔点较高，延展性好分子键Ar0.078低熔点和沸点氢键H2O (ice)

2、0.52结合能高于分子键型材料有些材料是超硬材料；有些材料是超导电性材料；有些材料是强磁性材料；有些材料是铁电性材料遵从循序渐进，我们从简单的金属材料开始讲起遵从循序渐进，我们从简单的金属材料开始讲起1.1 简单金属中电子的经典模型 我们以前就开始接触到电子这个概念，尽管我们单凭肉眼看不到电子，但是我们对它并不陌生。 me=?e=? 磁矩=？金属或半导体薄片置于磁场中，当有电流流过时，在垂直于电流和磁场的方向上将产生电动势，这种物理现象称为霍尔效应。霍尔效应霍尔效应 金属中的电子：电子脱离原子核束缚成为整个金属共有的电子群体 提问：金属的电离能（即电子离开自由原子是需要外界提供能量）为正，为何

3、电子还能够共有？ 经典自由电子气体模型 在金属中，价电子脱离原子核的束缚在整个金属晶体中可以自由运动，因表面势垒存在而被限制在晶体内部；离子实系统视为保持体系电中性的均匀正电荷背景，由于均匀分布，施加在电子上的电场为零，对电子无作用。自由自由之意 电子之间没有相互作用。电子的行为类似理想气体分子，服从经典的Maxwell-Boltzmann统计规律。独立独立之意 自由电子气体模型只有一个独立参量，电子密度，也就是单位体积中的平均电子数：n=NAZm/A 对于金属，典型的数值为10221023/cm3 为了研究金属的物理性能如电学、光学和热学等性质，把电子看作是经典粒子粒子，在自由和独立电子近似

4、基础上，进一步假定：1/ 电子会受到散射散射，或经受碰撞碰撞。碰撞作用将瞬时地改变电子的速度，相继两次的碰撞之间电子直线运动，遵从牛顿定律。2/ 对电子受到的散射或碰撞，简单地用驰豫时间(relaxation time)描述。在dt时间内，电子受碰撞几率为dt/，相当于相继两次碰撞间的平均时间。 引入外电场作用下电子的漂移速度vd，电子运动方程可以写为：（碰撞的作用相当于阻尼）)()()(tvmtFdttdvmdd 对于恒定电场的稳态情形：dvd(t)/dt=0, 相应的电流密度为：J=-nevd=(ne2/m)E 注意到欧姆定律 J=E，因此电导率为：mne2自由电子气体模型的成功与不足1/

5、 可以很好解释金属遵从欧姆定律，可以解释金属作为电和热的良导体，电导率与热导率成线性关系，以及金属对于可见光高的反射率 2/ 不能解释为什么Mg和和Al等电子密度大的金属电导等电子密度大的金属电导率却要比一价金属差率却要比一价金属差，无法解释金属的电导率随温度的变化，除非人为地认为驰豫时间依赖于温度 实测电阻：实测电阻：Ag 6.2；Cu 5.9 V.S. Al 3.6 （基准同）（基准同）电子密度：电子密度： 1.0 P.K. 3.0不足的原因在于模型过于简单1.2 金属的Fermi-Sommerfel电子理论 me=?e=? 磁矩=？ 粒子性和波动性相聚和弥散（波粒二象性）波函数 波恩对于

6、波函数给出的解释：电子在某个小空间中出现的概率为波函数模的平方。 电子围绕原子核运动在以前用玻尔轨道运动作理解，而在从几率波的角度理解时，应该被解释为：电子在原子核外对应的玻尔轨道附近出现的几率大大大于其他空间部分。 整个空间的积分为1。薛定谔方程 此方程在微观粒子运动领域的地位相当于牛顿定律在经典的宏观力学中的地位。 对于多个粒子的系统薛定谔方程过于复杂，甚至不能够求解，我们一般讨论的是氢原子、类氢离子、周期势场中电子的运动所满足的规律。 Fermi-Sommerfel电子理论 量子自由电子学说：把量子力学的理论引入对金属电子的行为的理解。 独立电子近似使得N个电子的复杂问题转化为单个电子问

7、题。单电子的状态用波函数(r)描述，所满足的不含时的薛定谔方程为：)()()(222rrrVm量子自由电子模型 因为忽略掉电子和离子实之间的互作用，也就是正电荷只是提供一个背景，可以认为V(r)=0。在一维情况下，上面的方程可以方便求解。0.B, 0A0)()0(2sin2cos, 02)2/(2/, 022222222222，知道由边界条件：LxBxAdxdmhmkEmEdxdLB/1归一化条件： 必须受限制， =2L/正整数。 对于3维情况，(r r)=Ceik kr r，这里k为平面波波的波矢量，k=2/。现在描述一个电子：/(2m)kE k,p22认识电子体系的状态 经典观点：各个电子

8、具有相同的能量能量按自由度均分均分。 量子观点： p(k),E(k)，即不同动量不同动量的电子具有不同的能量不同的能量。meneffeff2自由电子按能级占据 金属中自由电子的能量是量子化的，构成准连续能谱。实际上能量为E的能级被电子占据的几率服从费米-狄拉克统计规律：为了更理性地认识自由电子体系为了更理性地认识自由电子体系1exp1)(TkEEEfBF自由电子的能级密度 在能量角度来看，晶体中电子是按照能级能级来占据的或者说来“入住”的。 为了能够对金属中自由电子的能量分布有一个精确理解，需要了解自由电子的能级密度能级密度 Z(E)，定义为：，定义为：Z(E)=dN(E)/dE，其中dN(E

9、)为EE+dE能量范围内有多少能级，电子又是按照能级占据的，所以就是该能量范围内能容纳的电子数。 注意注意这里的能级密度的含义，是指可以可以被电子占据的能量位置，至于电子是否真正占据是否真正占据了，从能级密度这里看不出来。 k空间中每个点所占的体积为：(2/L)3 则单位体积中所含有的状态数为：3382VL 考虑到自旋状态和泡利不相容原理，k空间中每个状态点可以填充2个自旋不同的电子态。 计算能量E的能级分布函数N(E)，由N(E)求Z(E)2/3233)/2(33482)(mEVKVEN能态密度和电子按能量分布K空间的等能线和等能面 实际空间 vs 布里渊空间。 三维K空间比如对于可以用自由

10、电子近似来描述的碱金属或金、银等好金属来说，其费米面为球形，自然等能面也是球形，意味着各向同性。FERMI, Enrico, 1901 (Italy) 1954; Foundation of the statistics of electron gas as well as statistical model of the atom (“Fermi level”);The Nobel Prize in Physics 1938. 二维K空间层状结构的多种材料可以此二维K空间描述如：高温超导体系材料对于二维各向同性的材料，二维的费米面自然是圆形。1.3 周期势场中的电子 在量子自由电子的基础上，更加实际地考虑了周期性的晶格势场对于电子运动的影响。 要研究晶格周期势场对于电子运动产生的影响，可以先这样简单考虑：量子自由电子理论指出，电子的运动是平面波形式，并且K的取值（也就是波长的取值）是准连续的，能量也是准连续的。加入周期性的晶格以后将会怎样？ 波动性的特点：可以无损地通过一个周期阵列，由惠更斯波动理论可以解释。任何波长都无损？ 当波长与阵列常数满足布拉格关系时，情况发生了变化。 按照驻波的观点去理解。 直观定性地看可以理解为：多原子聚拢后能级劈裂为准连续的能带禁带起因定性看来多原子聚拢后能级劈裂为准连续的能带晶体能带理论的应用 第一布里渊区所容纳的状态总数（k点数）为晶