《电工技术》第5讲第3章正弦交流电路

1、第第3 3章章 正弦交流电路正弦交流电路电工技术 第05讲3.1 正弦量的基本概念3.2 正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法3.3 元件约束和结构约束的相量形式元件约束和结构约束的相量形式3.4 复阻抗复阻抗电工技术姚海彬 贾贵玺 高等教育出版社第第3 3章章 正弦交流电路正弦交流电路 概述概述 直流电直流电: : 大小、方向不随时间改变。大小、方向不随时间改变。 变动电流：大小、方向随时间改变。变动电流：大小、方向随时间改变。 周期电流周期电流: : 大小、方向随时间周期变化。大小、方向随时间周期变化。 交变电流交变电流: : 一周期内平均值等于零的周期电流。一周期内平均值等于零的周期电流

2、。 正弦交流电正弦交流电: : 按正弦规律变化的交变电流。按正弦规律变化的交变电流。 周期周期T(s) ：周期电流变化一个循环所需要的时间。：周期电流变化一个循环所需要的时间。 频率频率f(Hz): 单位时间内周期电流所完成的循环数单位时间内周期电流所完成的循环数。3.1 正弦量的基本概念正弦量的基本概念【Sine】一、正弦量的三要素一、正弦量的三要素1. 正弦量的最大值或幅值正弦量的最大值或幅值2.（rad/s）: 正弦量的角频率正弦量的角频率 m0sin ()xXt00()()2tTt22fT3. 0 : 初相位初相位, （t + 0）反映正弦量）反映正弦量在变化过程中瞬时值的大小和正负在

3、变化过程中瞬时值的大小和正负,称为正弦量的相位。称为正弦量的相位。phasemsin()uu Utmsin()uuUt初相位初相位: 大小：大小：sin0+部分位置距纵轴的最短距离部分位置距纵轴的最短距离符号：左边为正，右边为负符号：左边为正，右边为负二、二、相位差相位差 两个同频率正弦量的相位之差两个同频率正弦量的相位之差)sin(1m11tIi)sin(2m22tIi（2） = 1 - 2 0 , i1超前超前i2三、有效值三、有效值 effective value 做功等效做功等效 周期电流周期电流 直流电流直流电流 周期信号的有效值周期信号的有效值： 正弦信号的有效值正弦信号的有效值：

4、 22d0dTi R tI RTTtiTII02dd1 d) (sin1022mTittITImm707. 02IImm707. 02 UUU2001sin ()1 cos(2)22TTt dttdtT2 sin()uuUt2 sin()iiIt(2) 不同频率的正弦量比较无意义。不同频率的正弦量比较无意义。(1) 两同频率的正弦量之间的相位差为常数，两同频率的正弦量之间的相位差为常数， 与计时的选择起点无关。与计时的选择起点无关。 ti2i1iO例3.1.1 某正弦电压 的初相 ，t=0时， 试写出电压 的三角函数式，其有效值是多少？解：已知 所以 电压 的三角函数式为 其有效值 u030(

5、0)155.5Vuu(0)155.5V=sin30muU155.5311Vsin30mUu311sin(30 )ut1311V=220V2U 3.2 3.2 正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法一、复数及其表示法一、复数及其表示法1.1.直角坐标式（代数式）直角坐标式（代数式） A= a +jb2.2.复平面上的任意点和复矢量复平面上的任意点和复矢量3.3.三角函数式三角函数式4.4.指数和极坐标表达式指数和极坐标表达式cosasinb22ba abarctan)jsincos(AjeA A 或或sin()xtj eAjmetAI ImxAjmeIt je)sin(mutUuujmmeUUuU

6、UjmmeuUU mmuUU 二、相量及其表示法二、相量及其表示法复时变函数复时变函数 复常数、复矢量复常数、复矢量旋转因子旋转因子正弦量的向量正弦量的向量旋转因子是共有的，旋转因子是共有的，与确定正弦量间的关系无关！与确定正弦量间的关系无关！对应正弦量：对应正弦量：幅值幅值初相初相幅值向量幅值向量有效值向量有效值向量练习练习正弦电流：正弦电流：5sin(31460)it写出它的向量！写出它的向量！电压向量为电压向量为25 60 , 314 rad/s,U求对应的正弦电压！求对应的正弦电压！j()2jjAAej()j2jjAee相位超前！相位超前！相位滞后！相位滞后！.560 A2.5 2 6

7、0 A2I25 2sin(31460)ut复数的四则运算设两个复数：则：11111jbaAbabbaaAAj)j()(21212122222jbaA212121AA212121AA例例: 已知已知)A60sinj60cos11()A30sinj30cos12.7( 有效值有效值 I =16.8 A)A 30 (314sin2.7 12 1ti )A 60 (314sin211 2ti。 iii21A) 10.9 314(sin216.8 ti求：求：A3012.7 1 IA60112 IA6011A3012.721 IIIA10.916.8j3.18)A-16.5( 解解:3.3 3.3 元件

8、元件约束和约束和结构结构约束的相量形式约束的相量形式(3)(3)相量相量 ) sin(2iRRtIi) sin(2iRRtIRu) sin(2uRtU0iuRRRIU RiRuRRIRRIUU 一、电阻元件约束的相量形式(1)(1)相位差相位差 电压、电流同相位电压、电流同相位(2)(2)有效值有效值例3.3.1已知某电阻R=100,接于初相角为30的220V工频正弦交流电源上，试分别以时域形式和相量形式求通过电阻R的电流 i 。解：由已知条件可知电阻的电压为（1）用时域形式解。220 2sin(31430 )Vut2202sin(31430 )A100=2.22 sin(31430 )Aui

9、tRt（2）用相量形式解。已知电压相量 根据（3.3.3）式欧姆定律的相量形式得 最后写出电流的三角函数式 .220 30 VU.22030A=2.230 A100UIR2.2 2sin(31430 )Ait（3 3）相量）相量 ) sin(2iLLtIitiLuLLdd2sin( )2LLiuLIt) sin(2uLtUiu2LLLIULXL j2LLuLiLLUULIX I二、电感二、电感元件元件约束的相量形约束的相量形式式（1 1）相位差）相位差 电流滞后电压电流滞后电压90（2 2）有效值）有效值 感抗感抗inductive reactance 电压超前电流电压超前电流90时域形式时域

10、形式例3.3.2 某线圈的电感 ，接于 的电源上，试求当电压频率为 时通过线圈的电流值，并写出电流的正弦函数瞬时表达式。解：根据已知条件， 当电压频率 时， 电流值：正弦函数瞬时表达式 ： 0.01HL=220 2sin(60 )Vut10kHz.220 60 VU=10kHzf42=2 10 rad/s=628 10 rad/s.222060A=0.3530 AjLj628 100.01UI =0.35AI20.35 2 sin(628 1030 )Ait（3 3）相量）相量 （2 2）有效值）有效值 容抗容抗（1 1）相位差）相位差 电压滞后电流电压滞后电流9090) sin(2uCCtU

11、utuCiCCdd2sin( )2CCuiCUt) sin(2iCtI2iuCCICU1CXC11 j2CCiCuCCIICUUX三、电容三、电容元件元件约束的相量形式约束的相量形式例3.3.3 一电容器 ,接入220V初相为 的正弦交流电源上。（1）试计算当电源频率为 时的容抗及电流值；（2）画出电压、电流的相量图；（3）写出电流的正弦函数瞬时表达式。 解：（1）根据已知条件，电压相量为 容抗为 40FC 3050Hz.22030CU61179.6250 40 10CXC （2）根据电容元件约束的相量形式得 电流值 电压电流的相量图如图3.3.4所示（3）电流的正弦函数瞬时表达式为.220

12、30jjA=2.76 3090 A=2.76 120 A79.6CCUIX2.76ACI2.76 2sin(314120 )Acit2.2.KVL的相量形式的相量形式021 kiiii0e2 Ime2 Ime2 Im j j1 j tkttIII021 IIIIk021 UUUUk四、四、结构结构约束的相量形约束的相量形式式1.1.KCL的相量形式的相量形式时域形式时域形式阻抗的模：阻抗的模： 阻抗角：阻抗角：3.4 3.4 复阻抗复阻抗电阻电阻 电抗电抗 ZIUIUZiuZiuXRZj22XRZRX tanarcUZRILXIUZL jjCXIUZC j1j 特例：特例： L=jULIj()

13、CCCdd jtUeICtC U复常数复常数CLRUUUU)jj(CLXXRI j)j(ZXRXXRIUZCL2222 )(XRXXRZCLRXXCL tanarc0, 0 LCXX 感性电路感性电路 0, 0 LCXX容性电路容性电路 0, 0 LCXX阻性电路阻性电路 2.2.RLC RLC 串联复阻串联复阻抗抗根据根据KVLKVL：由由KCLKCL可证明可证明：kUUUU 21kZIZIZIZI 21SknkknkknkXRZZ111SjXRjkIIII 21kZUZUZUZU 21p nkkZZ1P1 13.3.复阻抗串联复阻抗串联4.4.复阻抗并联复阻抗并联由由KVLKVL可证明：可

14、证明：【例】3.4.13.4.1 R、L、C串联电路如图所示，已知 ， ，计算当电源频率分别为50 Hz和1000 Hz时电路的复阻抗。5R 0.01HL =100FC50.01H100F 解：解： （1）当电源频率为50 Hz 时L2 50 0.013.14XL C61131.82 50 100 10XC j()=5j28.66 LCZRXX29.0980.1 ( )（2）当电源频率为1000 Hz 时j()=5j(62.8-1.59) LCZRXX61.4 85.3 ( )例3.4.2已知某无源二端口网络端口电压为电流为 问：（1）二端口网络是感性还是容性？（2）画出该网络等效的元件串联电路， 并标出参数。80sin(1045 )Vut400sin(1030 )Ait解：（1）已知电压、电流幅值相量为则复阻抗为因为阻抗角 ，故此无源二端口网络为感性电路。（2）其等效电路如图3.4.4所示。图中， 为等效电阻， 为等效感抗，等效电感 .80 45 VmU.40030 AmI.80 45Z=0